2.3 一元一次不等式与一次函数第1课时 一元一次不等式与一次函数课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式与一次函数的关系，通过“议一议”问题链导入，先关联一元一次方程与不等式的内在联系，再以一次函数y=2x-5为例，从函数值等于0、大于0、小于0的情况出发，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立方程、不等式与函数的关联。 其亮点在于以数形结合为主线，通过作出函数图象并观察分析，直观解决不等式问题，体现几何直观和抽象能力。应用举例结合赛跑、行李托运等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界的意识。课堂小结明确转化关系，助力学生构建知识结构，学生能深化对代数与几何联系的理解，教师可借助清晰例题和练习提升教学效率。

北师版-数学-八年级下册 第二章 不等式与不等式组 3 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数 1 导入新课 议一议： 问题1：我们学习了一元一次不等式的定义和解法，无论是定义还是解法都雷同于一元一次方程，那么不等式与方程二者是否存在某种内在的关联呢？ 问题2：在一次函数y＝2x－5中，当y＝0时，有方程________；当y>0时，有不等式__________；当y<0时，有不等式________． 2x－5＝0 2x－5>0 2x－5<0 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式． 探究新知 探究 【探讨一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系】 问题1：作出函数y＝2x－5的图象． O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y=2x-5 A(2.5,0) b(3,1) 问题2：观察图象回答下列问题： (1)x取什么值时，2x－5＝0? 解：由图象可知（1）当x = 时，2x-5=0. O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y=2x-5 (2)x取哪些值时，2x－5＞0? （2）当x > 时，直线y=2x-5在x轴的上方，则2x-5>0. O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y=2x-5 (3)x取哪些值时，2x－5＜0? O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y=2x-5 解：当x < 时，直线y=2x-5在x轴的下方，则2x - 5 < 0. (4)x取哪些值时，2x－5>1? 解：当直线y=2x-5上的点的纵坐标的值为1时，这点的横坐标的值为3. 当x>3时，直线y = 2x-5在直线y=1的上方，则2x - 5 > 1. O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y=2x-5 问题3：如果y＝－2x－5，那么当x取哪些值时，y＞0？当x取哪些值时，y＜1? 解：首先要画出函数y＝－2x－5的图象，如图： 0 -3 -2 -1 1 2 -5 -4 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y y=-2x-5 A(-2.5,0) B(-3,1) 从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在点A的左侧，即为小于－2.5的数，所以当x＜－2.5时，y＞0. 也可因为－2x－5＞0，解不等式即得x＜－2.5.同理可得，当x＞－3时，y＜1. 0 -3 -2 -1 1 2 -5 -4 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y y=-2x-5 A(-2.5,0) B(-3,1) 思考：如果y＝－2x－5，那么当x取哪些值时，y＞0？当x取哪些值时，y＜1？你是怎样求解的？ 方法一：运用函数图象 作一次函数 y=-2x-5 的图象。 当x＞-2.5时，y＜0； 当x＞-3时， y＜1。 0 -3 -2 -1 1 2 -5 -4 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y y=-2x-5 A(-2.5,0) B(-3,1) 方法二：将函数转化为不等式 解不等式 -2x-5＜0，-2x-5 ＜1。 故当x＞-2.5时，y＜0；当x＞-3时， y＜1。 -2x-5＜0 解得：x＞-2.5 -2x-5＜1 解得：x＞-3 应用举例 例1 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m．若哥哥与弟弟所跑的路程分别为s1，s2(单位：m)，哥哥跑的时间为t(单位：s)，分别列出s1，s2关于t的函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： (1)何时哥哥追上弟弟？ (2)何时弟弟跑在哥哥前面？ (3)何时哥哥跑在弟弟前面？ (4)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m? 【方法指导】哥哥跑了t s，速度为4 m/s，则路程s1＝4t，弟弟先跑9 m，速度为3 m/s，则路程s2＝3t＋9，根据题意画出一次函数图象． 解：根据题意，得s1＝4t，s2＝3t＋9. 3 O 9 t/s s/m 函数图象如图： 从图象上来看： S1 S2 36 (1)9 s时哥哥追上弟弟； (2)当0＜t＜9时，弟弟跑在哥哥前面； (3)当t＞9时，哥哥跑在弟弟前面； (4)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m. 例2 一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则kx＋b＞x＋a的解集是_____________． 【方法指导】由图象可以看出，y1＝kx＋b与y2＝x＋a的交点的横坐标为－2，当x＜－2时，对于同一个x值，直线y1＝kx＋b上的点在直线y2＝x＋a上相应点的上方，这时kx＋b＞x＋a，即不等式kx＋b＞x＋a的解集为x＜－2. O x y y1=kx+b －2 x＜－2 我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。 一元一次不等式问题 一次函数问题 转化 归纳总结 随堂练习 A 1．已知函数y＝8x－12，要使y>0，那么x应取 ( ) A．x> B．x< C．x>0 D．x<0 2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是 ( ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3 3．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x<0时，y的取值范围是 ( ) A．y>0 B．y<0 C．－2<y<0 D．y<－2 C D 4.已知 y1=-x+3，y2=3х-4，当 x 取哪些值时，y1＞y2？当 х 取哪些值时，y1＜y2？ 当x > 时，y1 < y2 ； O x y 3 3 -4 y1=-x+3 y2=3х-4 解：函数图像如图所示。 当x > 时，y1 < y2 。 5.如图，方方、元元两人同时出发，均沿同一方向在同一直线上行走，OA，BA分别表示方方、元元两人在行走过程中离方方的出发点的距离s（单位：m）与行走时间t（单位：s）之间的函数关系。试根据图象回答下列问题： （1）方方、元元两人中，谁的速度较快？ （2）在什么时间段内，方方在元元的前面？ 在什么时间段内，方方在元元的后面？ 在什么时间，方方、元元两人相遇？ 解：（1）方方的速度较快。 （2）由图象可看出，在8 s之后，方方在元元的前面；在8 s之前，方方在元元的后面；在8 s时，方方、元元两人相遇。 6．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数，由图可知行李的质量只要不超过______kg，就可以免费托运． 20 课堂小结 一元一次不等式 可以研究一次函数的图象走向 通过图象可直接解不等式 一次函数 数形结合 课本P69习题2.3中的T1、T2. 课后作业 24 $