章末检测卷2 随机变量及其分布（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

章末检测卷(二) 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：选C　P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝. 2．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A　连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C＝. 3．在2021年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N(86，σ2).若已知P(80＜X≤86)＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为(　　) A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14 解析：选D　因为X～N(86，σ2)，P(80＜X≤86)＝0.36， 所以P(X＞92)＝ ＝＝＝0.14.故选D. 4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：选D　由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C××. 5．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 解析：选C　由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. 6．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　记“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则 P(A)＝＝，P(AB)＝＝.故P(B|A)＝＝. 7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析：选C　则题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝， 所以p＝， 则Y～B， 故D(Y)＝3××＝， 所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6. 8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　) A． B． C．1，12 D． 解析：选D　由已知，得3a＋2b＋0·c＝2，得3a＋2b＝2，所以ab＝×3a×2b≤＝. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　) A．E(η)＝6 B．E(η)＝2 C．D(η)＝2.4 D．D(η)＝5.6 解析：选BC　由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X. 因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 10．已知离散型随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 4a 5a 下列选项中正确的是(　　) A．a的值为0.1 B．E(X)＝0.44 C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝1.4 解析：选AC　由离散型随机变量分布列的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44. 11．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，用B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论正确的是(　　) A.P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 解析：选BD　对于A，P(B)＝×＋×＋×＝，不正确； 对于B，P(B|A1)＝＝＝，正确； 对于C，由P(A1)＝，P(B)＝，P(A1B)＝，可得P(A1B)≠P(A1)·P(B)，故事件B与事件A1不是相互独立事件，不正确； 对于D，从甲罐中只取出一球，若取出红球就不可能是其他颜色球，故两两互斥，正确． 12．2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1 000名学生，期末某学科的考试成绩(卷面成绩均为整数)Z服从正态分布N(82.5，5.42)，则(人数保留整数) 注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)≈0.997 3.(　　) A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上(含95分)的人数和70分以下(含70分)的人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过98分的人数为1 解析：选ABD　对于A，∵Z～N(82.5，5.42)，∴μ＝82.5，σ＝5.4，由正态分布概念知：年级平均成绩为μ＝82.5，A正确； 对于B，∵＝82.5＝μ，∴成绩有95分以上(含95分)的人数和70分以下(含70分)的人数相等，B正确； 对于C，∵77≈82.5－5.4＝μ－σ， ∴P(Z＜77)≈P(Z＜μ－σ)＝＝0.158 65， ∵1 000×0.158 65≈159＞150，∴成绩不超过77分的人数多于150，C错误； 对于D，∵82.5＋5.4×3＝98.7≈99， ∴P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝＝0.001 35， ∵1 000×0.001 35≈1，∴超过98分的人数为1，D正确．故选ABD. 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．甲、乙两个出版社都出版语文和数学两种产品，其图书在某地市场占有率之比为8∶2，其中甲出版的图书中数学教辅的数量占比50%，乙出版的图书中数学教辅的数量占比80%，现从该地任意买一本教辅书，则该书恰好是数学教辅的概率是________． 解析：由全概率公式可得该书恰好是数学教辅的概率是×0.5＋×0.8＝0.56. 答案：0.56 14．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，以ξ表示取到白球的个数，则P(ξ＝1)＝________． 解析：P(ξ＝1)＝＝＝0.6. 答案：0.6 15．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的均值是____________． 解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P(ξ＝3)＝0.6，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P(ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，E(ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376. 答案：2.376 16．研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则P(90≤X≤110)＝__________，X的方差为__________． 解析：因为x～N(90，σ2)，所以P(90≤X≤110)＝－P(x＞110)，而P(x＞110)＝P(X＜70)＝0.1，所以P(90≤X≤110)＝0.4，所以X～B(10，0.4)，所以D(X)＝10×0.4×0.6＝2.4. 答案：0.4　2.4 四、解答题(本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？ 解：设Bi＝“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3，4，A＝“任取一件产品，抽到合格品”，则P(A)＝P(Bi)P(A|Bi) ＝＝P(Bi)[1－P(|Bi)] ＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02) ＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98 ＝0.968 5. 18．(12分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，用B表示产品为合格品． (1)试写出有关事件的概率； (2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率． 解：(1)依题意，P(A)＝70%，P()＝30%，P(B|A)＝95%，P(B|)＝80%. 进一步可得P(|A)＝5%，P(|)＝20%. (2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A发生)，又是合格的(事件B发生)的概率，也就是求A与B同时发生的概率，有P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 19．(12分)某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为(已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响). (1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可以进入决赛的概率． 解： (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1， 则(1－P1)2＝，解得P1＝，故选手甲回答一个问题的正确率为. (2)选手甲答了4道题进入决赛的概率为＝； 选手甲答了5道题进入决赛的概率为 C··＝； 选手甲答了6道题进入决赛的概率为 C··＝； 故选手甲可进入决赛的概率P＝＋＋＝. 20．(12分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值． 解： (1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 随机变量X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 21．(12分)“T2钻石联赛”是世界乓联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式 ”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．若某位选手率先在7局比赛中拿下4局，则比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在常规模式中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式中，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． (1)求4局比赛决出胜负的概率； (2)若在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的比赛局数记为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)若24分钟内打满2局，则4局比赛决出胜负的概率 P1＝×＋×＝. 若24分钟内打满3局，则4局比赛决出胜负的概率 P2＝×＋×＝. 因此4局比赛决出胜负的概率P＝＋＝. (2)X的可能取值为4，5，6，7. P(X＝4)＝·＋·＝； P(X＝5)＝＋C＋C＋＝； P(X＝6)＝＋CC＋C＋＋C×C＋C＝. P(X＝7)＝1－－－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 4 5 6 7 P X的数学期望为E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝. 22．(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解：(1)X的取值可能为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2； P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32； P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)假设先答B类题，得分为Y. 则Y可能为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4； P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12； P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48. ∴Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 ∴E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4， ∴E(Y)＞E(X)， ∴应先答B类题． 学科网（北京）股份有限公司 $