湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试卷

■ 2025年秋季高三年级期末考试 数学答题卡 姓 名 准考证号 考场 号 座位号 : 贴条形码区 填徐样例 正确机登■ 注 L.不们。考生务静是地精自己的性名、准延号、号垢写，位号蜡号在发定的卫置，准条 上的准考正号。性名与米人相行并究全正确夏考试得口迪相机后，转影息明格品定侵定的位置。 事 J,考生是角在若延中各延目的悦定答每区城若题，起出着@区域是组非厚的首蛋无效，在夏风版， 项 4,但持中面桥情。不流拆叠。不泄香篮。 选择题【请用2B铅笔填涂) 1 刀EDc四D 5团mD 。团田四四 2 知D的D 6团D四四 0因D四) 3 0D四D 7团D四四 110D四 4 0D0 8团0四0四 非选择题【请使用0.5毫米的偶色字流荟字第书写】 12. 13. 14. 15.(13分 晴在各题口的答到区成内作许，超山瓜色地形边区定区城的容案无效 (续15.) 16.(15分) 硝在各题日的答知区成内作答，超出丛色矩形边框限定区城的答案无效 17.(15分) 性刷 刃生 女生 合计 不图根名参加答题话动 愿意根名参加容题话动 合计 200 请在各题日的谷题区域内作答，如出因色矩形边区取定区城的春案无数 18.(17分) 请在各通口的咨题区域山作容，团山烟色矩形沙框限定区域的答素无效 (续18.) 19.(17分) 请在各题目的咨题区域内作答，超出国色矩形边瓶限定区歧的浴案无效 (续19.)2025年秋季高三年级期末考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120.分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4,考试结束后，请将答题卡上交， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1若复数z=1十 ”1-i,则z-22= A.-3i B.3i C.-3 D.3 2.设a,b∈R,则“a十b>0”是“a3+b3>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.有一散点图如右图，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10) ●E(10,12) 后，下列说法正确的是 ●D(3,10) A.解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱 ●C(4,5) ●B(2,4) B数据y的方差变大 A(1,3) C.决定系数R2变小 o D.残差平方和变小 4.若2sin0-cos0=2,0∈ x小则in20= 7 A.一25 B.一 24 c D 高三数学试卷第1页（共4页） 5.设函数f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2一1，则 f)= 1n2 A.e-1 B.1-e 1一1 D.1-1 6,已知双曲线-31(Q>0b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于工细 的直线与该双曲线右支交于A,B两点，直线AF,BF,分别交y轴于M,N两点， 若△MF1N的周长为24，则a十b的最大值为 A.12 B.16 C.6√z D.62+6 7.直线y=x十1与x,y轴分别交于M,N两点，点P在圆C:x2-2x十y2=0上，当 △MNP面积最大时，PM·PN= A.3+2√2 B.3-2√2 C.1+√2 D.N2-1 8.当x>1时，关于x的不等式(2x一1)e一a(x一1)≤0仅有两个正整数解，则实数a 的取值范围是 A.[4e,3e2) B3eey C.o.e D.e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,点P,Q分别为A,B,CC1的中点，则 A.PQ⊥AB B.PQ⊥平面A1BC1 C.PQ∥平面ABC D,BQ∥AC 10.已知函数f(x)=x(x一a)2在x=1处有极大值，则 A.a=1 B.f(2+x)+f(2-x)=4 C.若0≤x≤t时，f(x)的值域为[0,4幻，则t的取值范围为[1,4] D.曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线与曲线f(x)有两个不同的公共点 11.已知函数fk(x)=cos2x一sin2x,gk(x)=cos2x十sin4x,k≥2且k∈N",则 A函数f)在[0，]上单调递减 B函数ga(x)的最小正周期为 C.函数y=f.(田的图像关于x=牙对称 D.函数gk(x)的值域为[2-，1] 高三数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记S。为等差数列{an}的前n项和，若a1十a5=14,2a2十a3=15,则S1s= 13.2025的正因数的个数为 个.（用数字作答） 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,满足2S= a2一(b一c)2,若a2+b2=√2S,则t的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 已知函数f(x)=a-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1)，记数列{an}的前n项 和为Sm,且Sn=f(n) (1)求数列(am}的通项公式； 2n-3 (2)设6，-a,十1a+1十数列6.}的前n项和为工，求证：T,<号 16.(本题满分15分) 如图，在三棱台ABCA1B,C1中，CC1⊥平面ABC,E为CC,中点，BC⊥AE. (1)证明：AC⊥BE; (2)若AC=2A1C1=2CC1=4,BC=3,求直线EB1与平面 ABE所成角的正弦值. 17.(本题满分15分)》 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生 参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、 女生各取100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据 统计PA)-,P(BIA)=号 (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检 验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 高三数学试卷第3页（共4页） 2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为， (1)若答题活动设置n(n∈N°且n≥10)道题，甲仅答对其中10道题的概率最 大，求n的值 (川)若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束 答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X 表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望， n(ad-bc)2 参考公式与数据：X=a+b)C十)a十c)6十d其中n=a+6+c+d. Q 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(本题满分17分) 知图，在平面直角坐标系0，中，椭圆C:多十片-I(@>b>0)的上顶点为A 焦点为F,焦距为4√3，△AOF的面积为6，点D(m,n)为椭圆上一点，圆D的面积 为8π (1)求椭圆的离心率； (2)过原点O作圆D的两条切线OM,ON分别交椭圆于M,N. (1)若直线OM,ON的斜率都存在，分别记为k1,k2,求k1k2的值； (i)求|OM|ION|的最大值. 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ae一x2. (1)求函数f(x)的最值； (2)讨论函数g(x)在(0，十∞)上极值点的个数； (3)设函数k(红)=fx)+8(x),若(x)在定义域内有三个不同的极值点x1,x2, ,且满足h(z·nC)h(z≥4，求实数a的取值范围 高三数学试卷第4页（共4页）2025年高三秋季期末考试 数学参考答案 一、单选题 1.A2.C3.D4.B5.B6.D7.A8.C 8.【详解】（课本选择性必修二P104.17改编） >1时不等式等价于：a≥2x-)e x-1 设fw=(2r-1 2,(x>2),x>1时，f)=2x-3)e>0恒成立， x-1 (x-1)2 a≥f(3) ,解得子esa<了。版选C 7 所以a≥f(x)有两个正整数解2和3，则 a<f(4) 2 二、多选题 9.AC 10.BC 11.ABD 三、填空题 12.330 13.15 14.10-3V5 2 14.【详解】整理得2S=a2-(b-c)=a2-(b2+c2)+2bc,2 bccosA=b2+c2-a2, 所以besinA=2bc-2 bc cosA,所以simA=2-2cosA, 因为sin2A+cos2A=1,所以4-8cosA+4cos2A+cos2A=1, c0sA-8c0s4+3=0,解得cosA=或cosA=1(舍 因为40经》所以m4=--号号 94 在锐角△ABC中，有C<号，B=元-A-C<号，则0<号A<C< 2 所以tanc>tan正-=2功 cosA3 cos(-A)）sin44 因为b_sinB_sim4+C9_sin AcosC+cosAsinC c sinc sinC sinC sinA 4.3 +cosA=- tanC 5tanC 5' tanC<3,所以0<，4l6 因为mc>子，所以0<C< 5tanc 15' 所cg含所u子 -1- 因为a2+b2=√2tS, 所以t=d+h=V5.2+c2-2ccos4-V5 2b2+c2-6bc 5=V2.10b+5c2-6c V2S bcsin A 4bc 兴6多姬之+} 4b21 4c2 1 1 当且仅当2=即=2时取等号， 2 所以1的最小值为525-》=10- 2 四、解答题 15.【详解】(1)由题意f(1)=1→a-1=1→a=2 1分 所以数列{an},其前n项和为S。=2”-1.… 2分 当n=1时，4=2-1=1： 当n≥2时，a=S。-S1-(2”-1-(2-1-1=21.. 5分 n=1时，上式亦成立 所以a=21,n∈N. … 6分 a)a品4p2- 2”-3 1 2-1 9分 1.11,11 1 1 7=b+6,++b42+12+12+12+++2+12+ 十…+ 111》 =422+1 …12分 .13分 16.【详解】(I)证明：CC1⊥平面ABC,AC,BCc平面ABC,∴.CC,⊥BC,CC⊥AC 又BC⊥AE,CC,c平面ACCA,AEC平面ACC,A,CC∩AE=E .BC⊥平面ACCA1 3分 C ACc平面ACC1A1,.BC⊥AC,又，CC,⊥AC BCC平面BCC1B1,CC1C平面BCC1B1,CC1∩BC=C, ∴.AC⊥平面BCC,B,BEC平面BCC1B1 -2- .AC⊥BE …6分 (2)由(1)知直线CA,CB,CC1两两垂直， 分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示 …7分 AABC~AA BICAC-2ACBC-iBC- 依题意得A(40,0),B(0,3,0),E(00,1),B1(0,3,2) …9分 EA=(4,0-1),EB=(0,3-1),设平面ABE的法向量元=(x,y2),则 丽0货8m=41B=o, …12分 设EB1与平面ABE所成角为9 sin0=cos(B,=分g 6+12 =36V3 …14分 同1画9+16+年1 169 ·B,与平面ABE所成角的正弦值为36区 …15分 169 3 所以愿意报名参加答题活动人数为200×？=120， 3 17.【详解】(1)因为P(A)= 又因为P(B1A)=2,所以愿意报名参加答题活动的男生人数为120X280,愿意报名参加答题活 3 3 动的女生人数为120-80=40，则可得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 …2分 零假设为H。：学生报名参加答题活动与性别无关， 则x2-200x(20×40-80×602100 100×100×80×120 3 10.828=x0.01 依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；....4分 (g日设随机变悬Y为甲常对盟日的个数，期上一80号 .5分 -3- P(Y=10)>P(Y=11) 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 P(Y=10)>P(Y=9) ,即 Cc .7分 c)>) 又neN,则n=15 31 解得14<n< 9分 (DX的所有可能取值为：1,2,3,4， px=川子nr=2含号号px-) 3 (x-4) 所以分布列为 X 1 2 3 4 2 2 1 9 27 .....12分 (x)-1+2号+ 9 +4x140 、2 27 27-27 .15分 18.【详解】（①）依题意得SaA0bc-6,2c=4W3, 六6=2W5.b=25a=+c2=24e=c=V2 …4分 a 2 (QXi)依题意得圆D(c-mP+-mP-8,椭圆C兰+日-1，点Dw川为椭圆上一点 24 号12=12-) 直线oMy=kx,ONy=kx与圆D相切，÷=-2V万，-2V5 1+k2 √1+k22 …6分 平方整理得k1,k2为方程(m2-8)k2-2nk+(n2-8)=0的两根， …8分 kk,=8-1总8月 m28 …10分 m2-8 (ⅱ）解法一设M),N)由(i)知kk:=器=片，所以 y1y2=x2x,3 …12分 -4- y12=120-y2=121-141-0-3)=x122 整理得x2+x2=24,y2+y22=121-)+121-)=12, …14分 1OM2+|ON2x12+y12+x2+y22=36 …15分 由基本不等式OM2+|ON2≥2OMON,得1OMON≤18，当且仅当OM=|ON时等号成立. ∴OMON的最大值为18. …17分 解法二：设M(x,y),N(x2,y2),直线OM:y=x,代入x2+2y2=24得：x2+2(飞1x)2=24 六x12=24 1+2612h2-飞1)2=242 1+222-24163 …12分 1+2k121 同理直线ONy-k代入2+3224得2学白046=月 …13分 x22+y22= 宁之4-型 12 …14分 4k12+2262+1 417 10M2+0N2=x12+y12+x22+y22=2462+1244=36 …15分 1+262 2612+1 由基本不等式OM+lON≥2OMON,得|oMoN≤18，当且仅当时oM|=lON, 此时=9，西=-号或k=-9,后等号成立 ∴OMOM的最大值为18. …17分 (其它方法酌情给分) 19.【详解】 f()=lx+x.=x+1 .1分 令f()>0,lnx+1>0,心，所以)在(g+∞)上单调递增： 令f()0,l血x+1<0,0<x<,所以)在(0)上单调递减， .3分 所以)的最小值为/（得）=血，无最大值 .4分 (2)由题意知，即讨论g(x)在(0，+o)上变号零点个数 gw=ae-2=e-a-5,令r)-2x>0,则r国-20， …5分 当x∈(0,1)时，r'(x)>0,(x)单调递增； 当x∈(1，+o)时，T(x)<0,(x)单调递减， …6分 -5- 又当x→切时，的→0，且0=2，可以作出四的大致图象 e 所以当a≥2时，g(≥0，单调递增，无极值点 当a≤0时，g'(x)<0,单调递减，无极值点 当0<α<时，设r⑧=Q两交点横坐标分别为心九，g9在(0，m单调递增，L0单调递减， (,+∞)单调递增，g()有一个极大值点，一个极小值点 ……8分 综上，当a≤0或a≥2时，g()无极值点 e 2 当0<a<二时， g(x)有两个极值点 …9分 e (③)整理得(= -x+nx,其定义域为(0，+o), x 则hw-a-ae-1+-ac--k>0 x2 xx 令)=0，得x=1或a=。设()=怎>0)，则()1 当x∈(0,1)时，p(x)>0,p(x)单调递增： 当xe(1,+o)时，p(x)<0,(x)单调递减， …11分 又当x→0时，()→0；又当x→+时，以)→0，且0=1 y=0(x) v-=a 因此()的大致图象如图所示， 因为h(x)在定义域内有三个不同的极值点x,x2,x, 所以4田与y=a有两个不同的交点，所以0<a<马 ………12分 不妨设x<x2<x,则0<x1<1=x2<, 所以a-点点，所以 nx=x+lna Inx =x+Ina 前s)hs-(g+m jve a+hx） =(ae-1)1-x,+lnx)0-x,+hx3)=ae-1)A+ha). 令p@=(e-l-ha〔oca对则pr@=+ha3ccna .…14分 因为y=elha在 2 1 所以y=3e+elna-二在0， 上单调递增，所以3c+cna-2<36+en}-2e=0, 2 e e 又1+na<1+n-0,所以p(@>0,所以pa)在0， 上单调递增 e 因为宁（日-11-或-40 因t当a=哈为时，a20。c …16分 e2 e2 即当a [是3时，)ad))e相立 所以实数a的取值范围是a∈ 11】 e 'e …17分 -7-2025年秋季高三年级期末考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将答题卡上交 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若复数z= 1十2025 1-i,则2-22= A.-3i B.3i C.-3 D.3 2.设a,b∈R,则“a十b>0”是“a3十b3>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.有一散点图如右图，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10) ●E(10,12) 后，下列说法正确的是 ●D(3,10) A解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱 ·C(4,5) ·B(2,4) B.数据y的方差变大 A(1,3) C.决定系数R2变小 D.残差平方和变小 4若2in0-co9=2.0c(小则sn20= A- B、24 路 2 25 025 5.设函数f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2一1，则 1n2 A.e-1 B.1-e C-1 D,1-1 6已知双曲线紧- =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,过F:且垂直于工轴 的直线与该双曲线右支交于A,B两点，直线AF,,BF,分别交y轴于M,N两点， 若△MF,N的周长为24；则a+b的最大值为 A.12 B.16 C.62 D.62+6 7直线y=x十1与xy轴分别交于M,N两点，点P在圆C:x2-2x十y2=0上，当 △MNP面积最大时，PM·PN= A.3+2② B.3-22 C.1+√2 D.2-1 8.当x>1时，关于x的不等式(2x一1)e'一a(x一1)≤0仅有两个正整数解，则实数a 的取值范围是 A.[4ei,3e2) B.se.ge D.o.e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.直三棱柱ABC一A,B,C1中，CA=CB,点P,Q分别为A,B,CC1的中点，则 A.PQ⊥AB B.PQ⊥平面A,BC C.PQ∥平面ABC D.BQ∥AC 10.已知函数f(x)=x(x一a)2在x=1处有极大值，则 A.a=1 B.f(2十x)+f(2-x)=4 C.若0≤x≤t时，f(x)的值域为[0,4]，则t的取值范围为[1,4] D.曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线与曲线f(x)有两个不同的公共点 11.已知函数f.(x)=cos4x一sinx,gt(x)=cosx十sinx,k≥2且k∈N”,则 A函数fax)在0，号 上单调递诚 B函数g:(x)的最小正周期为 C函数y=f,(工)的图像关于x=牙对称 D.函数gk(x)的值域为[21-·，1] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记S。为等差数列{an）的前n项和，若a1十as=14,2a2十a3=15,则Ss= 13.2025的正因数的个数为 个.（用数字作答） 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,满足2S= a2一(b一c)2,若a2+b2=2S,则t的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知函数f(x)=a'一1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1)，记数列{a.}的前n项 和为S.,且Sn=f(n). (1)求数列(a.)的通项公式； 2-3 (2)设6.一a,十a十D数列6，)的前n项和为工，求证：T.<营 16.(本题满分15分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C,中，CC1⊥平面ABC,E为CC,中点，BC LAE. (1)证明：AC⊥BE; B (2)若AC=2A1C1=2CC1=4,BC=3,求直线EB1与平面 ABE所成角的正弦值. 17.(本题满分15分)》 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生 参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、 女生各取100人设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据 3 2 统计P(A)=号，P(BIA)= (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检 验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2②)网络答题规则：假设甲每道题回答是香正确相互独立，且每次答对的概率均为号 (1)若答题活动设置n(n∈N”且n≥10)道题，甲仅答对其中10道题的概率最 大，求n的值 (1)若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束 答题，答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X 表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望。 参考公式与数据：X= n(ad-bc)2 a+b)(c+d)(a+c)b+其中m=a+6+c+d. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(本题满分17分) 如图往平角丝标系0w中精圆c是1a>>0的上顶点为A,左 焦点为F,焦距为4，△AOF的面积为6，点D(m,n)为椭圆上一点，圆D的面积 为8m. (1)求椭圆的离心率； (2)过原点O作圆D的两条切线OM,ON分别交椭圆于M,N. (1)若直线OM,ON的斜率都存在，分别记为k1,k2,求k,k2的值； (i)求IOMIION的最大值. 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ae2-x. (1)求函数f(x)的最值； (2)讨论函数g(x)在(0，十∞)上极值点的个数； (3)设函数h(x)=f(x)+g(x) ,若h(x)在定义域内有三个不同的极值点x1,x2, 工且满足h(x)·h(x)·h(z)≥41一 2,求实数a的取值范围。