1.5 角平分线第1课时 角平分线的性质与判定课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质与判定定理，通过回顾“角平分线上的点到两边距离相等”的旧知，引导学生尝试证明，搭建从已有探索到严谨证明的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合折纸情境导入和线段垂直平分线的对比，培养几何直观与抽象能力，通过全等三角形证明（AAS、HL）强化推理能力，规范符号语言表述并设置多类型应用题（如距离计算、几何证明），学生能深化理解，教师可高效开展教学。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 1 情境导入 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论. 1．___________________________________________叫作角的平分线． 2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：________________________ ____________． O B A C P E D 1 2 从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线 角的平分线上的点到角两 边的距离相等 探究新知 探究1 【探究角平分线的性质定理】 1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. O B A C P E D 1 2 O B A C P E D 1 2 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． 符号语言表示为： ∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分． O B A C P E D 1 2 归纳总结 归纳总结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. O B A C P E D 注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度. 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 探究新知 探究2 【探究角平分线的判定定理】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是 ________________________________________________________． 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 请证明角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上． O A B 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O A B 1 2 P D E ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)， ∴∠1＝∠2， 即点P在∠AOB的平分线上． 角平分线和线段垂直平分线的比较： 相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等. 不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等； 线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等. 用符号语言表示为： ∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴点P在∠AOB的平分线上． 角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等． O A B 1 2 P D E 归纳总结 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 应用举例 1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 ( ) A．10 B．7 C．5 D．4 C 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC. 在△DEB和△DCF中， ∴△DEB≌△DCF(SAS)， ∴BD＝FD. 3.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为 ( ) A．65° B．60° C．45° D．30° A 4.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(AAS)， ∴DF＝DE. 又∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 探究新知 例1 已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离． 【方法指导】 已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离． A B C D C A B D E 解：如图，作DE⊥AB. ∵∠C＝90°，∴CD⊥AC. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DE＝CD. ∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm， ∴CD＝15×＝6(cm)， ∴DE＝6 cm， ∴点D到AB边的距离为6 cm. 例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． A B C D E F 【分析】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的，求得DE. 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF， A B C D E F ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝AD＝×10＝5. 随堂练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是 ( ) A．mn B．mn C．2mn D．mn A B C D B 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是____． 2 A C D B 3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O. (1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC； (2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2. 1 2 A B C E D O 证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2， 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(ASA)， ∴OD＝OE. ∴OB＝OC； 1 2 A B C E D O (2)∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(AAS)， ∴OD＝OE. ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OA为∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2. 4. 如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图中标出它的位置(比例尺为1：20 000). 解：如图所示，把公路、铁路看成两条相交直线(交点为O)，作出其夹角(A区所在角)的平分线OB，在OB上截取OC=2.5 cm，点C即为所求作的目标的位置. O 1．你这节课的主要收获是什么？ 2．在探索角平分线的性质定理与判定定理过程中，我们运用了哪些方法？ 课堂小结 课本P44习题1.5中的T1、T2. 课后作业 28 $