精品解析：广东省深圳市明德外语实验学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

深圳市明德外语实验学校初三第二次随堂检测 数学试卷 试卷总分：100分 考试时间：90分钟 2025.12 一、选择题（共8道，每题3分，共24分） 1. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中组合体可知其俯视图是两个同心圆，画出图形即可． 【详解】解：俯视图如图所示，所以A符合题意． 2. 如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3. 最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法（列表法），通过列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算；解题关键是准确列举所有等可能结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误． 解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为种．接着，需确定“组成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果为（长安）和（安长），共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为． 【详解】列表如下： 最 美 长 安 最 最最 最美 最长 最安 美 美最 美美 美长 美安 长 长最 长美 长长 长安 安 安最 安美 安长 安安 根据表格，总共有种等可能的结果． 符合条件的是（长安）和（安长），共2种． 则概率为：． 故选：D． 4. 如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. B. 平分 C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），解题的关键是根据各季度销售额的关系列出方程． 先分别表示出第二季度和第三季度的销售额，再根据三个季度销售额之和为327.6万元列出方程． 【详解】解：已知第一季度销售额为90万元，平均每季销售额的增长率为， 第二季度销售额是在第一季度基础上增长的，所以第二季度销售额为万元， 第三季度销售额是在第二季度基础上增长的，所以第三季度销售额为万元， 因为三个季度销售额一共327.6万元，所以可列方程：． 故选：D． 6. 如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，再根据等腰三角形的判定定理得到，最后再利用正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：C． 7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵中 ∴图象分布在第一、第三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，故A错误，C正确； 当时， ∴图象不经过点，故B错误； ∵点，所在的象限不清楚， ∴无法比较和的大小，故D错误． 故选：C． 8. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∵矩形中， ，， ∴， ∴， ∵过对角线的中点作的垂线交于点，交于点， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（共5道，每题3分，共15分） 9. 如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 10. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，由 m 是方程的根得到，由根与系数的关系得到，将所求式子变形后代入求值． 【详解】解：∵ m 是方程 的实数根， ∴，即． 又∵ m， n 是方程 的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系，有． ∴． 故答案为 5． 11. 如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，的面积与的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：4． 12. 已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，根据面积关系和勾股定理得出方程组是解决问题的关键． 由折叠的性质证得、、，假设、，则，面积关系和勾股定理得出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由折叠的性质得： 、、 设、，则 根据题意得： 解得： 即的长为8． 故答案为：8． 13. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，证得，求得，证得，求得，根据即可求解． 【详解】解：作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键． 三、解答题（共7道，共61分） 14. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟练掌握了解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算； （2）用求根公式法求解即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ， ， 由求根公式得，， ∴； 15. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 16. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴． ∴是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意得，，则有四边形是平行四边形，然后问题可求证； （2）设交于点，由题意易得，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴的长为． 17. 甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． （1）求的长； （2）求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． 【小问2详解】 解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）； （2）由题意可得如图所示： 任务二：与的关系式是：； 任务三：（1）3； （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象， 20. 已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，利用正方形性质证明，再利用解三角形求出，继而得到答案； （2）在上截取，连接，利用矩形性质得，再证明，再利用勾股定理得即可求出； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，证明，再利用菱形性质及解三角形列式即可得到答案． 【详解】解：（1）当为正方形时，若，则的值为，理由如下： 在上截取，连接，如图： ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接，如图： ， ∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴， 同理， ∴，， ∵为菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，解三角形相关计算，等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市明德外语实验学校初三第二次随堂检测 数学试卷 试卷总分：100分 考试时间：90分钟 2025.12 一、选择题（共8道，每题3分，共24分） 1. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. B. 平分 C. ， D. 5. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若点，都在图象上，且，则 8. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5道，每题3分，共15分） 9. 如果，那么_________． 10. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 11. 如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为___________ 12. 已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 13. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为______． 三、解答题（共7道，共61分） 14. 计算或解方程： （1）； （2）． 15. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 16. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 17. 甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． （1）求的长； （2）求塔的高度．（，结果保留整数） 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 20. 已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $