专题07 锐角三角函数（期末复习课件）九年级数学上学期人教版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，围绕锐角三角函数主题，构建“研学情-记知识-破题型-过验收”的学习支架，涵盖概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用，包含知识点解析、易错提醒、典例变式及分层练习题。 资料特色突出，通过数形结合（如特殊角三角函数值表格与图形记忆）培养几何直观，结合测量坡度等实际问题发展模型意识与应用能力，解题技巧与变式训练提升推理运算能力，助力学生夯实基础突破难点，契合九年级学生升学备考需求，为教师提供系统高效的复习教学支持。

专题07 锐角三角函数 九年级数学上学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的相关概念 掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能根据直角三角形中两边的长度计算出指定锐角的三角函数值。 基本以选择题、填空题形式出现，常结合直角三角形的边长计算考查，选择题居多，难度较容易。 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，并能运用这些特殊值进行计算和化简。 主要在一些混合运算题中，直接考查特殊角的三角函数值计算，属于基础题，几何综合题中很大可能也会涉及特殊角的三角函数值计算。 解直角三角形（已知两边求第三边和其他锐角；已知一边一锐角求其他两边和锐角） 综合运用勾股定理、锐角三角函数的知识，根据直角三角形中已知的边和角（至少有一条边），求出其他所有未知的边和角 是本章热门考查内容，常以解答题形式出现，偶尔可能会考查选择填空题，题目背景较常与实际问题结合，也有部分是纯数学问题，难度一般，掌握好方法技巧，便较好拿分。 解直角三角形的实际应用（如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等问题） 掌握将实际问题（如测量高度、宽度、距离等）转化为数学模型（构造直角三角形）的方法，并熟练运用解直角三角形的知识解决问题。 此部分是本章在期末中的考查重点和难点，基本以解答题形式出现，题目具有较强的实践性和应用性，分值占也比较高，需要多进行训练，突破此类题型。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 锐角三角函数的概念 知识点01 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=； 余弦：cosA=； 正切：tanA=． 特殊角的三角函数 知识点02 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 易错点：特殊角的三角函数，最难的，最易出错的就是好多同学记不住这些数和它们对应的角，容易记混淆，尤其是30度角和60度角的六个三角函数值，大家可以借助数形结合的方式记忆，不容易错。参考下面的图形记忆： 易错提醒 解直角三角形 知识点03 1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； (4)sin2A+cos2A=1．tan A= 易错点： 解直角三角形的概念是求出该直角三角形除了题目所给的边角条件之外所有的边和角，务必不要求少了，所以上题要求三个问题。 易错提醒 解直角三角形的实际应用 知识点04 1.仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别地， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 4.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题：根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 易错点：这种问题的问题类型比较稳定，解答难度不大，错误主要集中在计算上，计算能力不好的学生，计算量稍大一些就会出错，另外解答后不要忘记检验是否符合题意。 易错提醒 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 锐角三角函数的相关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 根据三角函数的概念计算三角函数值有两个关键，一是找包含该角的直角三角形，二是计算需要的边长。 【典例1】在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C C 【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，求BC和AC的长。 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10为斜边，，所以。 根据勾股定理。 答案：BC=6，AC=8 【变式1】如图，在中，，，，，则 ， ， ． 解：∵中，，，， ∴，∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：，，． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=10，求BC和AB的长。 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=10，设BC=12x，则AC=5x，因为AC=10，所以5x=10，解得x=2，所以BC=12x=12×2=24。 根据勾股定理。 答案：BC=24，AB=26 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 题型二 解｜题｜技｜巧 特殊角的三角函数，最难的，最易出错的就是好多同学记不住这些数和它们对应的角，容易记 混淆，尤其是30度角和60度角的 六个三角函数值，大家可以借助 数形结合的方式记忆，不容易错。 参考右面的图形记忆： 【典例1】计算：； 解： ． 【典例2】在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 解：∵，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴是钝角三角形，故选：A． A 【变式1】在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 ． 等腰直角三角形 解：因为，且是锐角，所以， 因为，且是锐角，所以， 所以， 因为，所以， 所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式2】计算： (1) ； (2)． （1）解：． （2）解：原式 ． 解直角三角形 题型三 解｜题｜技｜巧 解直角三角形主要有两种类型问题：一种是解直角三角形；另一种是非直角三角形；对于第一种，基本上直接利用三角函数的概念解就可以，基本步骤：一找直接三角形；二根据所求问题找所需要的边长；三根据三角函数的概念解决问题；另一种是找不到需要的直角三角形，那就作辅助线，先构造需要的直角三角形，然后再利用三角函数概念求解； 易｜错｜点｜拨 解直角三角形的概念是求出该直角三角形除了题目所给的边角条件之外所有的边和角，务必不要求少了。 【典例1】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． A 解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，，， 所以点A到的距离为．故选：A． 【典例2】已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． （1）解：因为，所以； （2）解： 因为， 所以． 【变式1】如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为 ． 解：过点作轴于点，如图： 在中，，，， 则， 在中，、， 则， ， 因此，点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． （1）解：因为，． 所以， 所以， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， 因为中，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 解直角三角形的实际应用 题型四 解｜题｜技｜巧 这种题型通常有几个易错的地方： 1：选用三角函数错误； 2：等量关系出现问题导致列式出现错误； 3：由于三角函数实际应用题提供的数据大多为无理数或者式小数，导致计算错误； 4：忘记检验结果的合理性，导致错误。 29 【典例1】如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 解：如图，过点A作于F，过点E作于H，则，，， 因为斜坡的坡度，， ， ，， ， ， 所以， 故选：． C 解：由题意及图，得，， 所以为等腰直角三角形，且， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以． 故答案为：． 【典例2】如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 【典例3】如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． (1)求此时货轮到线段的距离；（结果保留根号） (2)求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里， 参考数据，）． （1）解：因为货轮速度海里/小时，航行分钟， 所以海里， 过点作于点， 因为，，所以， 所以货轮到线段的距离为海里； （2）解：因为， 所以 因为， 所以 在中，， 因为 所以 ， 所以货轮与灯塔的距离约为海里． 【变式1】已知有一山坡，若沿着水平方向前进了，就升高了，那么这个山坡的坡度是（   ） A． B． C． D． 解：如图，依题意，米，米， 则. 故选：A． 【变式2】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 解：如图，，， 根据题意得，， 所以，， 所以在中，， ， 因为，所以， 所以， 所以，故选：D． 【变式3】如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，，， 所以， ，， 因为在中，， 所以， 所以， 答：乙楼的高为． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1.如图，在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 解：因为在中，，，， 所以． 故选：C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） C 2.在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 解：如图，在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 3.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、均在格点上，则的值为 ． 解：过点作的平行线，连接， ， ． 每个小正方形的边长均为1， ，，． 所以是直角三角形，且， 在中，， ． 故答案为：． 4.已知锐角中，，，则的长为 ． 解：如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 5.图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， 因为， 所以， 所以是矩形， ，， 因为， 所以， 所以， 在中，， ， 因为， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 1.如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（  ）  A．米 B．米 C．米 D．米 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：如图，由题意得：米， ， 米 她在水平方向走了米， 故选：A． 2.直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 解：由折叠，得， 因为， 所以， 即，解得， 所以． 故选：A． 3.如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 解：因为在菱形中，与相交于点， 所以，， 在中，， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B ． 4.如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． （1）解：如图，过作于点， 所以四边形是矩形， 所以米，米， 在中，， 所以（米）， 所以（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：因为， 所以（米）， 因为，所以（米）， 所以（米）； 因为米，所以， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 1．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（ ） A． B． C． D．2 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） B 解：因为正方形中，， 所以，． 因为， 所以． 因为是的中点， 所以． 因为，，， 所以（）， 所以，． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 因为， 所以是直角三角形，且． 所以． 故选：． 2.定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为 ． 解：因为三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”， 所以“朔望三角形”的三个内角的度数分别为， 因为中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接，所以， 因为为“朔望三角形”，所以， 所以，在中，， 所以，在中，， 所以； 故答案为：． 3.如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，交于点E，点F是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． （1）证明：因为的平分线交于点， 所以． 因为，所以． 所以． 所以． 因为，所以． 所以四边形为平行四边形． 因为，所以四边形为矩形． （2）解：如图所示， 因为在矩形中，， 所以，． 因为， 所以． 因为在中，， 所以，． 所以． 因为在矩形中，， 所以在中，． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $