1.1　三角形内角和定理第1课时　三角形内角和与全等三角形的性质与判定课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及全等三角形AAS判定，课堂导入先回顾平角、平行线性质和全等判定旧知，再通过测量金字塔侧面角情境引出问题，以旧知为支架衔接新知。 其亮点在于通过折叠、构造平行线等多种证明方法培养数学思维，结合现实情境发展数学眼光，例题与练习强化数学语言表达。如探究内角和时用转化思想，证明AAS体现推理能力，助力学生逻辑思维提升，方便教师开展分层教学。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 1　三角形内角和定理 第1课时　三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1 情境导入 1．旧知回顾 (1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空： 已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2. 证明：∵∠1＝∠B(____________)， ∴AD∥BC(____________). ∴∠C＝∠2(____________). (2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法 ①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). ②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). ③三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 2．课堂导入 如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法． 可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角． 【探究1】三角形的内角和 探究新知 我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗? 测量法 60°+48°+72°=180° 折叠法 在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移， 然后借助平行线的判定与性质证明这个结论. (1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗? 如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的. 尝试·交流 如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果? 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线 将等角进行转移. 如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到 将∠A转移到∠1的位置的效果. (2) 你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程. 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA， 则∠1=∠A，∠2=∠B. ∵ 点B，C，D在同一条直线上， ∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. D E 2 1 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°. (1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗? 思考·交流 可行. ∵ PQ∥BC(已知)， ∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等). 又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)， ∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换). (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗? 证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC 交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N， ∵ MD∥ AC ， ND∥ AB， ∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A . 又∠1+∠2+∠3=180°， ∴ ∠C+∠A+∠B=180°. A B C D M N 1 2 3 为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法. 【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是 ( ) A．锐角三角形　　　B．直角三角形　　　 C．钝角三角形　　　D．等腰三角形 B 【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： A B C F E 延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB 图② A B C F E 过 AB上一点 D作 DE∥BC,DF∥AC 图③ A B C E F 过点C作 EE∥AB 图① A B C D 过点C 作CD⊥ AB于点D 图④ (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)； A B C F E 延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB 图② A B C F E 过 AB上一点 D作 DE∥BC,DF∥AC 图③ A B C E F 过点C作 EE∥AB 图① A B C D 过点C 作CD⊥ AB于点D 图④ (1)解：①②③ (2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． A B C F E 延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB 图② A B C F E 过 AB上一点 D作 DE∥BC,DF∥AC 图③ A B C E F 过点C作 EE∥AB 图① A B C D 过点C 作CD⊥ AB于点D 图④ (2)证明：当选择图①时，如图①. 3 2 1 A B C E F 过点C作 EE∥AB 图① ∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B. ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠A＋∠2＋∠B＝180°， ∴三角形的内角和为180°. 2 当选择图②时， A B C F E 延长 AC 到点F,过点C作CE∥AB 图② ∵CE∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B. ∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴三角形的内角和为180°. 当选择图③时， A B C F E 过 AB上一点 D作 DE∥BC,DF∥AC 图③ ∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA， ∠FDE＝∠AED＝∠C. ∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴三角形的内角和为180°. ∵DE∥BC，DF∥AC， 【探究2】三角形全等的性质及判定 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 尝试·思考 证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS). 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E). 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 根据全等三角形的定义，我们可以得到 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________． 65° 【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM. 求证：∠B＝∠ANM. 证明：∵∠BAC＝∠DAM， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC， ∴∠BAD＝∠NAM. ∴△BAD≌△NAM(SAS)， ∴∠B＝∠ANM. 在△BAD和△NAM中， 例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 应用举例 B C A D 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). B C A D ∵ ∠B=38°，∠C=62°， ∵ ∠B=38°，∠C=62°， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°. ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD=∠CAD = ∠BAC=×80°=40°. 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠B=38°，∠BAD=40°， ∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°. 例2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数 解：在△ABC中，∠A＝50°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°. ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)＝65°. 在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°. 例3 如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C. (1)求证：△ABD≌△EDC； 【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明． (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BDC. 又∵AB＝ED，∠1＝∠C， ∴△ABD≌△EDC(AAS). (2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数． (2)解：∵△ABD≌△EDC， (2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解． ∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°， ∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°， ∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°. 归纳总结 三角形内角和定理 判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 证明 全等三角形 内容 三角形三个内角的和等于180° 随堂练习 1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是 ( ) A．锐角三角形　　B．直角三角形　　 C．钝角三角形　　D．等腰三角形 B 2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE. 证明：∵AF＝DC， ∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)， ∴AB＝DE. 3. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数. 解：∵ BD与CE是△ABC的高， ∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°. ∵ ∠A=50°， ∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°， ∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°， ∴ ∠COD=∠BOE=50°. 4. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°. 证明：在△ABC中，∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50° (三角形内角和定理). 又DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等). 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P31习题1.3中的T1、T2. 课后作业 40 $