数学一模突破卷05（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，得，故， ，则，所以. 故选：B. 2．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 故选：D. 3．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【解析】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 4．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 故选：D． 5．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则. 当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误； 对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于， 即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误； 对于C，当时，，因，则化简得，解得或. 当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确； 对于D，当时，，化简得，解得或. 对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误. 故选：C. 6．如图所示，某市拟将一个半圆形的空地改造为果园.设，且.若要在扇形和四边形内种满苹果，则当苹果的种植总面积最大时，的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨令半径为1，. 令， ， 令，解得. 故在上单调递增，在时上单调递减.故时，种植面积最大. 故选：C. 7．．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 为方程的根，即﹒ 故，即为，解得﹒ 是函数的零点， 方程在上有解﹒ 即在上有解﹒ ， 在上有解﹒ 令， 则， 设， 则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒ 又， ﹒ ﹒故实数a的最小值是﹒ 故选：A﹒ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 【答案】BCD 【解析】对A：若样本数据的方差为2， 则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则， 故的值分别是和2，故D正确.故选：BCD. 10．在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B． C．的最小正周期为 D．当时，的最小值为6 【答案】BC 【解析】选项A：， ， ，，故，故A错误； 选项B：， ， ，故B正确； 选项C：，令， 则，即是的一个周期， 假设有小于的最小正周期为，即， 则，即恒成立， 令，则，解得， 又，故，矛盾，故假设不存在， 所以的最小正周期为，故C正确； 选项D：当时，，， 若，； 若时，； 若，， 由可得，所以，当时，， 综上，时，的最小值为，故D不正确．     故选：BC 11．1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【解析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门， 对于A，游戏参与者初次选择了1号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后， 因此事件发生的概率均为，正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，， 由全概率公式，正确； 对于CD，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为： ， 因此选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知4名教师组团旅游，晚上入住宾馆休息，已知该宾馆二到七层为住宿区，其中第二层只有1间客房可住，其余各层房间充足.若这4名教师每人住1间客房，恰好分居3层，则不同的入住情况的种数为______________. 答案：600 【解析】分两类，第一类，4名教师有一位住在第二层，相应的入住情况有(种);第二类，4名教师均不住在第二层，相应的入住情况有(种).由分类加法计数原理得，不同的入住情况有(种). 13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 . 【答案】 【解析】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 14.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)在中，内角的对边分别为. (1)若，求角； (2)若的面积为，且为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，， 由，得， 因为，所以，所以； （2）因为的面积为，所以， 因为，所以，解得， 因为为锐角，所以， 所以，所以. 16．（15分）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【解析】（1）证明：因为，，所以. 因为，所以， 又，则有， 所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以， 所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列. 所以当为偶数，且时， ； 当为奇数，且时，为偶数， . 时，，满足. 所以，当为奇数，且时，有. 综上，. 17．（15分）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. （2）由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. （3） 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 18. （17分）如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当 时，求证 平面 ; (2)求三棱锥 与三棱锥 的体积之和； (3)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）设的中点为，是等边三角形，则，由于底面，所以，因此，平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系。 则，，，，，，    设，则， 因为，所以。 因此，的坐标为： 所以，，即， 所以，，即， 因为，且平面，所以平面； （2）三棱锥的体积为: 其中，为点到平面的距离， 已知点在线段上,则, , 平面上两个不共线向量： 设平面法向量，满足： ，点到平面的距离：平面上取点， 距离公式：,, , 所以：, 平面上两个不共线向量：, 设平面法向量，满足： 底面的面积：,, 点到平面的距离：平面上取点， 距离公式：,, ,, 所以：, 故， （3），，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，得， 设与平面所成角为，, , 则， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，，， 故,则, , 故． 19．已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【解析】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即. （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾， 情形2：，则， 取正整数，使得，则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾， 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾， 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求. （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则， 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ，至此不等式得证． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 4 5 6 8 0 B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 10 11 BCD BC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 25 12.600 13.√514 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.3分)【解折】D医为csB=子所以B经，snB=-eoB-号6分 4 sind"sin'得gin4=asink_5×5 51, b 82 所以4(0》所以4-名6列) (2)因为△ABC的面积为55，所以，absinC=5√5， 因为：=56=8，所以x5x8xsnC=5,解得i如C=下，9分 4 因为C为锐角，所以cosC=√-sin'C= 4 所以c=+6-2acoC=25+64-2x5x8×}69,所以e=V6丽(3分 16.(15分)【解析】(1)证明：因为a1=2,a2=8,所以a2-2a,=8-2×2=4 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为am+2=4an1-4an,所以an+2-2an1=2(an1-2an）, 又a2-2a=4≠0，则有an41-2an≠0(n∈N,), 所以2-204=2， ant-2a 所以{a+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列.(4分) 所以a+1-2a.=4×2"-1=21, 又受=1，所以侵 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以号=1+a-1=n,所以a,=n-27分) n ,n=2k-1,k∈N 1 a (2)由(1)知bn= =2,n=2k-1,keN 1og,”,n=2k,keN -n,n=2k,k∈N a 则6，}的奇数项为以=)为首项，4为公比的等比数列：偶数项是以么，=-2，-2为公差的等差数列 所以当n为偶数，且n≥2时，(9分) =6+6++小6+6++-同合) +2+(-2-4--m 22-川=1- m+2=-1n2_n2 2 3(2" -4 3×2可-423 1- 4 当n为奇数，且n≥3时，n-1为偶数， T.=T+b,=-,1n-n-1+2+1=-1+ 3×2-2-4-2+32”=3×204+12 n=1时，T= 112,111 3×24+i22满足 所以，当为奇数，且n≥1时，有7=-，1-”+ 3×2”412 1n2,11 n=2k-L,k∈N 综上，T= 3×2”412 .(15分) 1n2n,2 3x242+5m=2%,k∈N 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)【解析】(1)由题可知，2c=2,故c=1,因此a2-b2=1, 又因为点M受在椭圆C上，故。+4坊l, 19 「a2-b2=1 联+9解得 仔微精周c苦+5-14分 a2=4 43 (2)由题可知，F(L,0),故直线1：y=x-1,设点A(x,),B(x2,y2), y=x-1 联立直线1与椭圆C =1’得7x2-8r-8=0, x2.y2 43 8 8 根据韦达定理，(+=，=一7， 由孩长公式知48华F1卡5低+-45码号- 288_ 149 (3) VA 易知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+1, x=my+1 联立 3x2+4y2=12’得(3m2+4到y2+6my-9=0, △=36m2+363m2+4)=144m2+1>0, 6m 9 由韦达定理可得y+y2= 3m2+43hy= 3m2+4’(13分) 26m-4x,9 所以以-为=Vy+-4=3m+4 12Wm2+1 3m2+43m2+4 所以三角形的面积为5号FE伤-小x2 1 12Wm2+112Vm2+1 12 2 3m2+43m2+43Nm2+1+ 1 Vm2+1 令t=√m2+1≥1，则函数y=3t+二在L,+∞)上为增函数， 故当1=1时，即当m=0时，S取最大值，且Sx= 12=3(15分) 3+1 18.(17分)【解析】(1)设BC的中点为O,ABC是等边三角形，则OA⊥BC,由于BB,⊥底面ABC, 所以BB,⊥OA,因此，OA⊥平面CBB,C,以O为原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O平 行于BB,的直线为z轴，建立空间直角坐标系。 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则A(0,V3,0),B(-1,0,0),C(L,0,0),A(0,V3,2),B(-1,0,2),CL,0,2),(2分) B 设P(x,y,z),则CP=(x-1,y,z),CB=(-2,0,2), 因为治所以-号0两=-20-（号0引 因此P的坐标为：-1-（号引兮0号》 4孤=2.驴-G10号-信0引4=l-5-2 BBp=-14+-5-0+22=-4+4-0. 333 所以，AB,⊥BP,即AB1⊥BP,(5分) AB·AB=-1(-10+(-V3)-(-V3)+2(-2)=1+3-4=0. 所以，AB⊥AB,即AB,⊥AB, 因为BP∩AB=B,且BP,A,BC平面BPA,所以AB,⊥平面BPA,;(6分) (2公》三俊锥民-P4B的体积为%w=水n方5aXd 其中SAaB=2 ×Bx44=方×2×2=2,4为点P到平面4BB的距商， 己知点P在线段B,C上，则B,P=B,C(0<1<1, B,P=1B,C=(22,0,-22)→P21-1,0,-21+2), 平面ABB,上两个不共线向量：AB=-1,-5,0,BB=(0,0,2 设平面法向量=(x,乃，)，满足： 2·BB=0 ,点P到平面ABB,的距离：平面上取点B(-1,0,0),BP=（22,0,2-22) 4/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BP.m 距离公式：d,= mm=21+05+2-2刘0=2a. 1 2W3 3 所以：w×5m×d-方2x队=59分》 3 平面ACC1上两个不共线向量：AC=1,-V3,0,CC=(0,0,2), 设平面法向量n2=(x2,2,2),满足： n,.CC=0 底面△ACC,的面积：AC=2,CC=2,AC.CC=0,S4cc=)×2×2=2, 点P到平面ACC的距离：平面上取点C=(1,0,0),CP=(-2+22,0,2-22) CP.n2 距离公式：d2= 2n2=-2+2入1+0：5+2-2%-0=-2+ n2 -写后4-5-=-动 21V5 所以：长e写5m4-2x5-刘=251-动 3 故r4+4e25+251-刘-25,01分 3 3 3 (3)AC=1,-5,2,AB=(-1,-5,0,BP=(2元，0,2-2， 设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z), mBP=22x+(2-22)z=0 mAB=-x-√3y=0 422V4-8元+722 设AC,与平面ABP所成角为0，AC=V+3+4=2V2 m4C=1+1-22-21-22 1-21-2 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2(1-22) mAC 1-元 则sin0= 51-2 AC网 22.V4-8M+7元2V72-8+4 ,(14分)》 51- 令f(2)= 0-20<<,fa=21-22a-4 722-81+4 (7元2-8元+4) 当e0》时、a<0,单调道减： 当时，fa)>0,a)单闭递w。 故sine0,7) (17分) 19.(17分)【解析】(1)当a=e时，f(x)=e-1, 设gx=e-1-x,则g'(x=e-1, 所以函数gx)的单调性如下表所示： (-60,0j 0 (0,+o0) g'(x) <0 0 >0 g(x) 极小值 所以gx)≥g(0)=0,即f(x≥x.(4分) (2)(i)设h(x=f(x-2x-sin2x=a-1-2x-sin2x≥0， 则h'(x=alna-2-sin2x, 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 情形1：ae(0,1,则h(1=a-1-2-sin1<0,矛盾， 情形2：a∈1，e2),则h'(0)=lna-2<0, Ina 于是在区间 Q(+列内函数到存在至少一个零点，取其巾最小的一个为名， 那么对任意x∈(0，x,),恒有h'(x<0,(6分) 理由：假设存在实数x∈(0，x)使得h'(x)>0, 于是在区间(0，x内函数h'(x)存在至少一个零点，这与x的定义矛盾， 故对任意x∈(0，x),恒有h'(x<0, 故h(x在区间xe(0,x)上单调递减，于是h(x)<h(0)=0,矛盾， 情形3：a∈e2,+o),则h'(0)=lna-2>0, 取负整数无，使斜+》<如e(品)】 别+}-h-22-2-0 于是在区间+习》x0内函数到存在至少一个零点，取其巾最大的一个为无， 同情况2可知，h(x在区间(x2,0)上单调递增，于是h(x2)<h(0)=0,矛盾， 综上，只可能a=e2 下面证明a=e满足要求， 当x<-1时，hx=e2x-2x-1-sin2x>2-1-sin2x=cos2x≥0，满足题目条件 当x≥-1时，先证明x2≥sin2x,(*). 设(x=x-sinr,则'(x)=1-cosx≥0，故(x)为增函数， 于是当xe[-1,0)时，(x)<(0)=0, 故x<sinx<0,所以x2>sin2x,（*)成立， 当xe[0,1D时，x≥(0)=0，故x≥sinx≥0，所以x2≥sin2x,(*)成立. 7/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x∈[1，+oo)时，x2≥1≥sin2x,(*成立. 综上知(*)成立， 令m(x=x-ln(x+1(x>-1, 则m(x)=1-1=x x+1x+1' 当-1<x<0时，m'(x<0,当x>0时，m(x>0, 所以函数mx)在(-1,0)上单调递减，在(0，+o）上单调递增， 所以m(x)≥m(0=0-ln(0+1=0, 所以x≥ln(x+1→2x≥2lnx+1 由函数y=e在R上单调递增， 所以e2r≥e2=(x+1)2(x>-l), 当-1时，-专>1+=0成立. 所以当x≥-1时，e2x≥(x+1)2, 即e2r≥x2+2x+1≥sin2x+2x+1, 可见a=e2满足要求.(9分) (i)由(i)知e2r-2x-1≥sinx,用-x代替x, 得e2+2x-1≥sinx,所以sinx≤e+e-2, 2 于是取x=m +1i=2,3,n), i+1.i-2 1 2 2ii+1 又因为sin2 1 时i1-i=+=f-, 1 所以Vi+1+Vi-1<2Vi, 在不等式e'≥y+1中，令y=-lnx(x>0), 8/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 可得：e之-x+1即ax≥1,4分) 所以，n+年>1-i+巨- 2 i+->i++i(++1V+1+-可2+1-22Vi+, -: f+√-11 所um引aa+-e √n+n-1 =2In(n+vn+1)-2In(2+1) √n+Vn+l √2+1 至此不等式得证.(17分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 3．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 4．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 5．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，某市拟将一个半圆形的空地改造为果园.设，且.若要在扇形和四边形内种满苹果，则当苹果的种植总面积最大时，的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 10．在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B． C．的最小正周期为 D．当时，的最小值为6 11．1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知4名教师组团旅游，晚上入住宾馆休息，已知该宾馆二到七层为住宿区，其中第二层只有1间客房可住，其余各层房间充足.若这4名教师每人住1间客房，恰好分居3层，则不同的入住情况的种数为______________. 13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 . 14.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分_)在中，内角的对边分别为. (1)若，求角； (2)若的面积为，且为锐角，求的值. 16．（15分）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（15分）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 18. （17分）如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当 时，求证 平面 ; (2)求三棱锥 与三棱锥 的体积之和； (3)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 19．已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 3．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 4．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 5．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，某市拟将一个半圆形的空地改造为果园.设，且.若要在扇形和四边形内种满苹果，则当苹果的种植总面积最大时，的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 10．在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B． C．的最小正周期为 D．当时，的最小值为6 11．1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知4名教师组团旅游，晚上入住宾馆休息，已知该宾馆二到七层为住宿区，其中第二层只有1间客房可住，其余各层房间充足.若这4名教师每人住1间客房，恰好分居3层，则不同的入住情况的种数为______________. 13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 . 14.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)在中，内角的对边分别为. (1)若，求角； (2)若的面积为，且为锐角，求的值. 16．（15分）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（15分）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 18.（17分）如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当时，求证：平面; (2)求三棱锥与三棱锥的体积之和； (3)求与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $