第三章 圆 小结与复习课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件围绕“圆”展开，涵盖点与圆、直线与圆的位置关系，垂径定理，圆周角与圆心角关系，切线判定与性质，三角形内切圆，圆内接正多边形及弧长、扇形面积计算等核心知识点，以基础概念导入，逐步深入定理应用与综合计算，构建递进式知识支架。 其亮点在于通过类比（如圆与正多边形概念对应）、例题解析（如垂径定理求半径、切线证明）培养几何直观与推理能力，结合实际问题（如触礁危险判断）发展应用意识。学生能深化知识理解，教师可借助系统例题与总结提升教学效率。

第三章 圆 小结与复习 要点梳理 点与圆的位置关系 点在圆内 d < r 点 C 在圆内 点在圆上 d = r 点 B 在圆上 点在此圆外 d > r 点 A 在圆外 直线与圆的位置关系 直线与圆相离 d > r 无交点 直线与圆相切 d = r 有一个交点 直线与圆相交 d < r 有两个交点 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 要点梳理 ③AM=BM, 垂径定理图示 AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 题设 结论 M O A C B N ①直线MN过圆心③ AC=BC ②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN 题设 结论： 注意：AB不是直径 定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半. 圆周角和圆心角的关系 ∠BAC= ∠BOC 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB 推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 推论：圆的内接四边形的对角互补. 直线和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系 直线名称 直线与圆的交点个数 相离 相切 相交 ● l d r 0 切线 d﹤r 2 d﹥r — d=r 1 割线 切线的判定与性质 1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径 2.切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长. 3.切线长及切线长定理 三角形的内切圆及内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. ┐ A C I ┐ ┐ D E F 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 重要结论 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 M 圆内接正多边形 1.正n边形的中心角= C D O B E F A P 3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系： a R r 4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算： 其中l为正n边形的周长. 2.正多边形的内角= 公式: （1）弧长公式： （2）扇形面积公式： 弧长及扇形的面积 考点1 圆的基本性质 【例1】 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° B 13 【例2】在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° A B C D B 【例3】☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程 x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上 解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系. D 【例4】在油面AB宽为48cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油桶半径为______cm. 考点2 垂径定理 【例5】弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　. 【例6】如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为_______ 【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD. 考点3 切线的判定与性质 （1）若AD=3，BD=4，求边BC的长. （2）取BC的中点E，连接ED， 试证明ED与☉O相切. 解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°. ∵AD=3，BD=4，∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∵ 即 ∴BC= （1）若AD=3，BD=4，求边BC的长. 又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°， ∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE. ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°， 即∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°. ∴ED与☉O相切. （2）证明：连接OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE. 又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD. （2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切. 【例8】（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切. 4或8 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切. A B D C P P2 P1 E o [解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC. 【例9】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. （1）求证：BC=2DE. 解：（1）证明：连接BD， ∵AB为直径，∠ABC=90°， ∴BE切☉O于点B. 又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE. （2）∵DE=2，∴BC=2DE=4. 在Rt△ABC中， ∴AB=BC• = 在Rt△ABC中， 又∵△ABD∽△ACB， ∴ 即 ∴ （2）若tanC= ,DE=2，求AD的长. B 北 60° 30° A C 【例10】如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由. （参考数据 =1.732） 解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系. B 北 60° 30° A C D 解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x. ∵∠ABC=30°，∴AB=2x. BD= x. ∵∠ACD=90°-30°=60°， ∴ AD=CD×tan60°，CD= . BC=BD-CD= =8. 解得 x= 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险. 考点4 弧长与扇形面积 【例11】一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 . 40cm 【例12】如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积？ 解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上 【例13】如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积. 解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得 ∴正方形ABCD外接圆的半径为 ∴正方形ABCD的边长为 【例14】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积； 解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25. 考点5 圆内接正多边形的有关计算 ⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数． ⑵∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=600. ∴正方形的内角是900， ∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500. 由⑴得OF=FG， ∴∠OGF= （1800-∠OFG）= （1800-1500）=150. 圆 圆的有关性质 与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 垂径定理 添加辅助线 连半径，作弦心距，构造直角三角形 圆周角定理 添加辅助线 作弦，构造直径所对的圆周角 点与圆的位置关系 点在圆环内：r ＜d ＜R 直线与圆的位置的关系 添加辅助 线证切线 有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直. 正多边形和圆 转化 直角三角形 弧长和扇形 灵活使用公式 $