6.1.2　平行四边形的判定第2课时　平行四边形的判定定理3课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形判定定理3（对角线互相平分的四边形是平行四边形），通过复习已学判定方法（两组对边平行、一组对边平行且相等、两组对边相等），结合“两根木条中点重叠固定”的操作提问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究新判定定理。 其亮点在于以操作探究为起点培养几何直观，通过严格证明发展推理意识，例1及变式（E,F为OA,OC中点或延长线上）强化应用。归纳从边、角、对角线分类总结，帮助学生系统掌握判定方法，教师可借助清晰流程和多样化例题提升教学效率。

第六章 平行四边形 2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定定理3 北师版-数学-八年级下册 1　平行四边形的性质和判定 1 复习导入 1．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？ 要如何证明呢？ 【探究】对角线互相平分的四边形是平行四边形． 探究新知 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． A C B D O 证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB， A C B D O ∴△AOD≌ △COB. ∴AD=CB，∠ADO=∠CBO. ∴AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 判定定理3：对角线互相平分的四边形是 平行四边形． 几何语言： A C B D O 四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 应用举例 【例1】已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形． A C B D E F 【方法指导】先利用▱ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD.又因为AE＝CF，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，利用平行四边形的判定定理3得到四边形BFDE是平行四边形． 证明：连接BD，交AC于点O. A C B D E F ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. O ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)． ∵AE＝CF， ∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 【例2】(1)对于上述例题，若将条件“AE＝CF”改为“E，F是OA，OC的中点”，则结论还成立吗？ A C B D E F O 解：(1)成立．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵E，F是OA，OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC，即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)成立．理由如下： (2)对于上述例题，如图，若将点E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE＝CF，则结论还成立吗？ A C B D E F O ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵AE＝CF， ∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 归纳总结 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 随堂练习 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC C 2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC＝AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有　 (　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 B 3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝70°，AD∥BC. ∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝35°. ∵BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴∠FBE＝∠EDF＝35°. ∴∠CDF＝∠ADC－∠EDF＝35°. 4．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点．求证：四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，AD∥CB， ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA). ∴OE＝OF. 同理可得：OG＝OH. ∴四边形EGFH为平行四边形． 5．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； 解：(1)∵BD垂直平分AC， ∴AB＝BC，AD＝CD. ∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA. ∴∠BCD＝∠BAD. 又∵∠BCD＝∠ADF， ∴∠BAD＝∠ADF， ∴AB∥DF. ∵AF⊥AC，BD⊥AC， ∴四边形ABDF是平行四边形； ∴AF∥BD. (2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长． (2)∵AF＝DF＝5，四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝BD＝5. 设BE＝x，则DE＝5－x. 在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即x2＋AE2＝52， 在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，即(5－x)2＋AE2＝62， ∴(5－x)2－x2＝62－52. 解得x＝， 把x＝代入x2＋AE2＝52，得AE＝. ∴AC＝2AE＝. 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P168习题6.2中的T7. 课后作业 21 $