精品解析：福建省泉州市第七中学 2025-2026学年上学期九年级1月数学综合测试（下册综合）

九年级上数学试卷二十六（九年级下综合测试） （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数． 逐一检查各选项即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 下列调查方式中适合的是（ ） A. 为了了解市民对电影《流浪地球》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小强同学在网上向3位好友做了调查 C. 为了了解晋江水域的水质情况，环保部门采用了抽样调查的方式 D. 为了了解中央电视台2019年春节联欢晚会满意度，调查人员采用了普查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的选择，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 根据抽样调查和全面调查的特点解答即可． 【详解】解：A．为了了解市民对电影《流浪地球》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生，样本不具有代表性，不符合题意； B．为了了解全校学生用于做数学作业的时间，但仅向3位好友做调查，样本太小且不随机，不符合题意； C．水质调查采用抽样调查方式，符合实际需求，符合题意； D．春晚满意度调查采用普查方式，因观众数量巨大而不可行，不符合题意． 故选C． 3. 下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（ ）. A. （1，0） B. （0，1） C. （0，﹣1） D. （﹣1，0） 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算自变量为1、0、-1所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】当x=1时，y=x2+1=1+1=2； 当x=0时，y=x2+1=0+1=1； 当x=-1时，y=x2+1=1+1=2； 所以点（0，1）在函数y=x2+1的图象上． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 4. 若⊙O的直径为6cm，OA="5" cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】试题分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，OA=5cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选C． 考点：点与圆的位置关系． 【详解】请在此输入详解！ 5. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度， 得到， 再向下平移3个单位长度， 得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解本题的关键． 6. 如图,AB是O的直径,,∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而求得∠AOE的度数． 【详解】解：∵，∠BOC=40° ∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40° ∴∠BOE=120° ∴∠AOE=180°-∠BOE=60°． 【点睛】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等． 7. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　） A. 48° B. 96° C. 114° D. 132° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°， ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠D＝180°﹣∠B＝48°， 由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°， 故选B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论． 【详解】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E， ∵AB＝16， ∴BC＝AB＝×16＝8， 在Rt△OBC中， ∵OB＝10，BC＝8， ∴OC＝ ＝6， ∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4． 故选B． 【点睛】本题垂考查径定理的应用，解题的关键是根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程． 9. 如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，根据轴对称的性质得到AD＝OA，根据等边三角形的性质求出∠AOD＝60°，结合图形求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：连接OD， ∵点D是点O关于AC的对称点， ∴AD＝OA， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝100°−60°＝40°， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、轴对称的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 10. 已知抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是（ ） A. m≥ B. ≤m＜3 C. m＜3 D. 1≤m＜3 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，得出，求得m＜3，再由x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，得出，求得m≥1，最后由抛物线上的点P的纵坐标t≤3，得出顶点的纵坐标y≤3，得出－6m＋12≤3，求解后即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴m＜3， ∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小， ∴， ∴1≤m， ∵y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3＝－（x＋m－3）2－6m＋12，抛物线上的点P的纵坐标t≤3， ∴当x＝3－m时，y≤3， 即－6m＋12≤3， ∴m≥， 综上所述，满足条件的m的值为≤m＜3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 【答案】 1080 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体． 用该校的总人数乘以参与“空中课堂”学习的人数所占的百分比即可． 【详解】解：该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为（人）． 故答案为：1080． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把代入函数解析式，结合二次函数的二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴且， ∴； 故答案为：． 14. 《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是______步． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了内切圆和勾股定理，连接，设半径为步，由勾股定理得步，再由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，为内切圆，切点分别为，连接，设半径为步， ∴，，， ∵步，步， ∴由勾股定理得：（步） ∵为内切圆， ∴，， ∴ ∴，解得：， ∴的直径是步， 故答案为：． 15. 已知△ABC，，AB=AC=2，分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，E，再以DE为直径作半圆，得到如图所示的阴影图形，则该阴影图形的周长是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式计算，根据BE=CD,BE+ED=2,2BE+ED=2，计算即可． 【详解】∵，AB=AC=2， ∴∠B=∠C=45°， ∴==π， 根据题意，得BE=CD,BE+ED=2,2BE+ED=2， 解得DE=4-2， ∴， 阴影图形的周长是+=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握弧长计算公式，运用勾股定理计算DE的长是阶梯的关键． 16. 小明研究抛物线y=﹣（x﹣a）2﹣a+1（a为常数）性质时得到如下结论： ①这条抛物线的顶点始终在直线y=x+1上； ②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2； ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2a，则y1＞y2； ④只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由题意易得顶点坐标为（a，﹣a+1），所以这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上，抛物线开口向下，对称轴为直线x=a，由此可判定②，由可判定③，假设存在一个a的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y=0，得﹣（x﹣a）2﹣a+1=0，其中a≤1，进而可求解． 【详解】解：抛物线y=﹣（x﹣a）2﹣a+1（a为常数）， ①∵顶点坐标为（a，﹣a+1）， ∴这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上， 故结论①错误； ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=a， 当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，∴a的取值范围为a≥2， 故结论②正确； ③∵x1+x2＞2a， ∴， ∵抛物线对称轴为直线x=a， ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离， ∴y1＞y2， 故结论③正确； ④假设存在一个a的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y=0，得﹣（x﹣a）2﹣a+1=0，其中a≤1， 解得：x1=a﹣，x2=a+． ∵顶点坐标为（a，﹣a+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，∴|﹣a+1|=|a﹣（a﹣）|， 解得：a=0或1， 当a=1时，二次函数y=﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去； ∴存在a=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 故结论④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 如图所示，在△ABC中，BE=CE，∠C=70°，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D，E，O为圆心，求∠DOE的度数. 【答案】40° 【解析】 【分析】首先证明OE是△ABC的中位线，可得OE∥AC，求出∠OBE=∠OEB=70°，可得∠BOE=∠BAC=40°，然后利用圆周角定理求出∠BOD即可解决问题. 【详解】解：∵BE=CE，BO=AO， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， ∴∠OEB=∠C=70°， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB=70°， ∴∠BOE=∠BAC=180°-70°-70°=40°， ∴∠BOD=2∠BAC=80°， ∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=40°. 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理等，根据三角形中位线的性质得出OE∥AC是解题关键. 18. 在“全国安全教育日”来临之际，某中学举行了“安全知识竞赛”，学校随机抽取了部分参赛学生的成绩（得分均为整数）进行整理．并分别绘制成如下不完整的统计图． 根据以上统计图信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　人，a＝　　； （2）频数分布直方图中“84.5～89.5”这一组人数为　　； （3）该校共有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请你估计该校参赛学生成绩在59.5～79.5的人数． 【答案】（1）50，24 （2）8 （3）该校参赛学生成绩在59.5～79.5的人数为400人 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可得“59.5～69.5”的人数是2+3=5人，占调查总人数的10%，可求出调查总人数，进而求出a的值； （2）求出“79.5～89.5”的人数，进而确定“85.5～89.5”的人数； （3）求出样本中“59.5～79.5”中的人数所占整体的百分比即可． 【小问1详解】 解：（2+3）÷10%=50（人）， （4+8）÷50×100%=24%，即a=24， 故答案为：50，24； 【小问2详解】 解：50×36%-10=8（人）， 故答案为：8； 【小问3详解】 解：1000×（1-36%-24%）=400（人）， 答：该校参赛学生成绩在59.5～79.5的人数为400人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 19. 如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E． （1）求证：BD=CD； （2）若AB=4，∠BAC=45°，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）连接AD． ∵AB为⊙O直径， ∴AD⊥BC， 又∵AB=AC， ∴BD=CD； （2）π+2 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定以及等腰三角形的性质得出即可； （2）首先得出∠BOE=90°，BO=EO=2，∠AOE=90°，进而求出S阴=S△BOE+S扇形OAE的值． 【详解】（1）略 （2）连接OE． ∵AB=4，∠BAC=45°， ∴∠BOE=90°，BO=EO=2，∠AOE=90°， ∴S阴=S△BOE+S扇形OAE=×2×2+=π+2． 【点睛】此题主要考查了扇形面积以及等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解题关键． 20. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线交x轴于点C（-1，0）． （1）求A，B的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）求出当y1>y2时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）A(4，0)，B(0，2) ；（2）；（3）x<0或x>4 【解析】 【分析】（1）利用A，B是坐标轴与直线的交点即可求出. （2）利用待定系数法将A、B、C三点坐标代入即可. （3）观察图像即可得. 【详解】（1）当x=0时，，当时，x=4， 故A的坐标为(4，0)，B的坐标为(0，2). （2）过A，B两点的抛物线交x轴于点C 其中A、C在x轴上，故可设抛物线的解析式为，将B坐标代入得： 解得： 故函数的解析式为： （3）观察图像即可知，B点左侧和A点右侧的y1>y2，故自变量x的取值范围为：x<0或x>4. 【点睛】此题考查的是利用一次函数求点的坐标，待定系数法求二次函数解析式及利用图像求自变量的取值范围. 21. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1）（0＜x＜3）； （2）不会被淋湿，理由： 当时，有， ∵ ∴不会被淋湿． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0）， 将（3，0）代入，得：4a+3=0， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）． （2）略 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 22. 如图，在中，，点，分别为，的中点，作与相切于点，在边上取一点，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】 （1）证明：作于．连接 ，， ． ． ，， ． ． 是的切线， ． ． ， ∴四边形是矩形． ． ． 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）作于．连接，证明，得到，再证明四边形是矩形,得到即可得证． （2）设，则，在中，，在中，,建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）略． （2）设，则． ， ． 在中，． 在中， ， ． 解得． 的半径为． 【点睛】本题考查的是圆的切线的证明、三角形的全等、勾股定理解方程等相关知识点，能根据题意找见解题的切入点是做题的关键． 23. 某水果店购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量Q（单位：千克）与时间（天）的函数解析式为：． （1）求P关于x的函数解析式； （2）求该水果店销售利润最大时的x的值； （3）为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售1千克水果就捐赠n（n为正整数）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，求捐赠额n的值． 【答案】（1）； （2）该水果店销售利润最大时的x的值为10； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设该水果店销售利润为y元，根据总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出y关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （3）设捐赠后的利润为w（元），根据总利润等于（每千克的利润−捐赠额）乘以销售量，列出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质及欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，可列出不等式，进而求得n的值． 【小问1详解】 解：设P关于x的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴P关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设该水果店销售利润为y元， 由题意得： ， ∴当时，y取最大值1250， ∴该水果店销售利润最大时的x的值为10； 【小问3详解】 解： 设捐赠后的利润为w（元）， 由题意得：， ∵二次项系数为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小； ∵利润随时间x（x为正整数）的增大而增大， ∴， 解得：， ∵捐赠后不亏损 ∴当时，， 解得：， ∴， ∵n为正整数， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图1，在中，点是优弧上的一点，点为的内心，连接并延长交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若，，当、、三点共线时，过点作，交于点，求的长． 【答案】 （1）解法一：如图1，连接、、、， ∵点为的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵， ∴点在的中垂线上， ∴． 解法二：如图1，连接、、、， ∵点为的内心， ∴平分， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴． 图1 （2）证明：如图2，连接，设，， 由（1）知， ∵点为的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 图2 （3）10 【解析】 【分析】（1）解法一：连接、、、，由内心的性质可知为的角平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等可知，，根据等腰三角形三线合一可知点在的中垂线上，根据可知点在的中垂线上，进而即可得到结论；解法二：连接、、、，由内心的性质可知为的角平分线，根据相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可知，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且是半径，即可得到结论； （2）如图2，连接，设，，由内心的性质可知，，由同弧或等弧所对的圆周角相等可知，根据角的关系可以用，表示出和，进而通过等腰三角形的性质得到； （3）如图3，连接，作于，根据垂直平分线的性质可得的长度，在中，根据三角函数的性质可得的长度，根据等腰三角形垂径定理可知，根据平行线的性质可得，则，根据同角的余角相等可得，在和中根据三角函数的关系可得，进而即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接，作于， ∵，， ∴， 在中，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 图3 【点睛】本题考查了圆周角、垂径定理、三角形的内心、三线合一、同角的余角相等等知识点，解答本题的关键是正确作出辅助线并综合运用以上知识点， 25. 已知抛物y＝ax2+bx． （1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式； （2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)，＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C． ①求抛物线的解析式； ②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点． 【答案】(1)，(2) ①， ②设PB解析式为，把P (2，﹣2)代入得，，， PB解析式为，与二次函数交于点B、点C，故， 化简得，，，； 设AC解析式为，与二次函数交于点A、点C，， 化简得，，，； ∵， ∴，  ，， ， ， AC解析式为， 当时，y=4， 所以，直线AC必过定点（2,4）． 【解析】 【分析】(1)根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可； (2)①由抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，可求对称轴为x=2，根据＝3，可求Q点坐标，可求解析式；②用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点． 【详解】解：(1)由题意得，方程ax2+bx＝﹣x﹣1有两个相等的实数根， 所以，（b+1）2-4a=0，即． (2)①由抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，则对称轴为， 设Q点坐标为（2，q）．点P坐标为(2，﹣2)，所以PQ∥y轴， ， ， ∵OP＞OQ， ∴Q点坐标为（2，1）， 设抛物线解析式为，把（0,0）代入得，， 抛物线解析式为，即； 略 ② 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数性质、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质和一元二次方程的关系以及待定系数法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上数学试卷二十六（九年级下综合测试） （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查方式中适合的是（ ） A. 为了了解市民对电影《流浪地球》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小强同学在网上向3位好友做了调查 C. 为了了解晋江水域的水质情况，环保部门采用了抽样调查的方式 D. 为了了解中央电视台2019年春节联欢晚会满意度，调查人员采用了普查的方式 3. 下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（ ）. A. （1，0） B. （0，1） C. （0，﹣1） D. （﹣1，0） 4. 若⊙O的直径为6cm，OA="5" cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 5. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. ． 6. 如图,AB是O的直径,,∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　） A. 48° B. 96° C. 114° D. 132° 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 9. 如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是（ ） A. m≥ B. ≤m＜3 C. m＜3 D. 1≤m＜3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 13. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 14. 《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是______步． 15. 已知△ABC，，AB=AC=2，分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，E，再以DE为直径作半圆，得到如图所示的阴影图形，则该阴影图形的周长是________．（结果保留） 16. 小明研究抛物线y=﹣（x﹣a）2﹣a+1（a为常数）性质时得到如下结论： ①这条抛物线的顶点始终在直线y=x+1上； ②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2； ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2a，则y1＞y2； ④只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是____． 三、解答题（共86分） 17. 如图所示，在△ABC中，BE=CE，∠C=70°，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D，E，O为圆心，求∠DOE的度数. 18. 在“全国安全教育日”来临之际，某中学举行了“安全知识竞赛”，学校随机抽取了部分参赛学生的成绩（得分均为整数）进行整理．并分别绘制成如下不完整的统计图． 根据以上统计图信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　人，a＝　　； （2）频数分布直方图中“84.5～89.5”这一组人数为　　； （3）该校共有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请你估计该校参赛学生成绩在59.5～79.5的人数． 19. 如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E． （1）求证：BD=CD； （2）若AB=4，∠BAC=45°，求阴影部分的面积． 20. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线交x轴于点C（-1，0）． （1）求A，B的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）求出当y1>y2时，自变量x的取值范围． 21. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 22. 如图，在中，，点，分别为，的中点，作与相切于点，在边上取一点，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 某水果店购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量Q（单位：千克）与时间（天）的函数解析式为：． （1）求P关于x的函数解析式； （2）求该水果店销售利润最大时的x的值； （3）为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售1千克水果就捐赠n（n为正整数）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，求捐赠额n的值． 24. 如图1，在中，点是优弧上的一点，点为的内心，连接并延长交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若，，当、、三点共线时，过点作，交于点，求的长． 25. 已知抛物y＝ax2+bx． （1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式； （2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)，＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C． ①求抛物线的解析式； ②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $