精品解析：江苏省苏州市苏州外国语学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷

苏州外国语学校2025～2026学年度第一学期学情调研 初二数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形 是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 6. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E为的中点．将沿折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 计算：___． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是___________． 11. 如果点在平面直角坐标系的y轴上，则点P坐标为___________． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____ ． 14. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____． 15. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 16. 如图，在中，，，D、为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是_______________________． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：先化简÷(﹣x+1)，然后从﹣2＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 21. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22. 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求的值； （3）计算：___________． 23. 如图，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 25. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 26. “数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 27. 在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州外国语学校2025～2026学年度第一学期学情调研 初二数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：选项A：分母为2，是常数，不是分式； 选项B：分母为4，是常数，不是分式； 选项C：分母为4，是常数，不是分式； 选项D：分母为，含有字母x，是分式； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零列得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 4. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标，直接根据关于x轴、y轴对称的点的坐标进行解答即可． 【详解】解：∵第一象限的“小旗”各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于y轴对称， 故选：C． 5. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变． 根据分式的基本性质，将 和 同时扩大 3 倍后，代入分式计算即可判断值的变化． 【详解】解：根据题意得：新分式为 ， ∴ 分式的值不变， 故选：A． 6. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：D． 7. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，点E为的中点．将沿折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键，根据三角形的面积公式求出，得到，根据三角形内角和得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点G， 由折叠得：，， ∴是的中垂线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴中，由三角形内角和得， 由勾股定理得：， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握该条件是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案． 【详解】解：若分式有意义， 则， 即． 故答案为：． 11. 如果点在平面直角坐标系的y轴上，则点P坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握在轴上的坐标的特征：横坐标为，是解题的关键；根据点在轴上，横坐标为，得到，求出的值，再代入求纵坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：因为点在轴上，所以横坐标，解得； 当时，纵坐标， 所以点坐标为； 故答案为． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，先将化简，再令其被开方数与的被开方数相等，建立方程求解． 【详解】解：， 被开方数为， 是最简二次根式与是同类二次根式， 可得：， 解得：． 故答案为：． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的条件，先将方程化简，合并同分母分式，然后去分母化为整式方程，增根为使分母为零的根，即，代入整式方程求m即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：，即， ∵方程有增根， ∴增根为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 如图，在中，，，D、为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是_______________________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记相关知识点即可．①证即可；②连接FD，证即可；③根据，，即可求证；④根据，即可求证； 【详解】解：如图：连接 ①：∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，故①正确； ②：由①知 ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中，∵， ∴，故②正确； ③：设与交于G， ∵，， ∴，， ∴，故③正确； ④：∵， 又在中，， 又是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算． （1）先计算除法，再化简二次根式，最后计算加减即可； （2）先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：先化简÷(﹣x+1)，然后从﹣2＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】﹣，﹣． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜ x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x的值可以取－2、2中的任意一个. 【详解】原式＝＝＝＝，∵－2＜ x＜（x为整数）且分式要有意义，所以x＋1≠0，x－1≠0，x≠0，即x≠－1,1,0，因此可以选取x＝2时，此时原式＝－. 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x的取值范围，从而再选取x＝2得到答案. 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求： 4 （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 的面积是： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为轴上一点，的面积为1， 点的横坐标为：或 点坐标为：或． 21. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）海港受台风影响的时间会持续h 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 22. 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求的值； （3）计算：___________． 【答案】（1） （2）1 （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）所求可得，则，进而可得到，再根据代值计算即可； （3）易得，再把所求式子的每一项按照这种形式分母有理化后计算求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴ ． 23. 如图，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， 是直角三角形； （2） 证明：设的中点为N，连接， ， ，是直角三角形，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质． （1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论； （2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）5 （2）或 （3） 解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 略 25. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 （2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； 【小问2详解】 解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 26. “数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】（1）， （2），如图所示： （3）17 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由勾股定理，得， 在中，， ； 【小问3详解】 解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为17． 27. 在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2） ①证明：如图2，作于，于， ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线； ② 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3，在上截取，使， 由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $