考点02 三角形的证明——角平分线与垂直平分线（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

考点02 角平分线与垂直平分线 考点一：线段垂直平分线的性质与判定 ·性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 图形 方法 几何表述 SAS证明△PAO≌△PBO ∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上， ∴PA=PB ①SSS证明△PAO≌△PBO；②SAS证明△PAO≌△PBO ∵PA=PB，P在直线MO上， ∴MO⊥AB，AO=BO ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 图形 几何表述 在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC 考点二：角平分线的性质与判定 ·角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.（角平分线是角的对称轴） ·角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 图形 方法 几何表述 AAS说明全等 ∵CD平分∠ADB，P在CD上， PE⊥AD，PF⊥BD，∴PE＝PF. HL说明全等 ∵PE⊥AD，PF⊥BD，PE＝PF， ∴PD平分∠ADB ·三角形的角平分线：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 图形 几何表述 ∵CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，CF、BE交于点P， PQ⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC ， ∴PQ＝PM＝PN. 考点三：尺规作图（垂线、垂直平分线、角平分线） 1.多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°. 类型 图形 作图步骤 垂直平分线 步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点M、N． 步骤2.过点M、N作直线． 则直线MN就是线段AB的垂直平分线 已知底边及底边上的高作等腰三角形 步骤1.作线段AB = a； 步骤2.作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 步骤3.在 MN 上取一点 C，使DC = h； 步骤4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 作角平分线 步骤1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N. 步骤2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P. 步骤3.画射线OP. 射线OP即为所求. 利用作平角角平分线的方式作垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 作平角∠ACB的平分线CF．直线CF就是所求作的垂线． ②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线 步骤1.任意取一点K，使K和C在AB的两旁； 步骤2.以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E； 步骤3.分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； 步骤4.作直线CF．直线CF就是所求作的垂线 . 题型一：根据线段垂直平分线的性质判断等腰三角形 ·垂直平分线与等腰三角形的联系： 根据垂直平分线的“垂直”和“平分”两个条件，可构造等腰三角形：△PAB为等腰三角形 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于M、N两点，画直线与边相交于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E，M，边的垂直平分线分别交于点F，N．若，求的度数． 题型二：根据垂直平分线的性质转化线段 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A．6 B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，中，，过斜边中点作交于点，若，则的长为______． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在和中，，，于点E，射线与交于点F，连接，则线段，，三者之间的数量关系为__________． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为__________________． 题型三：垂直平分线的判定 ·有两种问题：①证明点在垂直平分线上；②证明垂直平分线。①需要先作图，①②都需要证明垂直和证明平分。 ·构造全等 ·利用等腰三角形“三线合一”的性质 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，求证：点在线段的垂直平分线上． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 题型四：根据角平分线的性质求距离 ·辅助线构造直角 辅助线：在三角形性质综合问题中利用角平分线和垂直平分线 添加辅助线构造全等： ①作垂线段 ②作延长线 ·构造全等三角形转化线段长 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：角平分线的判定 ·通过证明全等来说明角度相等 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_______． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 题型五：尺规作垂线、垂直平分线、角平分线 注意： ·作角平分线：出现或隐含到“到边”距离相等的条件；（边即为所作角平分线的角的两边） ·作垂直平分线：出现或隐含到“到点”距离相等的条件；（作这两点连线段的垂直平分线） 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，请用尺规作图法，求作一点M，使得，且点M在的边的高线上． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，． (1)在边上求作一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 4．（24-25八年级下·陕西·期中）如图所示，某地有一个形状为四边形的景区和是两条相交的道路，点C、B分别是公共卫生间和便利店的位置，景区管理员计划在四边形景区的内部修建一个游客休息中心，使点到的距离和点到的距离相等，且，请你帮景区管理员找出游客休息中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型六：三角形的角平分线性质与面积的表示 角平分线的性质与等面积法：AP、BP、CP是三角形的三条角平分线，令PQ=PE=PM=r 图形 过程与结论 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交AC于点M，交CB于点N，过点作于点D，下列四个结论：①；②；③点到三边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 题型七：根据垂直平分线和角平分线的性质进行选址 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　） A．线段、的交点 B．、角平分线的交点 C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点 题型八：线段和/差的最值问题（将军饮马问题） ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题（最短路径问题） 问题 作法 原理 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的平分线，，若点是上一动点，作于点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 1．（24-25八年级下·广东清远·期中）下列说法，正确的是（   ） A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．“若，则”此命题是真命题 D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，则的度数为_______． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是_______． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有___________．(填序号) 8．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有_________．（填序号） 9．（24-25八年级下·广东茂名·期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    10．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 11．（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 12．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，是的角平分线． (1)尺规作图：过D点作，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明； (3)若，求点D到直线的距离． 13．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，在中，，分别是与的角平分线，且相交于点O．    (1)求的长； (2)求点O到边的距离： (3)过点C作于点D，交于点P，求的值． 14．（24-25八年级下·山西太原·期中）小颖有一个很好的学习习惯——日回顾．每天结束学习后，她都会主动梳理当天所学内容，认真反思学习过程中的收获与不足，让知识得到进一步巩固和升华．下面是她对某题的分析思考过程，请认真阅读并完成相关问题． 2025年×月×日  日回顾 例题呈现： 已知：如图1，中，，平分交于点O，过点O作，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：． 条件分析： 直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条件，整理后发现，要证明“”有多种方法，其中一种方法只需证明一次全等即可，从问题入手梳理思路如下…… 思路梳理： 拓展应用： 上题蕴含着丰富的结论，从“互逆命题”这个探索新知识的角度思考，发现一种用三角尺“画角平分线”的方法． 如图：已知． 1．在的两边上分别取点M，N，使； 2．分别过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； 3．画出射线OP，即为的平分线． (1)按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出②这一步推理的依据． (2)结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线平分． (3)继续分析本题的图形结构及隐含的其它结论，仅利用格点及无刻度的直尺画出图3中的角平分线．（要求：保留画图痕迹，不写画法．） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 角平分线与垂直平分线 考点一：线段垂直平分线的性质与判定 ·性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 图形 方法 几何表述 SAS证明△PAO≌△PBO ∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上， ∴PA=PB ①SSS证明△PAO≌△PBO；②SAS证明△PAO≌△PBO ∵PA=PB，P在直线MO上， ∴MO⊥AB，AO=BO ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 图形 几何表述 在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC 考点二：角平分线的性质与判定 ·角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.（角平分线是角的对称轴） ·角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 图形 方法 几何表述 AAS说明全等 ∵CD平分∠ADB，P在CD上， PE⊥AD，PF⊥BD，∴PE＝PF. HL说明全等 ∵PE⊥AD，PF⊥BD，PE＝PF， ∴PD平分∠ADB ·三角形的角平分线：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 图形 几何表述 ∵CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，CF、BE交于点P， PQ⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC ， ∴PQ＝PM＝PN. 考点三：尺规作图（垂线、垂直平分线、角平分线） 1.多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°. 类型 图形 作图步骤 垂直平分线 步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点M、N． 步骤2.过点M、N作直线． 则直线MN就是线段AB的垂直平分线 已知底边及底边上的高作等腰三角形 步骤1.作线段AB = a； 步骤2.作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 步骤3.在 MN 上取一点 C，使DC = h； 步骤4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 作角平分线 步骤1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N. 步骤2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P. 步骤3.画射线OP. 射线OP即为所求. 利用作平角角平分线的方式作垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 作平角∠ACB的平分线CF．直线CF就是所求作的垂线． ②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线 步骤1.任意取一点K，使K和C在AB的两旁； 步骤2.以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E； 步骤3.分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； 步骤4.作直线CF．直线CF就是所求作的垂线 . 题型一：根据线段垂直平分线的性质判断等腰三角形 ·垂直平分线与等腰三角形的联系： 根据垂直平分线的“垂直”和“平分”两个条件，可构造等腰三角形：△PAB为等腰三角形 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故选C． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于M、N两点，画直线与边相交于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：由题意可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选D． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E，M，边的垂直平分线分别交于点F，N．若，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：为边的垂直平分线， ， ． 为边的垂直平分线， ， ． ， ，， ． 题型二：根据垂直平分线的性质转化线段 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵ 解得. 在中，. 根据勾股定理，得. ∵是的垂直平分线的性质， ∴， ∴的周长等于. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，等边对等角，理解勾股定理是求线段长的常用方法是解题的关键. 4．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，中，，过斜边中点作交于点，若，则的长为______． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：如图，连接， ，为的中点， 垂直平分， ， ， 在中， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在和中，，，于点E，射线与交于点F，连接，则线段，，三者之间的数量关系为__________． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为__________________． 【答案】9 【难度】0.85 【详解】解：的周长为13， ， 为的垂直平分线，， ，， ， 的周长为， 故答案为：9． 题型三：垂直平分线的判定 ·有两种问题：①证明点在垂直平分线上；②证明垂直平分线。①需要先作图，①②都需要证明垂直和证明平分。 ·构造全等 ·利用等腰三角形“三线合一”的性质 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【难度】0.85 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【难度】0.65 【详解】证明：是等边三角形， ， ∵是中线， ∴平分， ， ， ， 又是的外角， ， ， ， 是等腰三角形， 点在线段的垂直平分线上． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 题型四：根据角平分线的性质求距离 ·辅助线构造直角 辅助线：在三角形性质综合问题中利用角平分线和垂直平分线 添加辅助线构造全等： ①作垂线段 ②作延长线 ·构造全等三角形转化线段长 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查角平分线的性质；垂线段最短. 根据角平分线的性质，点M到和的距离相等，均为20，结合垂线段最短，可知点N在上时，的最小值为20，从而得出的取值范围。 【详解】解：∵点M在的平分线上，点M到的距离为20， ∴点M到的距离为20， ∵点N是上的任意一点， ∴， 故选：B. 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 题型五：角平分线的判定 ·通过证明全等来说明角度相等 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ，， ， ， ， ； 故答案：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明：，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 题型五：尺规作垂线、垂直平分线、角平分线 注意： ·作角平分线：出现或隐含到“到边”距离相等的条件；（边即为所作角平分线的角的两边） ·作垂直平分线：出现或隐含到“到点”距离相等的条件；（作这两点连线段的垂直平分线） 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，请用尺规作图法，求作一点M，使得，且点M在的边的高线上． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，根据得出点M在线段的垂直平分线上，因此先作出边上的高线，再作出线段的垂直平分线，则与的交点即为点M． 【详解】解：如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、H，再分别以G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点K，连接，交于点D，则为边上的高线；以A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于E、F两点，连接，交于点M，则点M即为所求作的点． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，． (1)在边上求作一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，勾股定理的应用． （1）作的垂直平分线，再得出，结合三角形的外角的性质可得结论； （2）设，则，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． . 理由：∵由作图可得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵． 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 的长为. 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查作图——角平分线和过直线外一点的垂线，熟练掌握作法是解题的关键 作的角平分线，过点作角平分线的垂线，交于点，即为所求 【详解】解：如图所示：即为所求. 4．（24-25八年级下·陕西·期中）如图所示，某地有一个形状为四边形的景区和是两条相交的道路，点C、B分别是公共卫生间和便利店的位置，景区管理员计划在四边形景区的内部修建一个游客休息中心，使点到的距离和点到的距离相等，且，请你帮景区管理员找出游客休息中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点��． 【详解】解：如图，点Q即为所求： 题型六：三角形的角平分线性质与面积的表示 角平分线的性质与等面积法：AP、BP、CP是三角形的三条角平分线，令PQ=PE=PM=r 图形 过程与结论 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，理解定理内容是关键；根据角平分线性质定理得；利用即可求解． 【详解】解：∵为的平分线，，， ∴； ∵， 即， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质和等面积法求解即可． 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F， 点O是内心， ． 故选：D． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交AC于点M，交CB于点N，过点作于点D，下列四个结论：①；②；③点到三边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由平行线的性质与角平分线的定义可得，，从而可判断①；由角平分线的含义结合三角形的内角和可判断②，过点作于，于，如图，结合角平分线的性质可判断③，由③正确得：，如图，连接，结合三角形的面积公式可判断④； 【详解】解：①是的平分线， ， ∵， ， ， ， 同理：， ， 故结论①正确； ②和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ∴， 故结论②正确； ③过点作于，于，如图所示： 是的平分线，， ， 是的平分线， ， ， 点到各边的距离相等， 故结论③正确； ④∵，， 由③正确得：，如图，连接， ，， ∵， ． 故结论④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 题型七：根据垂直平分线和角平分线的性质进行选址 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　） A．线段、的交点 B．、角平分线的交点 C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 使点到三面墙的距离都相等，点是、角平分线的交点． 故选：B． 题型八：线段和/差的最值问题（将军饮马问题） ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题（最短路径问题） 问题 作法 原理 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的平分线，，若点是上一动点，作于点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形性质，过点作关于于点，连接，则有，又，所以当三点共线时，最短，然后通过直角三角形性质和勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作关于于点，连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最短， 在直角中，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴由勾股定理得：， 即的最小值是， 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【答案】8 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 1．（24-25八年级下·广东清远·期中）下列说法，正确的是（   ） A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．“若，则”此命题是真命题 D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质、真假命题的判定、反证法的假设等知识，根据相关知识逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A、设三边为、、，验证是否满足勾股定理：不满足，故A错误，不符合题意； B、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，故B正确，符合题意； C、举反例：若，，则成立，但，命题不成立，是假命题，故C错误，不符合题意； D、反证法应假设结论的反面，即“底角不小于”（包含等于和大于），而选项仅假设等于，不完整，故D错误，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义和三角形内角和可判断①正确；根据角平分线的性质和面积法可判断②正确；根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和可判断③正确；根据面积法证明可判断④正确；证明，结合④可判断⑤正确． 【详解】①∵与的平分线相交于点E， ∴， ∴ ，即，故①正确； 作于点H，作于点M，作交的延长线于点N， ∵与的平分线相交于点E， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选D． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，则的度数为_______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据垂直平分线的性质，得出，结合等边对等角得，进行角的整理得，证明，根据角之间的关系得出，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵线段的垂直平分线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是_______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，， ， 垂直平分， ，过点F作于H， 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， （垂线段最短）， ， 解得． 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有___________．(填序号) 【答案】①③④⑤ 【难度】0.65 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，垂直平分线的判定等知识，结论比较多，但把握含30度角的直角三角形的性质是解本题的关键．推导都是含30度角的直角三角形，是30度底角的等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，④正确； ，①正确； ∵，， ∴，， ∴，③正确； ∵于点， ∴，， ∴，即，②错误， ，⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 8．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【难度】0.65 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵，， ∴， ∴，，即是的中线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 9．（24-25八年级下·广东茂名·期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查作图−-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点��，点��即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求．    10．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 11．（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求出的度数，证明垂直平分，得到，等边对等角，即可得出结果． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在与中， ， ， （2）， ， ， ， 、， 垂直平分， ， ． 12．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，是的角平分线． (1)尺规作图：过D点作，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明； (3)若，求点D到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）以点为圆心画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，超过这两点线段长度的一半为半径画弧，得到两个交点，连接这两个交点点即可； （2）根据以及角平分线的定义可证明，即可得解； （3）设，则，根据题意可推出为等腰直角三角形，再根据勾股定理得到，从而表示出，结合，解之即可． 【详解】（1）解：如图，为所作， （2）解：∵， ∵， ∴， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ． （3）解：设， 由（2）得，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ，且， ， ，即， 点到直线的距离为． 13．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，在中，，分别是与的角平分线，且相交于点O．    (1)求的长； (2)求点O到边的距离： (3)过点C作于点D，交于点P，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，熟知勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）过点O作，垂足分别为E、F、G，连接，由角平分线的性质得到，根据，可求出，据此可得答案； （3）过点P作于T，由等面积法可得，则 ，由角平分线的性质可得，则，则，即． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴； （2）解：如图所示，过点O作，垂足分别为E、F、G，连接，    ∵分别是与的角平分线，且相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点O到边的距离为1； （3）解：如图所示，过点P作于T，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵平分，， ∴， ∴， ∴，即． 14．（24-25八年级下·山西太原·期中）小颖有一个很好的学习习惯——日回顾．每天结束学习后，她都会主动梳理当天所学内容，认真反思学习过程中的收获与不足，让知识得到进一步巩固和升华．下面是她对某题的分析思考过程，请认真阅读并完成相关问题． 2025年×月×日  日回顾 例题呈现： 已知：如图1，中，，平分交于点O，过点O作，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：． 条件分析： 直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条件，整理后发现，要证明“”有多种方法，其中一种方法只需证明一次全等即可，从问题入手梳理思路如下…… 思路梳理： 拓展应用： 上题蕴含着丰富的结论，从“互逆命题”这个探索新知识的角度思考，发现一种用三角尺“画角平分线”的方法． 如图：已知． 1．在的两边上分别取点M，N，使； 2．分别过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； 3．画出射线OP，即为的平分线． (1)按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出②这一步推理的依据． (2)结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线平分． (3)继续分析本题的图形结构及隐含的其它结论，仅利用格点及无刻度的直尺画出图3中的角平分线．（要求：保留画图痕迹，不写画法．） 【答案】(1)；角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等 (2)详见解析 (3)图见解析 【难度】0.65 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质和角平分线的性质进行解答即可； （2）用证明即可； （3）根据等腰三角形三线合一和勾股定理进行作图即可． 【详解】（1）解：由题意可得，①应该填；②应该是：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等； （2）证明：∵过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴射线平分． （3）如图，即为所求， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理与网格、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $