精品解析：福建省泉州市鲤城区福建省泉州第一中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

泉州一中2026届初中九年级阶段适应性测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 优弧一定大于劣弧 C. 任意三角形都一定有外接圆 D. 不同的圆中不可能有相等的弦 3. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为（ ） A B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3 7. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．如图是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数与y轴的交点坐标为_________． 12. 如图，在中，，点在上．若，则______°． 13. 二次函数的图象关于直线对称，则______． 14 如图，弦和交于内一点，若，，，则________． 15. 已知二次函数，若，则的取值范围是 ___________． 16. 如图1，，O为中点，点B在上方，连接．如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，若，且．的最大值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 20. 已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD． 21. 如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 23. 如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且． （1）求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接． ①求证：为等腰三角形； ②若，，求弦的长． 24. 综合与实践 【问题情境】：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力），物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为．其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米），v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． 【实践探究】：如图，1号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线，物资B的运动路径即为抛物线． 【问题解决】： （1）请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； （2）请求出两物资落点间的水平距离； （3）多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，为使物资投放路径无交点，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求2号无人机投放物资B的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 25. 已知，如图四边形内接于，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点O作于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，过点A作于点，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2026届初中九年级阶段适应性测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，得，得顶点坐标是，即可作答． 详解】解：∵， ∴， 即顶点坐标是， 故选：C． 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 优弧一定大于劣弧 C. 任意三角形都一定有外接圆 D. 不同的圆中不可能有相等的弦 【答案】C 【解析】 【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据劣弧和优弧的定义对B进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断；根据弦的定义对D进行判断． 【详解】A、长度相等的两条弧不一定是等弧，所以A选项错误； B、在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，所以B选项错误； C、任意三角形都一定有外接圆，所以C选项正确； D、不同的圆中有相等的弦，所以D选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等） 3. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是利用圆周角定理求得． 由点A，B，C在上，，根据圆周角定理求得，由等边对等角得出，从而可利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径确定直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，然后再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知确定函数的对称轴为x=2，然后根据A、B、C三点到对称轴的距离即可判断． 【详解】解：y=（x-2）2+3的开口向上，对称轴为直线x=2， ∵A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴距离越远，其函数值越大，反之，开口向下，点到对称轴越近，函数值越大是解题的关键． 7. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．如图是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作交于点，交于点，连接，可得，设圆形框架的半径为，则，，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， ∵， ∴， 设圆形框架的半径为， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆形框架的半径为， 故选：． 9. 已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 对于①，由抛物线的开口向下，得，由对称轴为直线，可得，再由图象可知，当时，，根据对称性可知，当时，，即可判断； 对于②，由抛物线的对称轴为直线，可知当时，y取最大值，所以（t为全体实数）时，，即可判断； 对于③，根据图象可知，当时，，由对称性可知，当时，，再将代入求解即可； 对于④，根据图象可知，抛物线上的点到对称轴（直线）的距离越近，函数值越大，即可列出不等式求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 根据图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时，， ， ， 故①正确； 对称轴为直线， 时，y取最大值， （t为全体实数）时，， ， ， 即， ②错误； 根据图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时，， ， ， ， ③正确； 根据图象可知，抛物线上的点到对称轴（直线）的距离越近，函数值越大， 和为图象上两点，且， ， 解得， ④正确； 正确的是①③④． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数与y轴的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握求抛物线与y轴的交点坐标的方法． 求二次函数与y轴的交点坐标，需令，代入函数解析式计算y值． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点在上．若，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中同弧所对圆周角相等是解题的关键．本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解的度数． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：． 13. 二次函数的图象关于直线对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的计算公式． 利用二次函数的对称轴公式，代入与对称轴，计算求解的值． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为； 已知，对称轴为，则； 化简得，解得． 故答案为：4． 14. 如图，弦和交于内一点，若，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由相交弦定理求解． 【详解】解：∵PA•PB=PC•PD， ∴DP= ==6． 【点睛】本题考查相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”． 15. 已知二次函数，若，则的取值范围是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．先将二次函数解析式化为顶点式，求得开口方向与对称轴，结合二次函数图像的性质，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴该二次函数的图像开口向下，其对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，，， ∴当时取得最大值，当时，取得最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围是， 故答案：． 16. 如图1，，O为中点，点B在上方，连接．如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，若，且．的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是添加辅助线，构造三角形的外接圆； 根据，得出E在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点G，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】解：∵． ∴， ∵， ∴E在的外接圆上运动，设的外接圆为，连接， 如图，设与交于点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又，则， ∴， ∴， ∴当为的直径时，取得最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 优先化简负指数幂，绝对值，特殊的三角函数值，再运算即可． 【详解】解： 原式 ． 18 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 解得． 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 20. 已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明两条弦AB＝CD，可以转化为证明就可以．已知AC=BD可以证明得到，进而得到． 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴． ∴ ∴． ∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦其中有一组量相等，那么其它两组量也相等． 21. 如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）由是的中点，根据垂径定理得，而为的直径，所以，则，所以，由，得，则． （2）由圆周角定理可得，由，，求得，由，得，所以，由，求得，则，因为，，所以． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的长是1． 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、平行线判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 23. 如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且． （1）求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接． ①求证：为等腰三角形； ②若，，求弦的长． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】利用垂径定理的性质可作的垂直平分线交圆O与点E，即可得解； ①如图，连，利用圆周角定理证出，，由四边形为圆内接四边形证出，进而可证出，即可得解，②先证出，再由勾股定理得出，由得出比值，代入计算即可得解． 【小问1详解】 如图，作的垂直平分线交圆O与点E，点E即为所求作的点， 【小问2详解】 ①如图，连，， ∵ ，为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 24. 综合与实践 【问题情境】：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力），物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为．其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米），v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． 【实践探究】：如图，1号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线，物资B的运动路径即为抛物线． 【问题解决】： （1）请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； （2）请求出两物资落点间的水平距离； （3）多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，为使物资投放路径无交点，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求2号无人机投放物资B的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为：． （2）两物资落点间的水平距离为米． （3）号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物资的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物资的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【小问1详解】 解：∵号无人机的速度为：， ∴， 根据图可得：时，， 代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，， 解得：（负值已舍去）， 当时，， 解得：（负值已舍去）， ∵， 故两物资落点间的水平距离为米． 【小问3详解】 解：由（1）可得：当时，（负值已舍），故物资的落点坐标为， 由（2）得，当时，（负值已舍），故物资的落点坐标为， 将，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物资的投放高度， 当物资的投放高度与物资的投放高度一致时，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 25. 已知，如图四边形内接于，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点O作于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，过点A作于点，，若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）延长，交延长线于点，延长，交于点，连接，则，，可得，由已知可得，等量代换，由三角形的内角和定理可得，即可证得结论； （2）连接，，则，作于点，由垂径定理可得，，由等腰三角形的性质，结合圆周角定理可得，证明，可得，即可证得结论； （3）延长，交于点，连接，交于点，连接，，，则，由，可得，从而可得，由锐角三角函数，结合已知可得，，由等边对等角，结合已知，等量代换可得，从而可得，由等角对等边，结合勾股定理可得，，由锐角三角函数可得，从而可得，证明，可得，从而可得的长． 【小问1详解】 证明：延长，交延长线于点， 延长，交于点，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，，则， 作于点，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长，交于点，连接，交于点，连接，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $