精品解析：浙江省杭州市翠苑中学2025-2026学年上学期八年级1月月考数学试卷

初二数学 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值可以是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 4. 若一次函数与的图象关于轴对称，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 中，是中线，点D到的距离相等，则一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则（　　）°． A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 8. 若一次函数的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 _____． 12. 直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 _____． 13. 如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则_______． 14. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱_______． 15. 在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，请分别计算的值，其中最小的值为 _____． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则_____，______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 18. 已知直线与直线的交点坐标为， （1）试确定方程组的解． （2）直接写出方程组的解． 19. 如图，是的角平分线，，交于点F．已知． （1）求的度数． （2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 20. 已知y是x的一次函数，当时，；当时， （1）求一次函数的表达式． （2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 21. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 24. 在中，，点P为线段上任意一点（P与B，C不重合），连接． （1）若，， ①求的最小值． ②当时，求的长． （2）若，，请用含m，n的代数式表示，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标．根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值可得答案． 【详解】解：已知点的坐标为，则点到轴的距离为． 故选：B． 2. 下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．根据题意及乘方的意义将选项依次代入判断即可． 【详解】解：、当时，， ，不符合题意； 、当时，， ，符合题意； 、当时，， ，不符合题意； 、当时，， ，不符合题意； 故选：． 3. 若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集与解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3． 根据不等式的基本性质3求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 则， ∴m可以等于0，不能为2，4，6． 故选：A． 4. 若一次函数与的图象关于轴对称，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．首先求得直线与轴，轴的交点坐标，进而可知直线经过点，，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：直线，时，；时，， ∴直线与轴交于，与轴交于， ∴直线经过点，， ∴， 解得． 故选：A． 5. 中，是中线，点D到的距离相等，则一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是知道三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，由是的中线，可得，再由D到的距离相等可得，即可得证． 【详解】∵是中线，如图， ∴， 即 ∵D到的距离相等， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选B． 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断，，，与0的关系即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵一次函数与的图像都过一三象限， ∴，， ∵直线过第二象限和直线过第四象限， ∴，，且， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图像的性质：过一三象限，向上平移过第二象限，向下平移过第四象限． 7. 在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则（　　）°． A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质及三角形外形性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， ， ， ， ， ，是边的中点， ， ， ， 故选：C． 8. 若一次函数的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质． 根据一次函数的性质可得，把各选项的点的坐标分别代入解析式一次函数，求出k的值，即可判断． 【详解】∵y随着x的增大而增大， ∴． A选项：当点A的坐标为时，， 解得：，不符合题意； B选项：当点A的坐标为时，，不符合题意； C选项：当点A的坐标为时，， 解得：，符合题意； D选项：当点A的坐标为时，， 解得：，不符合题意． 故选：C 9. 甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为元，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用不等式组解决实际应用问题，根据彩券数量得到费用区间列不等式组求解即可得到答案； 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】于点于点 ∵点F是的中点， ， 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化规律．平移中点的变化规律是：横坐标左右移，右移加，左移减；纵坐标上下移，上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，能求出斜边的长是解此题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，再根据勾股定理求出另一条直角边即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5， ∴斜边为， ∵一条直角边是4， ∴另一直角边长为． 故答案为：3． 13. 如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题了求一次函数解析式．先利用待定系数法求得、的值，再求值即可． 【详解】解：把代入得：； 把，代入得： ， 解得， ∴． 故答案为：50． 14. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质；由中点可得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵点D是斜梁的中点， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2． 15. 在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，请分别计算的值，其中最小的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，掌握待定系数法是解题关键． 【详解】解：不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式， 由题意得： 解得： ∴ ∴其中最小的值为：． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则_____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．设交于H，，，根据勾股定理得到，，解得，，然后根据三角形的面积求出解题即可． 【详解】解：设交于H，如图： 设，， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴①， 在中，， ∴②， ①②联立解得，或（舍去）， ∴，， ∴； ， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】 解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经有条件，，证明，再补充条件证明即可． 【详解】略 18. 已知直线与直线的交点坐标为， （1）试确定方程组的解． （2）直接写出方程组的解． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系． （1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可． （2）根据中心对称的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称， ∴方程组的解为． 19. 如图，是的角平分线，，交于点F．已知． （1）求的度数． （2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略 20. 已知y是x的一次函数，当时，；当时， （1）求一次函数的表达式． （2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解以及图象上的点，掌握待定系数法是解题关键． （1）设一次函数的解析式为：，根据题意建立方程组即可求解； （2）把代入得，即可求解； 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为：， 则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 【小问2详解】 解：把代入得： ∴， ∴ 21. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】（1） 解： ，理由如下： ， ，， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 不等式可转化为：， ； 【小问3详解】 解：， 不等式可转化为：， ， 不等式组组的解集为， ， ． 【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 23. 综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【答案】 （1）如图 （2）（3）22个 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用．解题的关键是求出一次函数的解析式． （1）描点，连线画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，进行求解即可； （3）将代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：[建立模型] （1）根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数， 设h关于x的函数关系式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴h关于x的函数关系式为； （2）当时，， ∴这摞杯子的总高度； （3）当时，， 解得：， ∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里． 24. 在中，，点P为线段上任意一点（P与B，C不重合），连接． （1）若，， ①求的最小值． ②当时，求的长． （2）若，，请用含m，n的代数式表示，并说明理由． 【答案】（1）①6；②或 （2），理由如下： 过点A作于点E，由（1）可知， 在中，， 在中，， 得： ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理； （1）①过点A作于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，当点P与点D重合时，最小，进而可得答案； ②利用勾股定理求出，然后分情况计算的长即可； （2）过点A作于点E，利用勾股定理得出，，两式相减，整理后可得结论． 【小问1详解】 解：①过点A作于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当点P与点D重合时，最小， ∴的最小值为6； ②∵，， ∴， ∴或； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $