第01讲 平方根、立方根（7个知识点+14个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第01讲 平方根、立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）用式子表示“9的平方根”正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 ：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 3．（24-23七年级下·安徽滁州·期中）已知与是某非负实数的两个平方根，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 4．（24-25八年级上·安徽池州·月考）若，则的平方根是 知识点3 ：开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点4 ：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 5．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若是整数，则正整数的最小值是 ． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·月考）已知，求的平方根． 知识点5 ：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 7．（23-24七年级下·安徽六安·月考）下列语句正确的是（    ） A．9的平方根是 B．49的算术平方根7 C．25的平方根是5 D．立方根是它本身的数只有0，1 8．（24-25八年级上·安徽马鞍山·月考）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 知识点6 ：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 9．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是．则的平方根是 ． 10．（24-25八年级上·安徽铜陵·月考）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 知识点7 ：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【题型1 平方根概念理解】 例1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 例2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 变式1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 变式2．若没有平方根，则x的值可能为 ． 变式3．一个正数的平方根是和，则的值是 ． 【题型2 求一个数、代数式的平方根】 例1．的平方根是 ；的平方根是 ． 例2．的平方根是 ． 变式1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 变式3．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【题型3 利用平方根解方程】 例1．方程的解是 ． 例2．满足方程的x的值为________． 变式1．解方程 变式2．解方程：． 变式3．已知，，求的值． 【题型4 求一个数的算术平方根】 例1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1．下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B． C． D．的平方根是 变式2．已知某正数的两个平方根分别是和，则该正数的算术平方根是 ． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 利用算术平方根的非负性解题】 例1．已知，求的平方根． 例2．若，求的值 变式1．若，求的值． 变式2．已知：实数a，b满足．求的平方根． 变式3．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【题型6 估计算术平方根的取值范围】 例1．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 例2．已知，，则 ． 变式1．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 变式2．已知的平方根是，的立方根是2，整数满足． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 变式3．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【题型7 与算术平方根有关的规律探索题】 例1．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 例2．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 变式1．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 变式2．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 变式3．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【题型8 算术平方根的实际应用】 例1．用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形吗？如果能拼成，请画出所拼大正方形的示意图，并直接写出大正方形的边长． 例2．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 变式1．为邀请朋友们来广东旅游，数学兴趣小组在组内开展制作广东景点卡片和信封的活动． 活动项目 制作景点卡片及信封 活动准备 卡纸、图片、剪刀、彩笔等 相关数据 ①每张正方形景点卡片的面积为； ②信封长是宽的倍，且面积为； 数据计算 （）这些正方形景点卡片的边长均为 ； （）在不折叠景点卡片的情况下，能否将其放入信封中？并说明理由． 变式2．如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 变式3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【题型9 立方根的概念理解】 例1．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 例2．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 变式1．已知，，，，则 ． 变式2．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 变式3．若与互为相反数，求的值． 【题型10 求一个数的立方根】 例1．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 例2．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 变式1．若，则的立方根是 ． 变式2．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 变式3．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值，并求正数的值； (2)求的立方根． 【题型11 已知一个数的立方根求这个数】 例1．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 例2．已知的立方根为2，的平方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 变式1．是的立方根，的立方根是，则 ． 变式2．已知，且，则 ． 变式3．已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为 ． 【题型12 与立方根有关的规律探索】 例1．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 例2．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 变式1．若，则 ，若，则 ． 变式2．（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 变式3．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【题型13 立方根的实际应用】 例1．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 例2．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 变式1．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 变式2．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 变式3． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【题型14 算术平方根和立方根的综合应用】 例1．若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 例2．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 变式1．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 变式2．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 变式3．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知化简后为（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 4．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 5．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 6．（24-25七年级下·安徽·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 8．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·安徽·月考）若，则a的值为 ． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若 ，则 ． 11．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，那么 ． 13．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）先观察下列各式：， （1）计算： ； （2）已 知 n 为 正 整数， 通 过 观 察 并 归纳计算 . 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 ． 16．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 17．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 19．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 20．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平方根、立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义，负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴ A．0有平方根，是0，故本选项不符合题意； B． ，是正数，有平方根，故本选项不符合题意； C．，没有平方根，故本选项符合题意； D．，有平方根，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）用式子表示“9的平方根”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平方根的表示方法以及平方根的定义，利用平方根的定义即可进行解题． 【详解】解：一般的，数的平方根是， ∴9的平方根表示为：， 故选：D． 知识点2 ：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 3．（24-23七年级下·安徽滁州·期中）已知与是某非负实数的两个平方根，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据非负实数的两个平方根是互为相反数得到，求出，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平方根的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握平方根的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽池州·月考）若，则的平方根是 【答案】 【分析】由算术平方根有意义的条件，可确定参数a的值，进而确定参数b的值，根据平方根定义，得解． 【详解】解：由题意，，且，解得，． ∴． ∴． ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根有意义的条件，平方根定义；注意一个正数的平方根有两个，互为相反数． 知识点3 ：开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点4 ：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 5．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，由是正整数，是整数，结合算术平方根的含义可得答案，理解算术平方根的概念是解本题的关键． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·月考）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性得到方程组，解方程组后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 知识点5 ：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 7．（23-24七年级下·安徽六安·月考）下列语句正确的是（    ） A．9的平方根是 B．49的算术平方根7 C．25的平方根是5 D．立方根是它本身的数只有0，1 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，算术平方根，立方根，根据平方根，算术平方根，立方根求解即可． 【详解】解：A．9的平方根是和3，故A错误； B．49的算术平方根7，故B正确； C．25的平方根是5和，故C错误； D．立方根是它本身的数有0，1和，故D错误． 故选：B． 8．（24-25八年级上·安徽马鞍山·月考）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． 知识点6 ：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 9．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是．则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根与立方根的概念以及求解方法，熟练掌握相关概念，正确求出a、b的值是解题的关键；根据两个平方根互为相反数可得关于a的方程，根据立方根的定义可求得b的值，继而可得的值，再根据平方根的定义进行求解即可得答案. 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为：. 故答案为：. 10．（24-25八年级上·安徽铜陵·月考）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． 【详解】（1）解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 知识点7 ：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【题型1 平方根概念理解】 例1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 例2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 变式1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 变式2．若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 变式3．一个正数的平方根是和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【题型2 求一个数、代数式的平方根】 例1．的平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：的平方根是；的平方根是； 故答案为：， 例2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求平方根． 先计算乘方，再求平方根． 【详解】解：∵，且4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 变式1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键． 依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式2．（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【分析】本题考查平方根，熟练计算一个数的平方根是解题的关键． （1）计算196的算术平方根即可； （2）计算的算术平方根的相反数即可； （3）计算1.44的算术平方根及其相反数． 【详解】解：（1）一个正数的平方等于196 ； （2）一个负数的平方等于 ； （3）一个数的平方等于1.44 ． 变式3．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【题型3 利用平方根解方程】 例1．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 例2．满足方程的x的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程．通过直接开平方法求得答案． 【详解】解：， ， ， 解得，， 故答案为：． 变式1．解方程 【答案】， 【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，然后利用平方根求解即可． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 变式2．解方程：． 【答案】 或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 变式3．已知，，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握求一个数的平方根的法则． 先根据求一个数的平方根的法则求出的值，然后代入求绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 【题型4 求一个数的算术平方根】 例1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 例2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义逐项计算进行判断即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意； B. ，故原选项正确，符合题意； C. ，故原选项错误，不合题意； D. ，故原选项错误，不合题意． 故选：B 变式1．下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B． C． D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐项分析即可得解，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、的平方根是，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项正确，符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、负数没有平方根，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 变式2．已知某正数的两个平方根分别是和，则该正数的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出 的值，再求出该正数，最后求其算术平方根即可，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴该正数为， ∴该正数的算术平方根为． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的运算，正确掌握相关概念和性质是解题的关键． （1）根据，故，即可作答． （2）根据，故，即可作答． （3）根据，故，即可作答． （4）直接运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， （3）解：∵， ∴； （4）解：． 【题型5 利用算术平方根的非负性解题】 例1．已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方数与算术平方根的非负性以及平方根的计算，解题的关键是利用非负数的性质求出的值． 根据平方数和算术平方根的非负性，得出关于的方程，进而求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：由题意可得：， 解得，， 把代入，可得， 因为， 所以4的平方根是，即的平方根是． 例2．若，求的值 【答案】0 【分析】本题主要考查偶数次方、绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，的值，进而即可求解． 【详解】∵，且，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：的值为0． 变式1．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值的非负性，根据算术平方根与绝对值和为则得到算术平方根，绝对值同时为0，可得x、y的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是． 变式2．已知：实数a，b满足．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，绝对值和算术平方根的非负性，先根据，得，故，即可求出的平方根是． 【详解】解：∵实数a，b满足， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的平方根是． 变式3．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 【题型6 估计算术平方根的取值范围】 例1．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 例2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式1．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 变式2．已知的平方根是，的立方根是2，整数满足． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估值，掌握平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）先根据平方根，立方根求出a，b的值，根据求出c的值，即可解答； （2）把a，b，c的值代入即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是的立方根是2， ， 解得， 整数满足，而， ， 即； （2）解：当时， ， 的算术平方根为． 变式3．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【题型7 与算术平方根有关的规律探索题】 例1．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 例2．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 变式1．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 变式2．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 变式3．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 【题型8 算术平方根的实际应用】 例1．用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形吗？如果能拼成，请画出所拼大正方形的示意图，并直接写出大正方形的边长． 【答案】画图见解析，3 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据剪拼前后图形面积不变，以及正方形面积与边长的关系求边长，解答时需要一定的动手画图能力．能够理解题意，具备一定的动手画图能力是解题的关键． 根据面积关系可求出拼成的正方形的边长，再画出示意图即可． 【详解】解：用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形． 所拼成的大正方形的面积为：， 所拼成的大正方形的边长为：， 画出所拼大正方形的示意图如下： 例2．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根及算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根及平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间t，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：． （2）解：由题意知，， ， 该物体到达地面需要． 变式1．为邀请朋友们来广东旅游，数学兴趣小组在组内开展制作广东景点卡片和信封的活动． 活动项目 制作景点卡片及信封 活动准备 卡纸、图片、剪刀、彩笔等 相关数据 ①每张正方形景点卡片的面积为； ②信封长是宽的倍，且面积为； 数据计算 （）这些正方形景点卡片的边长均为 ； （）在不折叠景点卡片的情况下，能否将其放入信封中？并说明理由． 【答案】（）；（）在不折叠景点卡片的情况下，能将其放入此信封中，理由见解析 【分析】（）根据算术平方根的意义解答即可； （）设长方形信封的宽为，则长为，根据题意列出方程求出的值，进而得出长方形信封的长，再跟正方形景点卡片的边长比较即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：（）正方形景点卡片的边长， 故答案为：； （）在不折叠景点卡片的情况下，能将其放入此信封中，理由如下： 设长方形信封的宽为，则长为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴长方形信封的长为， 由（）知景点卡片的边长为， ∵， ∴在不折叠景点卡片的情况下，能将其放入此信封． 变式2．如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 变式3．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)面积为；边长为 (3) 【分析】（1）根据拼接前后，面积不变即可求解； （2）根据拼接前后，面积不变即可求解； （3）根据提示即可求解； 【详解】（1）解：∵拼接前后，面积不变， ∴大正方形的面积是； （2）解：∵拼接前后，面积不变， ∴小正方形的面积是；边长为； （3）解：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示： ∵原图形的面积是5， ∴裁剪后的正方形面积也是5， ∴大正方形边长为． 【题型9 立方根的概念理解】 例1．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 例2．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 变式1．已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求出的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于1． 变式3．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 【题型10 求一个数的立方根】 例1．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 例2．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为：． 故选：D． 变式1．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根是， 故答案为：． 变式2．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 变式3．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值，并求正数的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程可求出，即为； （2）将（1）中结论代入即可求出的值，再求立方根即可． 本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的立方根为5． 【题型11 已知一个数的立方根求这个数】 例1．已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 例2．已知的立方根为2，的平方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，解二元一次方程组，代数式求值，利用立方根的立方和平方根的平方等于被开方数得出二元一次方程组是解题关键． （1）根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得x、y的值， （2）把（1）中x、y的值代入，可得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根为2，的平方根为， ∴， 解得：， （2）解：由（1）得：， ∴， ∴的平方根为． 变式1．是的立方根，的立方根是，则 ． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 变式2．已知，且，则 ． 【答案】5230 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的性质，被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍．由已知条件，立方根从1.735变为17.35，是原来的10倍，因此被开方数应为原来的1000倍． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为： 变式3．已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用平方根的性质和立方根的定义进行解题． 【详解】解：由题意，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得： ， 又∵ 的立方根是 ， ∴ ， 解得： ， 则 ， ∴ 的平方根是 ． 故答案为：． 【题型12 与立方根有关的规律探索】 例1．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 例2．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 变式1．若，则 ，若，则 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握平方根、立方根小数点的移动规律是解题的关键． 根据平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，即可求得；根据立方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动三位，结果移动一位，即可求得． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，12． 变式2．（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【答案】，，1 ，10 ，100； ， 【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答． （2）先根据，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，补充表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 （2）∵， 则，， 变式3．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【题型13 立方根的实际应用】 例1．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 【答案】分米 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体、正方体的形体特征以及体积的计算方法是正确解答的关键．根据熔铸前后的体积相等，求出长方体的体积，即正方体的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据熔铸前后体积不变可得， 熔铸成的正方体铁块的棱长为（分米）， 答：熔铸成的正方体铁块的棱长是分米． 例2．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 变式1．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 变式2．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 变式3． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：两； 5 任务 2：48 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解此题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可得解． 【详解】解：任务1：∵，，， ∴ ∴能确定195112的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； 任务：∵，，， ∴ ∴能确定110592的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； ∵， ∴的个位上的数是， ∴． 【题型14 算术平方根和立方根的综合应用】 例1．若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 例2．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 变式1．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 变式2．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 变式3．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】A 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A. 1的算术平方根是1，故该选项正确，符合题意；     B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. ，的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知化简后为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义及化简绝对值，利用平方根与绝对值的性质 ，根据 的范围判断绝对值内表达式的正负，从而化简． 【详解】∵ ， ∴ ，， ∴ ， ， ∴ 原式 ． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、立方根等相关知识，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：因为，所以只有当，时，才满足，所以①不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以②正确； 因为，所以a，b中必有一个数是非正数，而负数没有平方根，所以③不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以④正确． 故选B 4．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 5．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 8．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 9．（24-25七年级下·安徽·月考）若，则a的值为 ． 【答案】125 【分析】此题考查了立方根的性质，将已知条件两边同时立方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：125． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查非负数的性质和算术平方根，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，且， 且， ． 13．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）先观察下列各式：， （1）计算： ； （2）已 知 n 为 正 整数， 通 过 观 察 并 归纳计算 . 【答案】 6 n 【分析】本题考查了算术平方根和数字类变化规律，通过观察所给的式子，得出一般规律是解此题的关键． （1）通过计算直接求出答案即可； （2）根据前面的规律归纳总结求解即可． 【详解】解：（1）解：， （2）解：； ； ； ； ……， ． 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为，，，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 ． 【答案】47 【分析】本题考查了立方根，根据题目提供的方法，类推确定103823的立方根． 【详解】解：第1步：由，确定是两位数． 第2步：由的个位上的数是3，，能确定的个位上的数是． 第3步：如果划去103823后面的三位得到数103，而，由此确定的十位上的数是4． 因此，103823的立方根是47． 故答案为：47． 16．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，由即可求解； （2）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是， ， ， 这个正数为． ∴； （2）解：，， ， 的立方根为． 17．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】(1)篮球场的长为，宽为． (2)可以按规定在这块空地上建一个篮球场 【分析】本考查了算术平方根的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设篮球场的长为，则宽为，根据题意列出方程，解方程即可求解． （2）根据最大面积为，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：设篮球场的长为，则宽为． 根据篮球场面积公式，有． 解方程得到，由于，则． 因此，篮球场的长为，宽为． 答：篮球场的长为，宽为． （2）∵ ， ∴能按规定在这块空地上建一个篮球场． 答：可以按规定在这块空地上建一个篮球场． 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 19．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：③；⑥； （2）解：由（1）总结归纳可得： 当，则； （3）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 20．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $