甘肃省兰州市兰州新区多校2025-2026学年高二上学期期末学业水平质量测试数学试卷

绝密★启用前 高二上学期期末学业水平质量测试卷 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效， 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔迹签 和 字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列(an}中，已知a4=3,ag=8,则a12= () A.11 B.12 C.13 D.14 2.抛物线y=2x2的准线方程为 渐 架 Ay=-号 Bx=-号 C=-青 D.x=-1 3.已知直线l1:ax-y十1=0，l2:3x一(a-2)y十2a一1=0，若l1∥l2,则a的值为 A号 B.3 C.-1 D.3或-1 4,甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同 嵌 密 的选课方案有 () A.24种 B.36种 C.64种 D.81种 5已知F1,F2分别为双曲线C:若-片=1(@>0，b>0)的左右焦点，直线1过F,与C交于A,B两点) 若4|AB引=3|BF2|,AF1=2F1B,则C的离心率为 () 如 A罗 B号 c D.2 6.过直线2x十y一8=0上一点P作圆O:x2十y2=4的两条切线，切点分别为A,B,则|AB|的最小值为 () A.22 B.√1I C.√15 D.4√② 乙已知双曲线C:子-号=1，过右焦点F的直线L与双曲线C交于A,B两点，且1AB=5,这样的 羊 直线有 () A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【高二上学期期末学业水平质量测试卷·数学第1页（共4页）】 8.如图1，四边形A1B1C1D1是一边长为7cm的正方形.A2,B2,C2,D2依次将A1B1,B1C1,C1D1, D1A1分成3：4的两部分，得到正方形A2B2C2D2,依循相同的规律，Ag,B3,C3,Dg依次将A2B2, B2C2,C2D2,D2A2分成3：4的两部分，得到正方形A3B3C3D3.不断重复这个步骤，得到正方形 A4B4CaD4,…,ABC Dn,….一蚂蚁从A1出发，沿路径A1A2A3…An…爬行，如图2所示，则该 蚂蚁所爬行的总距离最接近于 () D C Bs 图1 图2 A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线l:kx一y一2k+1=0与圆M:x2+y2一2x一4y十1=0，则下列说法正确的是 () A.直线l恒过定点(2,1) B.圆M的半径为2 C.存在实数k,使得直线1与圆M相切 D.若=一1，则直线1被圆M截得的弦长为2 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直线交C于点A(x1,y1),B(x2,y2) (其中y1>0),与C的准线交于点D.下列结论正确的是 () A.y1y2=-16 B1AB到=9 C.△A0B的面积为163 3 D.AFI=DFI 11.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门， 连续开设六个月，则下列说法正确的是 () A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C.若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知C20=C6-8,则k= i3.在(2+x)”的展开式中，若2的系数为a,(m≥2，则2尘+2+…十22 az a3 an 14.已知0为坐标原点，A,R2为精圆兰十 椭圆2+名=1(a>6>0)的左、右焦点，F1F21=8,P是椭圆上异于 顶点的一点，点Q是以PF2为底的等腰△F1PF2的内切圆的圆心，过F1作FM⊥PQ于点M, 1OM=2,则椭圆的离心率为 【高二上学期期末学业水平质量测试卷·数学第2页（共4页）】 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在(2-）”的展开式中，第5项为常数项。 (1)求n的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和 16.(本小题满分15分) 如图所示椭圆C导+ +京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条直线乙 经过F1与椭圆交于A,B两点，△ABF2的周长为16，离心率e=7 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1的倾斜角为45°，求△ABF2的面积. 17.(本小题满分15分) 已知数列a冲，a1=1,a+1。千2n∈N4,数列，}的前n项和为S,且5.= (1)求数列{bn}的通项公式； (2)证明：数列层+1为等比数列： (3)求{（后，+1)·6}的前n项和。 【高二上学期期末学业水平质量测试卷·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知圆C:x2+y2-2λx一4y十1=0的圆心C在直线x-y+1=0上，过点P(0,一1)的直线l与 圆C相交于A,B两点. (1)求圆C的方程； (2)当|AB|=2√3时，求直线l的方程； (3)若点Q(1,一1)，是否存在直线1，使得向量QA+QB与PC共线？如果存在，求出直线1的方程； 如果不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线L交抛物线E于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点，当直线1的斜率为1时，|AB引=16. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点P(4,0),直线AP,BP分别交抛物线E于C,D两点. ①求证：直线CD过定点； ②求△PAB与△PCD面积和的最小值. 【高二上学期期未学业水平质量测试卷·数学第4页（共4页）】高二上学期期末学业水平尼 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.选C因为{an)为等差数列，所以有a4十a12=2a8,所以 a12=2a8-a4=13. 2选C由y=2x2得2=2，故抛物线y=2x2的准线 方程为y=一日 3.选B当a一2=0时两直线不平行，当a一2≠0时，因为 41∥12，所以g=-1 1 3-a+2≠2a-→a=3. 4.选D甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、 张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有 34=81种选择. 5.选A设|AF1|=2|F1B|=2m,则|BF2|-BF1|= AF2|-AF1|=2a,所以|BF2|- n=|AF2-21=2a,则 /IBF21=n+2a,由4AB1= |AF2|=2n+2a, 3|BF2|,则12n=3(n+2a),故n= 号a,年上BF1=号a,BF, 号4.An1=专aA=9a,则ABP+1BF2= 1AF,即∠F,BF=受，所以4r=号d+a ,可得92=1a,所以e-台-√店- 3 6.选B设P(a,b),则以线段OP为直径的圆的方程是 x(x-a)+y(y-b)=0,与圆O的方程x2+y2=4相 减，得a.x十by=4,即直线AB的方程为a.x十by=4,又点 P在直线2x十y-8=0上，所以2a十b=8,则b=8-2a, 代入直线AB的方程，得a(x-2y)+8y-4=0,令x= 2,则8y-4=0,得x=1y=,所以直线AB过定点 C(1,2),所以0C=号，数形结合可知AB1的最小 值为√-=m 7.选D如果A,B在同一支上，则有ABIin=0=9 a 2 =3,如果A,B在两支上，则有|AB|min=2a=4.因为 |AB|=5,所以这样的直线有4条，故选D. 8.选B依题意AA,=号AB=号X7=3,BA, 号AB=号×7=4，则BB,=AA=3,所以A,B,= VA,+B,蹈=5，所以AA,=号AB,=号×5=与 所以流-吾同理可得大试-令a=人 则{a,}是以3为首项，号为公比的等比教列，共前n项和 专量测试卷·数学参考答案 -(] S=- 1- 引1-（号）"门当+∞时5 →21=10.5，最接近的值为10cm,故选B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.选AB直线1：kx-y-2k十1=0变形为y一1= k(x一2)，故直线1恒过定点(2,1)，A正确；圆M:x2十 y2-2.x-4y+1=0变形为(.x-1)2+(y-2)2=4,半径 为2，B正确；因为定点(2,1)在圆(x一1)2+(y-2)2= 4内，所以直线与圆相交，故不存在实数k,使得直线1与 圆M相切，C错误；若k=一1，直线方程为1：x十y-3= 0,圆心(1,2)在直线1：x十y-3=0上，故直线l被圆M 截得的弦长为直径4，D错误. 10.选BD由已知可得，F(1,0),准线 l:x=-1,直线AB的方程为x= 3y十1，联立直线AB与抛物线的 方-得+1可得-4， y2=4x, 一4=0、由根与系数的关系可得M十为-45， 3132=一4， 故A错误：结合图象，由弦长公式得AB气√1十3M一 气√+5+w-后N厚+16-营故B 正确；点O到直线y=√5(x一1)，即x-y一√5=0的 距离为1一号所以△A0B的面积S=义 1ABl·d=×号×-1，故C错误：过点A作 2 AA1⊥1，连接A1F,因为y1=2√5，所以x1=3,则点 A(3,25).将x=-1代入直线AB的方程y= (x-1)可得，y=-2√3，即D(-1,-2√5).所以线 段AD中，点坐标为(1,0)，恰好为，点F,故D正确. 11.选ACD学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有 CC=15×15=225种不同的选法，A正确；课程“乐” 着在“书”育西，可得深程共有号-四=测种#法，B 错误：课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先 排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2 个，安排课程“射”“御”共有AA号=480种排法，C正 确：课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个 月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有 A=120种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月 时，共有4×4×A1=4×4×24=384种，故课程“数”不 排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有 120十384=504种排法，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.解析：由组合数的性质CW=CW一m,则有k=3k一8或 (3k-8)十k=20,解得k=4或k=7. 答案：4或7 13.解析：由二项展开式的通项可得 T,+1=C%·2m-r·x‘, 令r=2,可得x2的系数为C?·2”-2, 所以an=C%·2"-2=n("21.2m-2, 2 则2”-2=2.2m-2 则+2+…+2” a2 a3 an =2-++号++ n-1 n =2-2=2m-2 nn 答案.2n-2 14.解析：因为F1F2|=8,即2c=8,所以c=4. 因为点Q是以PF2为底的等腰△F1PF2内切圆的圆 心，则|PF=|F1F2|=8, 所以PQ为∠F1PF2的角平分线，延长FM交直线 PF2于点N, ∠FPM=∠NPM, 在△PF,M与△PMN中，PM=PM, ∠PMF1=∠PMN=90°， 所以△PF1M≌△PNM, 所以|PF|=|PN|=8,IMF|=|MN|, 所以M为F1N的中点， 又O为F1F2的中点，所以OM为△F1F2N的中位线， 所以|F2N|=2OM=4. 若P在y轴右侧，则|PF2|=8-4=4, 所以|PF1|+|PF2|=8+4=12=2a, 即4=6所以t一一音-子 若P在y轴左侧，则|PF2|=8+4=12 所以|PF1|+|PF2|=8+12=20=2a, 即a=10.所以e=台=高子 答案号或号 2 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.解：(1)因为(x2- )”的展开式的通项为T+1= C(.x2)- =(-2)rCx2-3r(0≤≤，r∈N), .4分 由题知当r=4时，21-3r=0,所以21=12，解得n=6, ..7分 所以常数项的值为T5=(-2)4Cx0=240. ---9分 (2)由1)知，令=1，得(2-2）°=1-2)5=1 所以展开式中所有项的系数之和为1. .-13分 4a=16, 16.解：(1)由已知可得 41 所以a=4,c=√7， .3分 则公=9，所以描国C的标准方程为后+苦=1.5分 (2)由(1)知焦点坐标为F1(-√7,0)，F2(√7,0)，设 A(x1y1),B(x2y2), 由已知得直线l的方程为y=tan45°(x十√7)，即x-y 十√7=0， .7分 -=1联立消去x得25y2-18√7y-81=0, 则h十2=18VF 25,y1y2= -81 25 .10分 故|为-2|=√/(y+y2)2-4y12= 72√2 25 所以△ABF的面积为S=号IFF:-= 7214 -15分 25 17.解：(1)已知Sn=m2,当n=1时，b1=S1=12=1.1分 当n≥2时，b,=Sn-S-1=n2-(n-1)2=2-1. ..3分 验证n=1时，b1=1,符合上式， 故数列{bn}的通项公式为bn=21-1.… 4分 2)证明周为a1所以-士2+1. a+1 an an 所以+1=2(+小 .6分 又0=1.所以+1=1+1=2， 所以数列侵十1)是以2为首项，2为公此的等比：列. ..8分 (3)由(2)可知1+1=2×2-1=2"， 所以(+1）6=(2m-10·2, .9分 记氯列（位十1）小，}的前项和为T Tm=1×21+3×22+5×23+…+(21-1)·2",① 则2Tm=1·22+3·23+5·24+…+(2n-1)· 21+1,② .11分 由①-②可得-T,=1×21+2×22+2×23+2X24+ …+2×2”-(2n-1)·2n+1, 即-T,=2(21+22+23+…+2”)-21-(21-1)· 2+1=2x2X(120）-2-(21-1）·2+1, 1-2 化简可得-Tn=-6-(2n-3)·2"+1,14分 即Tw=(2n-3)·2”+1十6. 15分 18.解：(1)圆C:x2+y2-2λx一4λy+1=0的圆心C的坐 标为（入，2）， 将其代入直线x-y十1=0得入一2λ+1=0，解得入=1. …2分 即圆C的方程为x2十y2-2.x-4y十1=0.4分 (2)圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,设弦AB! 的中点为M, ①当直线1的斜率不存在时，易知x=0符合题意. .....5分 ②当直线L的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx一 1,即k.x-y-1=0, 因为|AB|=25,所以|CM=√/4-3=1，则由： 1CM==-1,解得k=专 w√k2+1 此时直线1的方程为4x一3y-3=0, 故直线l的方程为x=0或4x一3y一3=0..8分 (3)因为P(0,-1),C(1,2),所以PC=(1,3). ①当直线1的斜率不存在时，易知A(0,2一√3)， B(0,2十√3)，QA+QB=(-2,6)与PC不共线，不符合 题意. 9分 ②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为 y=kx-1,A(x1y1),B(x2y2), y=k.x-1, 由6x-1)2+(0-2)2=4, 可得(k2+1)x2-(2+6k)x+6=0, 可得△=(2+6k)2-4(k2+1)×6, 2+6k 所以x1十x2一k2+1 所以y1十y2=k· 2+6k-2=42+2k-2 k2+1 k2+1 ----11分 则QA+QB=(x1+x2-2,y1+y2+2), 所以Qi+Q=(路普+) 13分： 若向量QA+QB与PC共线，则3×6k。-2k-6k2+2k k2+1 k2十1 即12k2-16k=0,解得k=0或k号，15分 当k=0时，△=4-24<0，舍去， 当k=号时4=102-4×罗×6>0， 9 所以存在直线1，使得向量QA十QB与PC共线， 直线1的方程为y=号-1，即4红-3y一3=0.17分 19.解：(1)当直线1的斜率为1时，直线1的方程为 y=号联立 y2=2x, 所以x1十x2=3p, .2分 由1AB1=1AF+BF1=十号+x9+号=4p=16, 解得p=4, 因此抛物线E的方程为y2=8x.5分 (2)①证明：由题意，可设直线l的方程为x=my十2， /x=my+2, 联立 得y2-8my-16=0, y2=8x, 所以y1十y2=8m,y1y2=-16,.7分 设C(3y),D(x4,y4),直线AP的方程为x=y十4， 如图所示， x=y+4, 联立 得y2-8y-32=0, ly2=8x, 所以y1y3=-32, 同理可得y2y4=一32， 所以为y4= -32×32=-64.9分 y12 当直线CD的斜率存在时， km=y二4=当-y48 x3-x4y喔y星y3十y4 88 所以童线D的方程为y为=（一兽）， 化简，得8x-(y3十y4)y十yy4=0,即8x-（y3十y4)y -64=0,.. ---10分 令y=0,则x=8, 故直线CD过定点N(8,O). 11分 当直线CD的斜率不存在时，易知y4=一y3=8,代入 y2=8x,得x3=x4=8, 所以直线CD的方程为x=8,过定点N(8,0) 综上，直线CD过定点N(8,0).12分 ②由①知SAPAB=号1 PFlly-%=1M-g, S=号1PN119-M1=号X4X |2(-4-4小分 所以S△AB+S△rcD=ly1-2|+4|yM-y2|=5y1-2 =5√(y1十y2)2-4y1y2=5√/64m2+64≥40,16分 当且仅当m=0时等号成立， 故△PAB与△PCD面积和的最小值为40.17分