精品解析：河南/南阳市南召县皇路店镇南都中学2025年秋期九年级期终巩固练习数学

2025年秋期九年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，为不可能事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 旭日东升 C. 当为某一实数时可使 D. 明天要下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件．熟练掌握在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，是解题的关键． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合要求； B中旭日东升，是必然事件，故不符合要求； C中当x为某一实数，，是不可能事件，故符合要求； D中明天要下雨，是随机事件，故不符合要求； 故选：C． 2. 如图，点在轴正半轴上，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义，勾股定理，先根据点的坐标得出，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 3. 下列各式中可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，只有同类二次根式才能合并，然后问题可求解． 【详解】解：由，可知： 选项A、已是最简，含，不能合并； 选项B、，含，不能合并； 选项C、，含，可以合并； 选项D、，含，不能合并； 故选C． 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；分别计算每个选项的判别式，逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根； B、中，，，故，有两个实数根； C、中，，，故，有两个实数根。 D、中，，，，有两个相等实数根； 故选：A． 5. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用配方法将其化为顶点式． 先利用配方法将其化为顶点式，即可求解顶点坐标． 【详解】解：， ∴顶点为， 故选：C． 7. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 8. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 9. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的对称轴为直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 其最小值为2 D. 抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位可得抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移．根据二次函数的图象及性质判断选项A，B，C，根据二次函数图象的平移规律判断选项D． 【详解】解：对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数取得最小值为，当时，y随x的增大而增大， 故选项A，B，C都错误； 抛物线向左平移4个单位，得到抛物线，即，再向上平移2个单位可得抛物线，即． 故选项D正确． 故选：D． 10. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】连接格点，．根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正切，利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接格点，． 由网格和勾股定理可求得； ，，， ∴， ∴是直角三角形． 在中，． ∵， ∴ ∴ 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移到直角中，是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果是锐角，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再化简表达式并代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 原式， 故答案为：． 13. 如图，，若，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数图象上有两点，则与的大小关系是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较． 通过直接计算二次函数在给定点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点P、D分别是线段上的动点，且始终满足．则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质得出，结合三角形外角的性质，证明，设，则，利用相似三角形性质推出，再利用二次函数最值求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 设，则， ， 整理得， ， 当时，有最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算： （2）解方程：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键 ． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 或， 解得． 17. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 18. 已知二次函数的图像经过． （1）填空：___________，___________； （2）在网格中画出函数的图象； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1），5 （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确画出函数图象是解题关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象； （3）利用函数图象得出答案即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过， ’ 解得， 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：由（1）得， 对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下，与轴交点坐标为：，关于直线的对称点为 ， 当时，图像过点， 关于直线的对称点为 ， 过点，， ，，画图像， 【小问3详解】 解：结合图象分析，函数图像开口向下，顶点是最高点， ∴当时，随着的增大而增加；当时，随着的增大而减小； 当时，； 当时，； 当时，， 故的取值范围是． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断方程的根的情况； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）此方程总有实数根 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，进而得到，则． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴此方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴， ∴． 20. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元． 时间/x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品销售第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式是解答的关键． （1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案； （2）分别求出当时和当时的函数解析式，再分别得出最大值，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，， ； 【小问2详解】 解：由题意得，当时， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为，当时，； 当时，随的增大而减小， 当时，． 综上所述，该商品销售第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元． 21. 图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角． （1）如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌的高度； （2）如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定． （，，，，，） 【答案】（1）提示牌的高度为； （2）提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，重心的性质． （1）作于点，利用等腰三角形的判定和性质得到，再利用余弦函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，由重心的性质得到点P在上，且，求得，利用三角函数的定义计算即可求解． 【小问1详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 答：提示牌的高度为； 【小问2详解】 解：作于点，作于点， ∵点P是的重心， ∴点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的． 22. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）1或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【小问1详解】 解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， 【小问2详解】 点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． 【小问3详解】 如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 23. 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，交AB的延长线于点B1． （1）请你探究：是否都成立？请说明理由． （2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值． 【答案】 （1）两个等式都成立，理由如下： ∵为等边三角形，为角平分线 ∴垂直平分，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，即 又∵ ∴ 在中，，∴， ∴ （2）结论依然成立， 证明：如下图： 过点作交延长线于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和含直角三角形的性质，求得对应边的比值，即可求解； （2）过点作交延长线于点，利用等腰三角形的性质可得，再利用相似三角形的性质即可求解； （3）连接，由（2）可得，，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接 ∵平分 ∴为和的内角角平分线 由（2）的性质可得，， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级期终巩固练习 数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，为不可能事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 旭日东升 C. 当为某一实数时可使 D. 明天要下雨 2. 如图，点在轴正半轴上，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 下列各式中可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 9. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的对称轴为直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 其最小值为2 D. 抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位可得抛物线 10. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果是锐角，，那么______． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 13. 如图，，若，则等于_______． 14. 已知二次函数图象上有两点，则与的大小关系是___． 15. 如图，在中，，点P、D分别是线段上的动点，且始终满足．则的最大值为_____． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算： （2）解方程：； 17. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 18. 已知二次函数的图像经过． （1）填空：___________，___________； （2）在网格中画出函数的图象； （3）当时，求的取值范围． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断方程的根的情况； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 20. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元． 时间/x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 21. 图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角． （1）如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌的高度； （2）如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定． （，，，，，） 22. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 23. 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，交AB的延长线于点B1． （1）请你探究：是否都成立？请说明理由． （2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $