1.3 直角三角形第1课时 直角三角形的性质与判定课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质与判定，涵盖两锐角互余、勾股定理及其逆定理、互逆命题与定理。通过复习勾股定理、古埃及画直角实例导入，衔接旧知与新知，搭建学习支架。 其亮点在于以问题探究驱动，结合折叠、最短路程等实例，培养数学眼光（现实情境观察）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（规范证明）。帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率，促进学生应用意识与推理能力发展。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 1 1.什么是勾股定理？ 定理：______三角形___________的平方和等于____的平方． 直角 两条直角边 斜边 复习导入 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)若a＝3，c＝5，则b＝____． (2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝____． (3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝____． 3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是( ) A．5，12，13 B．4，6，8 C．2，3， D．，4，5 4 6 6 B 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 命题角度1　判定直角三角形 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 探究新知 判断直角三角形的方法： (1)有一个角为直角； (2)两个锐角互余； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 例1 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长分别为5，12，14 C．三边长之比为3∶4∶5 D．三角形三个内角中有两个角互余 例2 若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为____． B 4.8 应用举例 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. A B C ∵∠B = 90°， ∴∠A +∠C = 90°. 归纳总结 性质定理1：直角三角形的两个锐角互余． 证明：在△ABC中， 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A＋∠B＝90°. A C B ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°. ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 探究新知 性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形． 证明：在△ABC中， ∠A＋∠B＋∠C＝180°. 已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形． A C B ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90° ∴△ABC是直角三角形． 利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 归纳总结 命题角度2　折叠问题 理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角． E F G H I A B C a b c 如图，在△ABC 中， ∠C = 90°，BC = a， AC = b，AB = c. 分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH. 勾股定理的证明 D M N 过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N. E F G H I A B C a b c D ∵EA = CA, ∠EAB =∠CAH=90°+ ∠CAB ， AB = AH， ∴△EAB ≌△CAH（SAS）. 又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB， E F G M N H I A B C a b c D S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴b2 = S长方形AHNM. 同理 a2 = S长方形MNIB. ∴ c2 = a2 + b2. 例3如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是 ( ) A．AF＝AE B．EF＝2 C．△ABE≌△AGF D．AF＝EF D 应用举例 例4 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝___cm. 3 命题角度3　勾股定理的应用 探究 【勾股定理及其逆定理】 问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？ 问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？ 已知：如图1-24（1），在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形． 分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证． A B C A’ B’ C’ 图1-24 （1） （2） 证明：如图1-24（2），作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°， A′B′＝AB，A′C′＝AC， ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)， ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)． A’ B’ C’ 图1-24 A B C （1） （2） 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 归纳总结 例5 如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是 ( ) A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m B 应用举例 例6 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为____m(结果精确到0.1)． 2.9 命题角度4　最短路程 此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长． 例7 图①所示的正方体木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 _____________cm. (2＋2) 应用举例 例8 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3) 解：×(2×3)×3＝9(cm)， ＝＝15(cm). ∴需要爬行的最短路程是15 cm. 命题角度5　互逆命题(定理)的识别 交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题． 探究 【互逆命题和互逆定理】 观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？ 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理． 应用举例 例9 下列说法正确的是 ( ) A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题 例10 下列定理中，没有逆定理的是( ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° A B 随堂练习 1.填空． (1)每个命题都是由________、________两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是______； (2)“对顶角相等”是______命题；“我们是小学生”是______命题；(选填“真”或“假”) (3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形 式：______________________________________________； 条件 结论 对顶角 相等 真 假 如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等 (4)直角三角形的两个锐角_____；有两个角互余的三角形是___________； (5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：____________________________________________． 互余 直角三角形 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 2．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 3．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8， DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为_______． 5或 144 4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长. 解：∵AB∥CD， ∴ ∠BAD +∠ADC = 180°， 又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°， ∴∠EAD +∠ ADE = 90°， 根据勾股定理，AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13, ∴ AD = 课堂小结 直角三角形 角的性质 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 互逆命题与互逆定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 课本P31习题1.3中的T1、T2. 课后作业 37 $