精品解析：河南省南阳市南召县兴云私立中学2025-2026学年上学期九年级第二次月度练习 数 学

2025年秋期九年级第二次月度练习 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 4 D. 3. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 在中，，，，那么的值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的高，若，，则=（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数下列说法错误的是（） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 10. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （每小题3分，共15分） 11. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 12. 把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 13. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为_______． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 15. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（9+9+9+9+9+10+10+10=75分） 16. 解方程：． 17. 为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图，图），请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 人． （2）将图1条形统计图补充完整． （3）老师从自主学习效果较好的位同学（分别记为、、、）随机选择两位进行学习经验交流，请用列表法或树状图的方法求出同时选中，两位同学的概率． 18. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）的值是_____； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 如图，在四边形中，，交于点．点在上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 21. 如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． （1）用含的式子表示花圃的面积 ； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 22. 已知二次函数的图像经过点，与x轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线与直线有交点，求m的取值范围； （3）若把二次函数的图像沿x轴向右平移个单位，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求n的值． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级第二次月度练习 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：清明时节雨纷纷，是随机事件， 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及其加减法，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先对化简，然后按照二次根式的加减法进行计算，然后即可求解； 【详解】解： ； 故选：B； 3. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式和分式的基本性质，熟知等式的性质是解题的关键．由已知方程，通过代数变形直接求解的值． 【详解】解：∵， ∴（两边同除以，）， ∴． 故选：B． 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即 由根与系数的关系得：， ∴， 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程（），“一元二次方程二次项系数不为0”、“一元二次方程有实数根，则根的判别式”，据此求出的取值范围，选择符合的选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴选项中的值可以是B选项0， 故选：B． 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，运用这两个定理解决问题是关键；由勾股定理求得的长，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵，分别为，的中点， ∴， 故选：C． 7. 在中，，，，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定义以及正弦的定义，能利用勾股定理求出是解题关键； 先通过勾股定理求出的长度，然后再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，是的高，若，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 9. 已知二次函数下列说法错误的是（） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标和开口方向，从而判断各选项的正确性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点，函数有最大值为，无最小值， 故选项C错误，符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项B正确，不符合题意． 故选C． 10. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 二、填空题 （每小题3分，共15分） 11. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：是的一个内角，且有， ，则， ， 故答案为：． 12. 把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值． 【详解】解：对方程进行配方，移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得， 解得． 故答案为：5． 13. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把函数化成顶点式，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，最后求出最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数化为顶点式为， ∵， ∴二次函数有最小值为0，此时， 当时，， 当时，， ∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 15. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，依据三角形中位线定理即可得到，进而得出，即点Q在过点E且平行于的直线上运动；再根据当时，，可得最短；最后根据的长即可得到的长． 【详解】解：如图所示，取的中点E，连接， 又∵Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即点Q在过点E且平行于的直线上运动， 如图，当时，，依据垂线段最短可知，此时最短， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及垂线段最短的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边．取的中点E，构造中位线，得到点Q在过点E且平行于的直线上运动是解题的关键． 三、解答题（9+9+9+9+9+10+10+10=75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 17. 为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图，图），请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 人． （2）将图1条形统计图补充完整． （3）老师从自主学习效果较好的位同学（分别记为、、、）随机选择两位进行学习经验交流，请用列表法或树状图的方法求出同时选中，两位同学的概率． 【答案】（1） （2） 补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图表的综合运用、概率的计算，熟练掌握从统计图表中提取信息的方法以及用树状图求概率的步骤是解题的关键． （1）从条形图和扇形图中找对应数据（如小时的人数及占比），用“部分量对应百分比”求总人数． （2）先算小时的人数（总人数对应百分比），再补全条形图． （3）用树状图列出所有选法，再算选中、的概率（符合条件的结果数总结果数）． 【小问1详解】 解：∵小时的人数是，对应扇形图占比为， ∴总人数：人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小时的人数：， 【小问3详解】 解：根据题意画出树状图如下： 共种等可能的结果，其中选中，两位同学的有种， ∴选中，两位同学的概率为． 18. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）的值是_____； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象等知识，掌握二次函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把，代入二次函数解析式即可求解； （2）描点、连线即可； （3）求出当时的函数值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中，得； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知 当时，，由表知，当时，， 又当时，函数取得最小值， ∴当时，由图象知． 19. 如图，在四边形中，，交于点．点在上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ． ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 【答案】（1）0.6米； （2）4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． （1）过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形，所以，，根据三角函数即可求解； （2）根据锐角三角函数列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形， ∴，． 在中，米，． ∴（米）， （米）； 答：点C到墙壁AM的距离为0.6米； 【小问2详解】 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， （米）， 答：匾额悬挂的高度是4米． 21. 如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． （1）用含的式子表示花圃的面积 ； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 【答案】（1）； （2）通道的宽为； （3）修建的通道的总费用为元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用含的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列方程解答即可； （）由方程有两个相等的实根，得，所以，，又，得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：花圃的面积是： 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽为； 【小问3详解】 解：∵方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时， ， 总费用（元）， 答：修建的通道的总费用为元． 22. 已知二次函数的图像经过点，与x轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线与直线有交点，求m的取值范围； （3）若把二次函数的图像沿x轴向右平移个单位，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求n的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）令，再利用一元二次方程根的判别式解答即可； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：，即：， ∵抛物线与直线有交点，则， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可得的对称轴为直线， 且抛物线在范围内y随x的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； ②当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； ③当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ，综上所述，． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） ， 证明如下：连接，如图所示． 由旋转的性质，得，， 在与中， ∴， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （3）①先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用勾股定理求得，再利用，求得，再用勾股定理求得； ②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①过点作于点，交于点，如图所示． 在中，，，， 由勾股定理，得． 由（1）可知，，，， ∴， ∴是的中位线， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得，， ∴， 四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ， ∴， 又， ， ， 解得：， ； ②． 理由：如图，设，则． 由旋转的性质，得，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $