山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷3

山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修一（第一至第五章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由题可得数列通项公式，据此可得答案. 【详解】由题可得数列通项公式为：. 则令. 故选：A 2．已知， ，且，则的值为（    ） A． B．5 C．－6 D．10 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】因为， ，且， 所以，解得． 故选：A． 3．若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】C 【分析】由两直线平行的充要条件可得，即可求参数，并代入验证是否含重合情况. 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得， 解得或， 当时，代入可得与验证两条直线不重合， 当时，代入可得与验证两条直线不重合. 故选：C 4．（2024高考·新课标Ⅱ）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（2025高考·全国Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 6．（2025高考·全国Ⅰ）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7．如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和，再由点到直线向量法距离公式即可计算求解. 【详解】以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，， 所以，，，， 不妨设，， 所以， 即点P的位置向量： 又，所以直线的方向向量：, 所以点P到直线AD的距离: , 所以当时， , 即点到直线距离的最小值为． 故选：A 8．双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，代入双曲线方程得到，根据四边形是正方形，得到，从而得到，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可. 【详解】设，在第一象限， 由题知：，解得：， 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称，所以， 所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【答案】AD 【分析】根据向量模的计算公式，可判定A正确；根据空间向量的数量积的坐标运算公式，可判定B错误；根据向量的夹角公式，可判定C错误；根据同向的单位向量的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 10．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．是公差为1的等差数列 D．是等比数列. 【答案】BD 【分析】根据等比数列通项公式得，再结合其单调性即可得到值，从而得到等比数列通项公式，从而判断A选项；再利用等比数列的求和公式即可判断BD；求出即可判断C. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列是递增数列，，所以． 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，. 因为，所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，故，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C错误； 因为，所以，所以数列是首项和公比均为2的等比数列，故D正确． 故选：BD． 11．（2023高考·新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．（2025高考·上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 13．（2024高考·天津）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 14．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为 。 【答案】 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知. （1）证明：三点共线； （2）求过点且与BC垂直的直线方程； （3）求过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【分析】（1）只需证明任意两点确定的斜率相等即可，也可以用共线向量证明； （2）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （3）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）证明： 法1： , ,且直线AB与直线AC有公共点A，所以三点共线。 法2：, , ,又向量共点于A，所以三点共线。 （2），故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； （3），故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 16（15分）．（2024高考·全国甲）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，, , 故， 故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 17（15分）．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 【分析】（1）设圆心，根据圆心在直线上和切线的性质列出方程组得出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式得出半径即可求出圆的标准方程； （2）首先求出圆的公共弦方程，然后求出弦心距，最后利用勾股定理就可求解. 【详解】（1）设圆心， 由题意得，解得，，则半径， 故圆的标准方程为． （2）圆，圆心，半径． 两圆方程相减，得公共弦所在直线：． 圆心到该直线的距离（弦心距）：． 在圆中，公共弦长，， 解得或， 均满足且两圆相交，符合题意．故实数的值为或． 18（17分）．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， 所以平面的一个法向量：， ， 化简可得，，解得或， 或， . 19（17分）．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【详解】（1）设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷3 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修一（第一至第五章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 2．已知， ，且，则的值为（    ） A． B．5 C．－6 D．10 3．若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 4．（2024高考·新课标Ⅱ）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（2025高考·全国Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高考·全国Ⅰ）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 8．双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 10．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．是公差为1的等差数列 D．是等比数列. 11．（2023高考·新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．（2025高考·上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 13．（2024高考·天津）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 14．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为 。 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知点。 （1）证明：三点共线； （2）求过点且与BC垂直的直线方程； （3）求过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 16（15分）．（2024高考·全国甲）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 17（15分）．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 18（17分）．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 19（17分）．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $