精品解析：广东省河源市紫城第二中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年第一学期 九年级数学第二次月考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的基本性质．由比例关系，可设，（），代入各选项验证即可解答． 【详解】解：设，（）， A、 仅为特例，不一定成立； B、，，则，故不成立； C、，故不成立； D、，成立． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程－配方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， 配方得，即． 故选：B． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键． 根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意， B． 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意， C． 四个角都相等的菱形是正方形，故该选项说法正确，不符合题意， D． 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项说法错误，符合题意， 故选D． 4. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 5. 一元二次方程，该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵c＜0 ∴16-4c＞0 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 7. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 8. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 9. 为庆祝2025年国庆，某纪念品厂1月份生产阅兵模型100万件．计划通过技术升级，使3月份的产量达到121万件．若月平均增长率相同，设该增长率为．根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据题意找出正确的等量关系，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 10. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 台灯下数学书的影子是 _______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于光源是由一点发出的，因此台灯下数学书的影子是中心投影， 故答案为：中心． 12. 相似比为的相似三角形的面积比为________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的面积比，解题关键是掌握三角形的面积公式． 【详解】解：三角形面积=底高，三角形的相似比为， 相似三角形的面积比为，即， 故答案为：． 13. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 14. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 15. 如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点，过点作于点，连接，若的面积是，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 本题可先利用反比例函数的性质得出相关三角形的面积关系，再结合中点的性质，通过三角形面积的比例关系求出的值． 【详解】解：设点坐标为． ∵是的中点，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数上，， ∴， ∵，且， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解如下方程 （用配方法） 【答案】 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：（1） 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解方程的步骤正确计算是解题关键． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． （2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【答案】（1） （2）的值为，另一个实数根为 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据方程总有两个实数根，可得，代入数值化简即可． （2）根据根与系数的关系，得，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程总有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 则m的取值范围是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设另一个实数根为， 由根与系数的关系，得， 即， 整理得：， 解得：， 代入中，即， ∴， ∴的值为，另一个实数根为． 18. 大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； （2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 【答案】（1）， （2）销售单价应涨价元． 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量； （2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案 【小问1详解】 由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意可列方程：， 化为：， 解得：， 因为又要“薄利多销”， 所以不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． （1）问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ （2）问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】（1）2秒或秒后可使的长为 （2）t的值为秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． 【小问2详解】 解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 20. 2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次竞赛抽取学生的人数为__________，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是__________，中位数是__________． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生和2名男生，现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）100， 补全条形统计图如图所示： （2）96，95.5 （3） 【解析】 【分析】（1）先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次竞赛抽取学生的人数为：（人）， B组人数：（人）， 【小问2详解】 解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100， ∴中位数为：， ∵96出现次数最多， ∴众数为96， 故答案为：96，95.5； 【小问3详解】 解：1名女生记为A，2名男生记为B，C， 画树状图如下： ∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种， ∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，树状图或列表法求概率，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，以及正确从统计图中获取需要的信息． 21. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分． 22. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）的值为8． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 23. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，设直线的解析式为． （1）求反比例函数解析式和直线的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿轴负方向平移直尺，当恰好平分时，直接写出直尺平移的距离． 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图象法求不等式的解集，角平分线的性质，解决本题的关键是正确求出函数解析式． （1）根据线段的长度和刻度尺上的计数求出点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可，进而求出点C坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （2）由图象中一次函数图象在反比例函数图象上面的部分的位置得到不等式的解集； （3）连接，作于点H，当恰好平分时，，结合反比例函数解析式求出点D的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点，的刻度分别为5，2，，， ，， 点B的坐标为，点A的坐标为，点C的横坐标为4， 将代入，得：， 解得， 反比例函数解析式为：， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可知：不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点H， 当恰好平分时， ，， ， 即点C的纵坐标为2， 将代入得：， 解得， 即点D的横坐标变为3， 直尺平移的距离为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 九年级数学第二次月考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 4. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 一元二次方程，该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 8. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 为庆祝2025年国庆，某纪念品厂1月份生产阅兵模型100万件．计划通过技术升级，使3月份的产量达到121万件．若月平均增长率相同，设该增长率为．根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 台灯下数学书的影子是 _______投影．（填“平行”或“中心”） 12. 相似比为的相似三角形的面积比为________； 13. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则___________． 14. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点，过点作于点，连接，若的面积是，则的值为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解如下方程 （用配方法） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． （2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 18. 大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； （2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． （1）问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ （2）问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 20. 2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次竞赛抽取学生的人数为__________，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是__________，中位数是__________． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生和2名男生，现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 21. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分． 22. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 23. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，设直线的解析式为． （1）求反比例函数解析式和直线的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿轴负方向平移直尺，当恰好平分时，直接写出直尺平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $