反比例函数的图像与性质题型专练-2026年北师大版数学中考专题练习

反比例函数的图像与性质中考题型专练 考点一反比例函数的定义与解析式 1.(2025·湖南长沙·三模)已知长沙市的土地总面积约为11819km2,人均占有的土地面积S(单 位：k㎡/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与的函数关系式为() A.S=11819n B.S=11819 C.n=11819S D.S=n n 11819 2.(2025·重庆江北·模拟预测)已知点3,2和点(-2，都在反比例函数y=《的图象上，则a 的值是() A.6 B.6 C.2 D.-3 2025·重庆·中考真题)反比例函数y=一的图象一定经过的点是 A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,4) D.(6,-2) 考点二反比例函数的图像与性质 1.(2025·西藏·中考真题)一个三角形花坛的面积是6m2,它的一边a(单位：m)是这边上 的高h(单位：m)的函数，此函数的图象大致为() a(m) a (m) 4 A. B 3 h (m) 3 h (m) a(m) a(m) C D (m) 0 3h(m) 2.(2025·内蒙古·中考真题)已知点A(m,,B(m+1,)都在反比例函数y=-3的图象上， 则下列结论一定正确的是（) A.yi>y2 B.片<2 C.当m<0时，<y2 D.当m<-1时，片<2 1/35 3.(2025·山东德州·中考真题)在平面直角坐标系中，函数y=日的图象是() 考点三系数k的几何意义 1.(2025·宁夏·中考真题)函数y=k≠0和y=名≠0的部分图象如图所示，点4在 y=年的图象上，过点A作B∥y轴交x轴于点C,交y=年的图象于点8.若4C:8C,则充的 值为() B A.-3 c. D.3 2.(2025·山东淄博·中考真题)如图，D为矩形0ABC(边0A,0C分别在x,y轴的正半轴 上)对角线OB上的点，且OD=BD,经过点D的反比例函数y=的图象分别与AB,BC相交 于点E,F,连接OE,OF,EF,若a0BF的面积是24，则△OEF的面积为() B D A.25 B.26 c D. 3 2/35 3.(2025·江苏宿迁·中考真题)如图，点A、B在双曲线片=(x>0)上，直线4B分别与x轴、 y轴交于点C、D,与双曲线乃=(x<0)交于点E,连接04、0B,若S.c=20,AB=3BC, AD=DE,则k的值为() A.-10 B.-11 C.-12 D.-13 考点四反比例函数解析式的求法 1.(2025·广西·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线 段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若 3 点A的坐标为4, 则第三级阶梯的高EF=() A.4 B.3 c.3 D.2 2.(2025·青海西宁·中考真题)如图，一次函数，=kx+b(k,≠0)的图象与两坐标轴分别交于 点A,B,与反比例函数为-(k≠0，x>0的图象交于点C,2),Dm 下列结论错误的是 () 3/35 D A.b= B.△BOC与△AOD的面积相等 C△C0D的面积是 4 D.当1≤x≤4时，≥y2 3.(2025·江苏准安·中考真题)在平面直角坐标系中，直角三角板A0B按如图位置摆放，直 角顶点与原点0重合，点A在反比例函数)-（x>0的图像上，∠B=30.若点B坐标为L,-) ,则k的值是() A.-2 B. C.1 D.2 考点五反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2025·山东滑博·中考真题)如图，反比例函数y=x<0)和y=是x>0的图象分别与 直线y=x+b依次相交于A(m,1,B,C(3,n)三点. D (1)求出直线AC对应的函数表达式： 4/35 ②)分别以点4，C为圆心，以大于号4C的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点下.直线E 交y轴于点D,连接AD,CD.试判断△ACD的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于x的不等式：+b<6的解集， 2.(2025·吉林·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，过原点0的直线与反比例函数 y=5的图象交于A,B两点，分别以点A,点B为圆心，画半径为1的04和0B.当04， OB分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面积和 为 (结果保留π) 3.(2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图 象与反比例函数y=k≠0)的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C坐标为0,3)， 连接AC,BC,若AC=BC,则实数k的值为 命题点一反比例函数的定义与解析式 题型01根据反比例函数的定义求参数 【典例】(2025·广东广州·二模)化简求值：T= 7a2-41）.2 a2-4a+42-a'a2-2a 5/35 (1)化简T; (②)若点A(a,a+3)在反比例函数y=2的图象上，求T的值. 【变式】(2025·辽宁·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上， 0A=2, 将线段OA绕点0逆时针旋转60°得到线段OB，若点B落在反比例函数y=《的图象上， 则k的值为 【变式】(2025·山东德州·中考真题)已知点Pa,b)在双曲线y=1上，点M(6a,b),N(a,c)在 双曲线，=冬上，若b-c=2,则N的坐标为 题型02由反比例函数值求自变量 【典例】(2025·海南·模拟预测)已知点A(a,-2)在双曲线y=-4上，则a的值是() A.2 B.-2 C.1 D.-1 【变式】(2025·山东·中考真题)取直线y=-x上一点4(x,y),①过点4作x轴的垂线，交 y=于点A,(x,;②过点4作y轴的垂线，交y=-x于点4，()；如此循环进行下去，按照 上面的操作，若点A的坐标为1，-)，则点A2s的坐标是 6/35 【变式】(2025·河南驻马店·三模)如图，正方形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点） 上，对角线4C,BD相交于点E,反比例函数y=x>0的图象经过点E. VA 8 6 4 3 2 B 12345678 (1)求k的值： (2)将正方形ABCD向右平移使点A的对应点落在反比例函数图象上； ①点A到y轴的距离为 ②线段AB扫过的面积为 命题点二反比例函数的图像与性质 ·题型01由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例】(2025·云南·模拟预测)如图所示，双曲线y=上(k≠0与直线y=k,xk,≠0)相交 于A,B两点，若A点坐标为1,2)，则B点坐标为() 7/35 A.(1,2 B.（-1,-2 C.（-2,-1 D.(2,1 【变式】(2025·江西景德镇·模拟预测)如图，点A-2,-)在反比例函数y=《上，请仅用无 刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹， 图1 图2 (1)图1中，作点A关于点0的对称点A: (2)图2中，若点B(0,3),请作出直线y=-x-3. 【变式】(2025·北京·模拟预测)已知点4(x,,B(,是反比例函数y=-2与正比例函数 y=-3x的两个交点，则y+y2的值是 题型02已知反比例函数的增减性求参数 【典例】(2025·天津红桥·一模)已知P1,-3)在反比例函数y=m-2 (m为常数，且m≠2) 的图象上 (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； ②判商点413-，2.-2，c2 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当-6≤x≤-3时，求该反比例函数的函数值y的取值范围， 8/35 【变式】已知函数y=《(k≠0)中，在每个象限内，y随x的增大而减小，那么它和函数 y=kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是（) 【变式】(2025·天津·二模)己知点Am,y)、B(m+1,y均在函数y=-1的图象上，若1>片 ,则() A.m<-1 B.-1<m<0 C.m>0 D.m>-1 题型03比较反比例函数值或自变量的大小 【典例】(2025·天津·中考真题)若点A-3,),B1,),C(3,y)都在反比例函数y=-9的图象 上，则，2，的大小关系是() A.片<2<yB.y<y2< C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y 【变式】(2025·江苏镇江·中考真题)已知点A(-1,y)、B(a,)在反比例函数y=1的图像上， 若2>y,则a的取值范围是() A.a<-1或a>0 B.-1<a<0 C.a>0 D.a<-1 【变式】(2025·浙江·二模)若点A(n-1,y),点B(m,y,，点C(n+1,(n>1都在反比例函数 y=(k>0)的图象上，则y+为与2，的大小关系是：片+片2%（填“>”、“<”或 “=”中的一个). 9/35 命题点三系数k的几何意义 题型01根据图形面积求比例系数 【典例】(2025·浙江杭州·三模)如图，正比例函数y=mxm≠0，m为常数图象与反比例函数 y=(k#0,k为常数)图象交于A,B两点，AH1x轴于点H,连接BH交y轴于点G,若SB=3, 则k的值为 【变式】(2025·内蒙古·模拟预测)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图 像分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比例函数y=(x>0)的图像交于点C,连接0C.己知 点B(0,4),△B0C的面积是2，则k的值为 B 【变式】(2025·甘肃武威·一模)如图，点A是反比例函数y=《(k≠0)图象上的一点，过 点A作AB⊥y轴于点B,点C是x轴上的一点，连接AC,BC,若ABC的面积为3，则k的值 是 10/35 反比例函数的图像与性质中考题型专练 考点一 反比例函数的定义与解析式 1．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 2．（2025·重庆江北·模拟预测）已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【详解】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 3．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 考点二 反比例函数的图像与性质 1．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 2．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 考点三 系数 的几何意义 1．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 考点四 反比例函数解析式的求法 1．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 考点五 反比例函数与一次函数的综合应用 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 命题点一 反比例函数的定义与解析式 ►题型01 根据反比例函数的定义求参数 【典例】（2025·广东广州·二模）化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，反比例函数的定义． （1）根据分式的运算法则化简即可； （2）将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点B落在反比例函数的图象上，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．根据题意得到是等边三角形，解直角三角形求得点B的坐标，进而可以求得k的值． 【详解】解：连接，作于点D， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点B的坐标为：， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：． 【变式】（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 题型02 由反比例函数值求自变量 【典例】（2025·海南·模拟预测）已知点在双曲线上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 【变式】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式】（2025·河南驻马店·三模）如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上； ①点到轴的距离为________； ②线段扫过的面积为________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，即可解答． （2）①根据平移的性质可得的纵坐标为5，将代入反比例函数，求出，即可解答． ②根据平移的性质可知，线段扫过的图形为平行四边形，扫过的距离为：，高为4，利用平行四边形的面积公式计算，即可解答． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， ． （2）①∵， ∴反比例函数的解析式为， 由图象可知、点的坐标为，当点的对应点落在反比例函数图象上时，令，则， ∴， 点到轴的距离为． 故答案为：． ②线段扫过的面积为∶． 故答案为：． 命题点二 反比例函数的图像与性质 ►题型01 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 【变式】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 【变式】（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形， ∴， 故答案为：0． 题型02 已知反比例函数的增减性求参数 【典例】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 【变式】已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 【变式】（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例】（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【变式】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 【变式】（2025·浙江·二模）若点，点，点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是： （填“”、“”或“”中的一个）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得 ，再求得，由，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点，点，点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点三 系数 的几何意义 题型01 根据图形面积求比例系数 【典例】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 【变式】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据已知图形的面积求值，根据点坐标，求出值，根据的面积求出点横坐标，代入直线解析式，求出点坐标，进而求出k的值即可． 【详解】解：把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 当时，； ∴， ∴； 故答案为：6． 【变式】（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 命题点四 反比例函数解析式的求法 题型01 求反比例函数解析式 【典例】（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 【变式】（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造， ，， ． 故答案是：． 【变式】（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 命题点五 反比例函数与一次函数的综合应用 题型01 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 【变式】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式】（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 题型02 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【变式】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【突破进阶】 突破一 反比例函数的定义 【典例】（2025·浙江·模拟预测）如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【答案】(1)第次 (2)反比例函数； (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用， （1）根据表中数据可得：天平要达到平衡，总质量越小越大，据此进行判断即可； （2）设关于的函数表达式为，然后将，，代入求解即可； （3）设空牛奶盒的质量为，可得，然后求解即可． 根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：天平要达到平衡，总质量越小越大，与第，次相比，第次总质量小，反而小， 第次数据是明显错误的； （2）与满足的函数关系为反比例函数， 故答案为：反比例函数； 设关于的函数表达式为， 则， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （3）设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 【变式】（2025·山东聊城·三模）大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： (1)猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ (2)证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． (3)阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 【答案】(1)，火焰的像高是 (2)见解析 (3)D= 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的判定和性质，准确分析实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）观察实验数据，发现与的乘积为定值，从而确定反比例函数关系，再代入求出对应的值． （2）通过作辅助线，利用相似三角形的判定（两角分别相等）证明，根据相似三角形对应边成比例得到，结合已知、，验证（）中函数关系的正确性． （3）依据相似三角形性质得出（为小孔到地面的高），将代入，再结合太阳实际直径太千米，推导出与的函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意可知，前次实验的与的乘积都是，因此猜想与之间是反比例函数关系：， 第次试验，当时， 所以，火焰的像高是 （2）证明：由题意可知，是垂直于地面的线段， ∴， ∴ ∴， 把，代入上式得 ∴ ∴（）中猜想是正确的． （3）解：根据（）可得， ∴ ∵米，米， ∴ 突破二 反比例函数的图像与性质 【典例】如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点从点出发，沿方向移动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，设的长为，的长为．请解答下列问题： (1)写出与之间的函数关系式； (2)通过取点，画图，测量得到了与的几组值，如下表： 3 4 5 6 7 8 4 4 请直接写出m和n的值； (3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)请直接写出y的最小值． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)、的值分别为，2； (3)见解析； (4)． 【分析】（1）根据点在上运动与点在上运动两种情况，分类求解与之间函数关系式即可； （2）先根据函数关系式即可求出，、的值； （3）利用描点法画出函数图像即可； （4）根据图形即可求得的最小值． 【详解】（1）解：当点在上运动，即时，如下图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴与重合， ∴，即， 当点在上运动，即时，过点、分别作，延长线于点、，如下图，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，，当时，， ∴、的值分别为，； （3）解：在直角坐标系中作的图像如下， （4）解：∵当时，，当，，且随的增大而减小， ∴当时，取最小值，． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、反比例函数的图像及性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的图像及性质是解题的关键． 【变式】已知函数（k为常数且），函数的图象和函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　） ①函数的图象上的点的横坐标不可能等于2． ②若当时，x的取值范围为或． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的性质、轴对称的性质、函数图象的平移画出图形并得到；①根据解析式即可判断①；②根据反比例函数的增减性结合函数图象即可解答． 【详解】解：如图：由函数，根据函数的图象和函数的图象关于直线对称可知 ∵，即， ∴函数的图象上的点的横坐标不可能等于2说法正确，即①正确； 当时， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 当时，则，可得： ∵，， ∴， 综上，当时，x的取值范围为且，即②错误．    故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、函数图象的平移等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式】已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 【变式】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键．将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时， ， , , , , 当时，， 故①不符合题意； ②当时， ， , , 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选：B 突破三 反比例函数系数k的几何意义 【典例】（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）运用 证明，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是2，故矩形的面积是1，因为反比例函数的图象过点A．则； （3）先设，再分别表示，，，再运用待定系数法求出直线解析式为，依题意，得，整理得，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是2， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是1； ∵反比例函数的图象过点A． ∴； （3）解：依题意，反比例函数的图象过点A． 设， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得 解得， ∴直线解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得 ∴， ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点 ∵反比例函数的图象过点A． ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式】已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数为：； (3)或 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； （2）解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （3）解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（    ） A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】B 【分析】过点作轴点，由菱形的性质可得，又由轴，是的中点，，可证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点， 是的中点，是菱形， ， ， 轴，O为的中点 ∴， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∵， ， ， 记与轴交于点F， ∵，均垂直轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式】如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相关知识是解决问题的关键．设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点，，则， ∴点B的纵坐标为， ∵B在上 ∴点B的横坐标为， ， ∵在矩形中， ， ∴， 又∵, ∴, ∴， ， ， ， ． 故选：D． 突破四 反比例函数与一次函数的综合 【典例】（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 【变式】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、正比例函数与反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积．熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解答本题的关键． 先通过函数解析式求出交点A、B坐标，设点C的坐标，再利用待定系数法求出的解析式，最后再根据的面积得到关于m的方程，即可求得点C的坐标． 【详解】解：由题可得： ， 解得：或， ，， 设，设直线为，则， 解得：，， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q,则， ， ， 即， 解得：， ． 故答案为： ． 【变式】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 突破五 实际问题与反比例函数 【典例】【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】(1)，，； (2)①；②减小 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． （2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式】（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 突破六 反比例函数与几何综合 【典例】（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据，设，则，由勾股定理得，进而得，由此得，，则点，代入可求出的值； （2）由为中点，得，将代入可得，则，由，可证，根据对应角相等及等角的余角相等可得，进而得证； （3）设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，由得，由得，，则，进而可得，则，，进而可证． 【详解】（1）， 设，则， 正方形中，，， 中，由勾股定理得：， ， ，，， ， 代入得； （2）证明：为中点， ， 由已知得，代入得， ，， ， ， 正方形中，， ， ， 中，， ， ，即； （3），理由如下： 设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，如图所示： ， ，正方形中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点并综合运用是解题的关键． 【变式】（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【变式】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 【基础巩固】 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 2．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时， ∵， ∴， 即， 故选：． 4．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 10．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 【能力提升】 1．（2025·广东东莞·一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．如图，连接，过点作，垂足为，用含的代数式表示，的坐标，设，求出直线、的斜率，根据两条垂直的直线的斜率相乘，乘积为求出的值，证明，根据对应线段成比例列式求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 直线的斜率， 在上， 故可设坐标为， 直线的斜率， 与关于直线对称， ， ， 即， 解得， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得． 3．（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 4．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 【新趋势】 1．（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)任务一： (2)任务二：（1）；（2）减小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； 任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与 （2）根据反比例数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； （2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位， ∵ ∴时，随的增大而减小 故答案为：减小． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 3．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3)或 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 4．【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 【答案】（1）6（2）见详解（3）小，．（4） 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可． （2）描点连线即可． （3）根据函数图像可知存在最小值，的最小值约为．根据矩形的周长求解即可． （4）求出圆的周长比较大小即可． 【详解】解：（1）∵在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形， ∴矩形的面积为∶． 故答案为：6． （2）以的长为横坐标，的和为纵坐标的函数图如下： （3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着长度的变化，的值先减小后增大，所以存在最小值．从表格数据中可以看出的最小值约为．因为矩形的周长， 当约为时，矩形的周长C约为， 故答案为：小，． （4）面积为6的圆的半径为r， 则 ，则 则， ∵， ∴， 故答案为： 5．（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或 【分析】将A代入直线l解析式求a值，进而求k值即可； 先联立直线了和反比例函数解析式求出B点坐标，进而求出点E坐标，再求直线解析式，从而求出和交点是中点即可得证； ①，则，，，根据三角函数的定义即可求得答案； ②由题易知，分类讨论，点F在A上方或下方，因此或者，设参数，利用三角函数值解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得， ， ， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）证明：由知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 再联立直线和直线l得，， ， 解得， ，， 中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； ①如图，中，，， ， 设，则，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 如图，过作轴，则， 由①知， 设， ，， ， ， ， ， ； 同理； 综上，F点的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数和一次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $