精品解析：广东省江门市新会区正雅学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷B卷

2025—2026学年第一学期 八年级数学第三次大练习B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形． 根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂相乘的法则，积的乘方的法则，幂的乘法的法则，同底数幂相除的法则，对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ） A. -4 B. -1 C. -2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可． 【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b=−2， ∴a+2b=3+2×(−2)=-1． 故选B． 【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 4. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 5. 如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先由直角三角形的性质可得，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( ) A. 只带①去 B. 带②③去 C. 只带④去 D. 带①③去 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意； 第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意； 第④块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃，故符合题意； 第①③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的，故不符合题意. 故选：． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 7. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 8. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：平衡点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵平衡点应是三角形的重心， ∴平衡点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为株，根据题意得，， 故选A. 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；平分；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，即可判断正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，即可判断正确；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，即可判断正确；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【详解】解：∵分别是与的角平分线，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 过点作，，， ∵分别是与的角平分线， ∴是的平分线，故正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 同理， ∴，， 两式相加得， ∵， ∴，故正确； 没有条件得出，不正确； 综上可得：正确， 故选：． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分。 11. “墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.000029用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键． 13. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零得，然后求解即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，是四边形的外角，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，先由平角的定义求出的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分。 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 17. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 【答案】（1） 解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘； 选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算， （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 18. 尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： （1）在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）的周长为12． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分。 19. 如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题（仅用无刻度直尺）． （1）格点（顶点均在格点上）的面积为 ； （2）画出格点关于直线对称的轴对称的图形； （3）画出的角平分线． 【答案】（1）5 （2） 如图所示： 即为所求； （3） 如图所示： 射线即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格中求三角形面积的方法，间接求解即可得到答案； （2）由点的对称性质，分别在网格中作出三个顶点关于直线的对称点，连接这三个对称点即可得到； （3）先取格点，连接，在网格中可知，即是等腰三角形，再取的中点，由等腰三角形三线合一性质，作射线，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 的面积为， 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，涉及网格中三角形面积求法、点的对称性、在网格中作轴对称图形、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 20. 我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： （1）下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） （2）给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） （3）代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【答案】（1）②④ （2） （3）有最小值，最小值为2 【解析】 【分析】本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在；②；③；④中，是完全平方式的有②④； 故答案为：②④； 【小问2详解】 ，故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； 【小问3详解】 有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 21. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知， ①求的值； ②求的值． 【答案】 （1）B；（2）①3，② 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①根据题中给出的例子进行计算即可，②结合①的结论，再根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B； （2）①， ， ，即， ； ②由①知， ， ． 22. 近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 【答案】任务1：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视”眼镜的标价为800元；最多能购买11副“灵眸X” 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 任务1：设每副“灵眸X”的标价为x元，则“智视”眼镜的标价为元，根据用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； 任务2：设能购买m副“灵眸X”，则能购买副“智视”，根据商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元，预算为20000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设每副“灵眸X”的标价为元，则“智视”眼镜的标价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视”眼镜的标价为800元； 任务2：设能购买副“灵眸X”，则能购买副“智视”， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为11， 答：最多能购买11副“灵眸X”． 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分。 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】 （1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 25. 如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． （1）如图1，若，求点C的坐标． （2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． （3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 【答案】（1）点C的坐标为 （2）点C，D之间的距离是为定值，定值为4， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． （1）过点C作轴于点，利用互余可证，进而利用可证明，可得，，由，可得点的坐标； （2）连结，利用互余可证，进而利用可证明，可得，即可得结论； （3）过点C作轴于点F，由（1）可知，，得，结合题意可知，，再证，得， 根据，，可得，即，得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点， ， ， ， ， 在和中，， ， ，． ， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 点C，D之间的距离是为定值，理由如下： 连结， ， ， 在和中，， ． ， 即：点C，D之间的距离是为定值； 【小问3详解】 过点C作轴于点F，由（1）可知，， ， ， ，． ，，， ， ， ， 由题可知， ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期 八年级数学第三次大练习B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ） A. -4 B. -1 C. -2 D. 4 4. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( ) A. 只带①去 B. 带②③去 C. 只带④去 D. 带①③去 7. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 8. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 9. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；平分；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分。 11. “墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 12. 因式分解：_________． 13. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 如图，是四边形的外角，若，则______． 15. 如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分。 16. 解方程：． 17. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 18. 尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： （1）在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分。 19. 如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题（仅用无刻度直尺）． （1）格点（顶点均在格点上）的面积为 ； （2）画出格点关于直线对称的轴对称的图形； （3）画出的角平分线． 20. 我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： （1）下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） （2）给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） （3）代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 21. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知， ①求的值； ②求的值． 22. 近日，在经济高质量发展大会上，创始人戴着一副眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“眼镜”也瞬间成为网络热词，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视”的数量相同． 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元． 素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视”比原价优惠50元． 问题解决 任务1 求每副“灵眸X”和“智视”眼镜的标价； 任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？ 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分。 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 25. 如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． （1）如图1，若，求点C的坐标． （2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． （3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $