专题07：抛体运动【14大考点+14大题型】-2025-2026学年高一上学期物理《考点·题型·难点》期末高效复习

该高中物理“抛体运动”专题复习讲义通过知识梳理系统构建知识体系，以知识点为框架涵盖曲线运动条件、运动合成与分解、小船渡河、关联速度、平抛及斜抛运动等内容，用表格对比合运动性质、小船渡河情景等，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“题型过关+专题强化”的分层设计，14类题型含例题与变式，如平抛运动规律结合斜面、圆弧面情景，实验题探究平抛运动轨迹，培养科学思维与科学探究素养，助力学生掌握模型建构与推理方法，支持教师实施精准化复习教学。

专题07：抛体运动 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01：曲线运动的条件和特征 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： 知识点02　运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动． (2)运动的分解：已知合运动求分运动． 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法． 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 5．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线． 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零 的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点03小船渡河模型 两类问题，三种情景 渡河 时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ 知识点04：关联速度问题 1．题型特点：与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 知识点05 平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy. 知识点06　与斜面或圆弧面有关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 知识点07 斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 【题型过关】 题型一：曲线运动认识 【例1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）关于曲线运动，有下列说法，其中正确的是（    ） A．曲线运动一定是匀速运动 B．曲线运动一定是变速运动 C．在变力作用下，物体一定做曲线运动 D．在恒力作用下，物体不可以做曲线运动 【答案】B 【详解】A．曲线运动中速度方向时刻变化，速度是矢量，方向变化即速度变化，因此曲线运动不可能是匀速运动，故A错误； B．曲线运动中速度方向时刻变化，速度矢量必然变化，因此曲线运动一定是变速运动，故B正确； C．在变力作用下，物体不一定做曲线运动。例如，当变力方向始终与速度方向在同一直线上时（如变加速直线运动），物体做直线运动而非曲线运动，故C错误； D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动。当恒力方向与速度方向不在同一直线上时（如平抛运动中重力为恒力），物体做曲线运动，故D错误。 故选B。 【变式1】．（2025高一下·全国·专题练习）下列情景中，物体一定做曲线运动的是（　　） A．物体以恒定速率在水平面上运动 B．物体初速度方向水平向右，所受合外力方向竖直向下 C．物体初速度为零，所受合外力方向始终不变 D．物体所受合外力方向与速度方向始终在同一直线上 【答案】B 【详解】A．物体以恒定速率运动时，若方向不变（如匀速直线运动），则轨迹为直线；若方向变化（如匀速圆周运动），则为曲线。因此物体不一定做曲线运动，故A错误； B．初速度方向与合外力方向垂直，合外力产生的加速度方向与速度方向不在同一直线上，必然导致速度方向改变，物体做曲线运动（如平抛运动），故B正确； C．初速度为零且合外力方向不变时，物体沿合力方向做匀加速直线运动（如自由落体），故C错误； D．合外力方向与速度方向始终共线时，物体做直线运动（如匀变速直线运动），故D错误。 故选B。 【变式2】．（2025高一下·全国·专题练习）关于曲线运动的速度方向与运动条件，下列说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，速度方向一定与所受合外力方向相同 B．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动 C．曲线运动中物体在某点的速度方向，就是该点轨迹的切线方向 D．只要物体所受合外力不为零，就一定做曲线运动 【答案】C 【详解】C．曲线运动中物体在某点的速度方向即为该点轨迹的切线方向，这是曲线运动的基本性质，故C正确； A．物体做曲线运动时，合外力方向指向轨迹凹侧，而非与速度方向相同（速度方向为切线方向），故A错误； B．若合外力方向与速度方向共线，物体仅做直线运动（如匀变速直线运动），无法做曲线运动，故B错误； D．合外力不为零时，若方向与速度共线，物体仍做直线运动（如匀加速直线运动），故D错误。 故选C。 题型二：运动的合成与分解 【例2】．（2025高一下·全国·专题练习）关于合运动与分运动的性质，下列说法正确的是（     ） A．若两个分运动均为匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动 B．若一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动 C．若两个分运动均为匀变速直线运动，则合运动一定是匀变速直线运动 D．合运动的速度大小一定大于任意一个分运动的速度大小 【答案】A 【详解】A． 两个匀速直线运动的合速度是两分速度的矢量和，加速度均为零，故合运动的加速度也是零，必为匀速直线运动，故A正确； B． 匀速分运动的加速度为零，匀加速分运动的加速度恒定。合加速度即为匀加速分运动的加速度，但若两分运动方向不共线，则合速度方向与加速度方向不共线，导致曲线运动（如平抛运动），B错误； C． 两匀变速直线运动的合加速度恒定，但合初速度方向与合加速度方向未必共线。若二者不共线，合运动为匀变速曲线运动，C错误； D． 合速度大小由矢量叠加决定。若两分速度方向相反或夹角大于90°，合速度可能小于某一分速度，D错误。 故选A。 【变式1】．（24-25高一下·广东惠州·期末）跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 【答案】A 【详解】AB．由图像可知，运动员在这段时间内水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，则加速度不变，合运动为曲线运动，选项A正确，B错误； C．时，运动员水平速度为vx=1m/s，竖直速度 合速度大小为，选项C错误； D．内，运动员的水平位移 竖直位移y=10m，则合位移大小为，选项D错误。 故选A。 【变式2】．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）2025年春季，芜湖响水涧万亩油菜花海竞相绽放，万亩油菜花海吸引无数游人纷至沓来，成为春日芜湖最红打卡地之一。某摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将无人机拍摄的飞行过程转化为如图所示的图像，无人机仅在xoy平面上运动，t=0时，无人机位于y轴上。则下列说法正确的是（    ） A．从t=0时刻开始无人机做匀变速直线运动 B．t=0.5s时，无人机所受的合力为4N C．t=1.0s时，无人机的位置坐标为（5m，5m） D．t=2.0s时，无人机的速度大小是10m/s 【答案】C 【详解】A．从t=0时刻开始无人机向x轴正方向做匀加速直线运动，向y轴负方向做匀速直线运动，所以无人机做匀变速曲线运动，A错误； B．t=0.5s时，无人机的加速度为 所受的合力为 无人机的质量未知，无法求出无人机的合力，B错误； C．t=1.0s时，向x轴正方向运动的位移 x轴坐标为5m 向y轴负方向匀速运动的速度 t=1.0s时，向y轴负方向运动的位移 y轴坐标为 无人机的位置坐标为（5m，5m），C正确； D．t=2.0s时，向x轴正方向运动的速度为 t=2.0s时，向y轴负方向运动的速度为 无人机的速度大小是，D错误。 故选C。 题型三：小船渡河问题 【例3】．（24-25高一下·安徽宣城·期末）某人划船让小船船头始终垂直河岸渡河，河的两岸平行，河宽为150m，船在静水中的速度保持不变。河中各点的水流速度大小与到较近河岸的距离d成正比，其比例系数。则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河的时间是75s B．小船运动的轨迹是直线 C．小船渡河的过程中最大速度是2.5m/s D．小船渡河的过程中，行驶的位移为250m 【答案】C 【详解】A．渡河时间由垂直河岸的分速度决定。河宽150m，船速1.5m/s，时间，故A错误； B．水流速度随位置变化，导致合速度方向不断改变，轨迹为曲线，故B错误； C．水流速度最大值出现在河中央（），此时 合速度，故C正确； D．小船到达河中央时，时间为 前半段，时，竖直方向上，船匀速直线运动，位移 同时水平方向上，水流速度大小为 也即水平方向上小船做匀加速直线运动，加速度大小为 到时小船水平方向上的位移大小为 解得 后半段，时，竖直方向上，船匀速直线运动，位移 其中是从50s开始计时所经历的时间，同时水平方向上，水流速度大小为 也即水平方向上小船做匀减速直线运动，加速度大小为，初速度大小为 后半程50s内，小船水平方向上的位移大小为 解得 总的水平方向上的位移为 合位移，故D错误。 故选C。 【变式1】．（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是 B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是 【答案】D 【详解】A．当船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最短，，故A错误； BC．当静水速（即船头的指向）与河岸垂直时，渡河时间最短，由于水流速在变化，所以合运动不是直线运动，故BC错误； D．当水流速最大时，合速度最大，最大速度为，故D正确。 故选D。 【变式2】．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果两船的划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断错误的是（　　） A．甲船一定不能到达对岸P点 B．两船渡河时间一定相等 C．两船一定相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 【答案】D 【详解】A．由乙船能到达正对岸的P点，可知水流方向自左向右，则甲船的合速度方向偏向P 点的下游，甲船一定不能到达对岸P点，故A正确，不满足题意要求； B．由于两船垂直河岸的分速度相等，所以两船渡河时间一定相等，故B正确，不满足题意要求； CD．两船垂直河岸方向的分速度相等，则当甲船运动到NP连线的某点时，乙船也恰好沿NP到达该点，所以两船一定相遇在NP连线上，故C正确，不满足题意要求；D错误，满足题意要求。 故选D。 题型四：绳拉和杆拉物体模型 【例4】．（24-25高一下·河南开封·期末）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，货车前进了一小段距离，货物被提升高度为h时，如图所示，在此过程中下列说法正确的是（　　） A．物体做匀速直线运动 B．此时货箱向上运动的速率等于 C．此过程中货物和货箱处于超重状态 D．提升货物过程中缆绳拉力做的功为 【答案】C 【详解】ABC．将货车的速度进行正交分解，如图所示 由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故此时货箱向上运动的速率为 可知此时货箱向上运动的速率小于v，货车以速度ⅴ向左做匀速直线运动，逐渐减小，货箱的速度逐渐增大，故此过程中货物加速上升，此过程中货物和货箱处于超重状态，故AB错误，C正确； D．此过程中货箱加速上升，有向上的加速度，根据牛顿第二定律 故此过程中缆绳中的拉力大于，则提升货物过程中缆绳拉力做的功，故D错误。 故选C。 【变式1】．（24-25高一下·浙江温州·期末）建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力小于货物的重力 【答案】B 【详解】AB．将工人的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解，根据速度的分解可知，货物的速度大小为，故A错误，B正确； CD．人向右运动时，减小，则货物的速度增大，可见货物向上加速运动，则绳索对货物的拉力大于货物的重力，故CD错误； 故选B。 【变式2】．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图所示，套在竖直细杆上的轻环由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物相连，施加外力让沿杆以速度匀速上升，从图中位置上升至与定滑轮的连线处于水平的位置，已知与竖直杆成角，则（    ） A．刚开始时的速度大小为 B．A匀速上升时，重物B也匀速下降 C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于的重力 D．运动到位置时，的速度大小不为0 【答案】C 【详解】AD．A在运动过程中，A的速度沿着细杆竖直向上，可以将A的速度可以分解为沿着绳子的速度和垂直于绳子的速度，如图所示 根据关联速度之间的关系可知，B任意时刻的速度大小均应等于A沿绳方向分速度的大小，由此可知刚开始时B的速度为 当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时则有，所以，故AD错误； BC．A匀速上升时，根据 当A上升时，夹角增大，减小，减小，因此B做减速运动，由牛顿第二定律，可知，绳对B的拉力大于B的重力，故B错误，C正确。 故选C。 题型五：平抛运动规律 【例5】．（24-25高一下·湖南郴州·期末）冬奥会跳台滑雪比赛简化模型如图所示，运动员穿着专用滑雪板，在助滑道上获得高速后从坡顶点以速度水平飞出，在空中飞行一段距离后恰好在坡底点着陆。已知之间的高度差为，与水平面夹角为37°，不计空气阻力，，，，下列选项正确的是（　　） A．运动员在空中飞行的时间 B．运动员在空中飞行的时间 C．运动员的初速度 D．运动员的初速度 【答案】C 【详解】AB．竖直方向，根据 可得运动员在空中飞行的时间，选项AB错误； CD．运动员的初速度，选项C正确，D错误。 故选C。 【变式1】．（24-25高一下·辽宁·期末）在法网公开赛的关键分时刻，郑钦文将网球（可视为质点）以水平的初速度从距地面2.45m的高度强力击出。若忽略空气阻力，取重力加速度，关于这记精彩发球，下列说法正确的是（    ） A．网球在空中运动的时间约为0.75s B．这记发球使网球落在距离发球点27m处 C．网球落地时竖直方向速度大小为 D．网球落地瞬间速度方向与水平方向夹角的正切值为 【答案】C 【详解】A．根据自由落体运动公式 解得网球在空中运动的时间，故A错误； B．水平位移为 则这记发球使网球落在距离发球点的距离为，故B错误； C．网球落地时竖直方向速度大小为，故C正确； D．网球落地时速度方向与水平方向夹角的正切值为，故D错误。 故选C。 【变式2】．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）某次飞镖比赛中，选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离L=2.4m，靶心距离飞镖出手点竖直方向的距离h=0.2m。设飞镖每次出手都以水平方向扔出，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。若掷出的飞镖恰好可以命中靶心，求： (1)飞镖的飞行时间； (2)飞镖的出手速度大小； (3)飞镖扎在靶上时的速度方向与竖直方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）飞镖做平抛运动，竖直方向有 解得飞镖的飞行时间 （2）水平方向有 解得飞镖的出手速度大小 （3）飞镖扎在靶上时的竖直分速度大小 设飞镖扎在靶上时的速度方向与竖直方向的夹角为θ，则 题型六：平抛运动推论 【例6】．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．小球在空中做平抛运动，竖直方向有 又，则有 由题意可知两球做平抛运动水平位移相等，根据 则两小球抛出时的速度关系为 故AB错误； D．小球从抛出到落地的位移大小为 由于，，则有 故D错误； C．小球落地时的速度与水平方向的夹角正切值为 则有 故C正确。 故选C。 【变式1】．（23-24高一下·广西北海·期末）如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒被水平抛出的运动轨迹如图乙所示，O为抛出点，Q、P为轨迹上两点，且谷粒在OQ间与QP间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．谷粒在P点时的速度大小是在Q点速度大小的2倍 B．谷粒在OQ间竖直方向的位移大小与QP间竖直方向的位移大小相等 C．谷粒在P点时速度与水平方向间的夹角是在Q点时速度与水平方向间夹角的2倍 D．谷粒在P点时重力的瞬时功率是在Q点时重力的瞬时功率的2倍 【答案】D 【详解】A．设平抛初速度大小为，OQ、QP间运动时间均为t，则在Q、P点的速度大小分别为 故 故A错误； B．平抛运动竖直方向做自由落体运动，故从抛出点开始连续相等的两段时间内竖直方向的位移大小之比等于，故B错误； C．点时速度与水平方向间的夹角大小 在Q点时速度与水平方向间夹角大小 故C错误； D．在P点时重力的瞬时功率大小 在Q点时重力的瞬时功率大小 故D正确。 故选D。 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）如图，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端点水平抛出，分别落到斜面上的两点，，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为 B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同 C．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为 D．甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同 【答案】B 【详解】AC．设斜面倾角为，由于两次均落至斜面，位移偏角相同，可得 可得 落至斜面的位移为 由题意可知两次的位移之比为，故所用时间之比为，初速度之比为，故AC错误； B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向与水平方向夹角满足 故落至斜面时速度方向相同。故B正确； D．运动过程中速度变化量 可知甲、乙两球速度变化量的方向始终竖直向下，均与重力加速度方向相同。故D错误。 故选B。 题型七：飞机投弹问题 【例7】．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某次大学生飞行器空投比赛中，一飞行器在离地面高7.2m的空中以9m/s的速度匀速直线飞行。某时刻，飞行器无动力释放一沙袋，沙袋飞出后恰好击中地面上的目标。沙袋可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．沙袋释放后经0.72s落地 B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为9m C．沙袋击中目标时的速度大小为15m/s D．若仅减小飞行速度，沙袋释放后在空中的飞行时间变长 【答案】C 【详解】A．沙袋竖直方向做自由落体运动，由公式 解得，A错误； B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为，B错误； C．竖直方向速度 水平速度 合速度大小为，C正确； D．沙袋的飞行时间仅由竖直方向自由落体高度决定，与水平速度无关。减小飞行速度不会改变下落时间，D错误。 故选C。 【变式1】．（23-24高一上·湖北荆州·期末）一架无人机以 2m/s的速度在5m 的高空水平飞行，从无人机上每隔 0.5s 释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度取 下列说法正确的是（　　） A．第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为 1s B．第三个小球落地时的速度大小为 10 m/s C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为 4m D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上 【答案】A 【详解】A．每个小球都做相同的平抛运动，由 知，落地时间 A项正确； B．小球落地的速度 B项错误； C．第一个小球与第四个小球之间间隔 1.5s ，故落地点的间距 C项错误； D．小球都做相同的平抛运动，水平方向都是相同速度的匀速直线运动，所以在空中任何时刻总是排成竖直的直线，D 项错误。 故选A。 【变式2】．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图所示为某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机悬停在距水平地面的高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，5s时释放一个小球。空气阻力忽略不计，g取。下列说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间为2s B．小球落地时的速度大小为 C．小球落地点与释放点之间的水平距离为8m D．小球落地时与无人机之间的水平距离为10m 【答案】B 【详解】A．根据 可得小球在空中运动的时间为 故A错误； B．根据 可得小球落地时的竖直分速度大小为 无人机以的加速度水平向右飞行，5s后的速度（即小球释放时的水平速度）为 小球落地时的水平分速度为 根据勾股定理可得小球落地时的速度大小为 故B正确； C．小球落地点与释放点之间的水平距离为 故C错误； D．无人机在飞行的水平距离为 小球落地时与无人机之间的水平距离为 故D错误。 故选B。 题型八：斜面上的平抛运动 【例8】．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，忽略空气阻力，则（　　） A．两次小球落到斜面时的速度方向不相同 B．两次小球运动的时间之比为1:2 C．两次小球抛出时的初速度之比为1:2 D．两次小球落到斜面时的动能之比为1:2 【答案】D 【详解】A．设小球落在斜面上时速度方向与水平方向成的夹角为，则有 由于角一定，所以一定，与小球的初速度无关，所以两次小球落到斜面时的速度方向相同，故A错误； B．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据 解得 根据题意可知，两次小球下降的高度之比为 解得运动时间之比为，故B错误； C．小球水平位移之比为 平抛运动水平方向有 解得水平初速度之比为，故C错误； D．结合上述有 小球速度与水平方向夹角相等，小球落地斜面上的速度 可以解得速度之比为 则可以解得动能之比为1:2，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台A处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡B处着陆。测得A、B间距离为40m，斜坡与水平方向间夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离A越远 B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为20m/s 【答案】B 【详解】A．水平方向的位移为 竖直方向的位移为 上面两个式子均没有飞行员的质量m，A、B之间的距离L与运动员的质量m无关，A错误； B．运动员在空中的飞行时间为 解得，B正确； C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 解得，C错误； D．运动员落到斜坡上速度的竖直分量为 运动员落到斜坡上的速度大小为 ，D错误。 故选B。 【变式2】．（24-25高一下·河北保定·期末）地面上固定一倾角为37°的斜面，从斜面上某点A水平抛出可视为质点的小球，初速度大小为2m/s，小球落在斜面上B点（未画出）。已知重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到B所用时间为0.2s B．0.1s时小球的速度大小为3m/s C．A、B间的距离为0.75m D．落到斜面时，小球的速度与水平方向夹角为74° 【答案】C 【详解】A．根据，， 解得t=0.3s，选项A错误； B．0.1s时小球的竖直速度 此时速度大小为，选项B错误； C． A、B间的距离为，选项C正确； D．落到斜面时，小球的速度与水平方向夹角正切 可知，选项D错误。 故选C。 题型九：曲面上的平抛运动 【例9】．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（　　）    A．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上 B．改变初速度的大小，b球可能垂直撞在在斜面上 C．改变初速度的大小，a球可能垂直撞在在半圆轨道上 D．改变初速度的大小，b球速度方向和斜面的夹角保持不变 【答案】D 【详解】A．将半圆轨道和斜面重合在一起，如图所示    设交点为A，如果初速度合适，可使小球做平抛运动落在A点，即两球可能同时落在半圆轨道和斜面上，故A错误； BD．改变初速度的大小，b球位移偏向角不变，则速度偏向角也不变，即b球的速度方向和斜面的夹角不变，b球的速度方向斜向右下方，不可能垂直撞在斜面上，故B错误，D正确； C．若a球垂直撞在半圆轨道上，如图所示    则此时a球的速度方向的反向延长线过半圆轨道的圆心，且有 与平抛运动规律矛盾，a球不可能垂直撞在半圆轨道上，故C错误。 故选D。 【变式1】．（22-23高一下·安徽六安·期末）如图，可视为质点的小球，位于半径为m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则物体初速度为（不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2）（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球运动过程中，水平位移为 小球恰好与半圆柱体相切于B点，可知在B点的速度与水平方向的夹角为30，则 联立解得 故选C。 【变式2】．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】A 【详解】A．小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37° 小球在N点竖直方向的速度 小球从M到N运动的时间 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 ，解得 小球从M到N水平位移 ，故A正确； B．由A选项知，AM之间的距离为，故B错误； C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故C错误； D．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选A。 题型十：平抛运动追及及相遇问题 【例10】．（23-24高一上·江苏·期末）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。关于这段过程，下列说法中正确的是（　　）    A．两球的速度变化不同 B．相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45° C．两球的相遇点在N点上方处 D．M、N间的距离为2h 【答案】B 【详解】A．两球加速度均为重力加速度，则相同时间内速度变化量相同，A错误； B．S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，则两球相遇时间 t= 则小球S1的速度方向与水平方向夹角 tanθ==1 即相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°，B正确； C．两球在竖直方向的运动是互逆的，则相遇点在N点上方处，C错误； D．M、N间的距离为 x=vt= 又 则 x=h D错误。 故选B。 、 【变式1】．（22-23高一下·新疆塔城·月考）在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向水平抛出两小球A和B其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．相遇时B球竖直分速度较大 B．相遇时A球速度与水平方向夹角较大 C．应该同时抛出两小球 D．相遇时A球的速度与B球的速度大小相等 【答案】C 【详解】A．两球竖直方向均做自由落体运动，从抛出到相遇竖直方向下落高度相同，由 得 相遇时两球球竖直分速度一样大。故A错误； C．由 得 两球从抛出到相遇所用时间相同。故两球同时抛出。故C正确； B．从抛出到相遇，由 得 A球的水平位移大于B球的水平位移，A球抛出时的初速度大与B球抛出时的初速度。即 设相遇时，A球速度与水平方向的夹角为，则 设相遇时，B球速度与水平方向的夹角为，则 因此 得 相遇时A球速度与水平方向夹角较小，故B错误； D．相遇时A球的速度 相遇时B球的速度 由 得 相遇时A球的速度大于B球的速度。故D错误。 故选C。 【变式2】．（21-22高一下·湖南·期末）如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 C．乙同学抛出的篮球初速度一定大 D．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 【答案】B 【详解】A．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由可知 由于，要使两球在P点相遇，则乙同学比甲同学后将篮球抛出，故A错误； B．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由可知 在相遇前，甲同学抛出的篮球下落的高度更大，所以两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长，故B正确； C．由图可知，乙同学抛出的篮球在相遇时的水平位移更小，所用时间也更小，则不能确定乙同学抛出的篮球初速度是否更大，故C错误； D．由图可知，甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移更大，且水平位移取决于下落的高度与水平初速度的大小，故D错误。 故选B。 题型十一：类平抛运动 【例11】．（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示的光滑固定斜面，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点以初速度水平射入，恰好沿底端点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点以初速度水平射入，发现物块沿边中点离开斜面．已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 C．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 【答案】B 【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据题意可知 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 故A错误，B正确； CD．速度变化量的大小为 可知前后两次速度变化量的大小之比为2：1，故CD错误； 故选B。 【变式1】．（22-23高一下·四川泸州·期末）如图所示，足够宽的光滑斜面与水平面的夹角为。小球从O点以水平速度抛出，落地点为P。保持的距离不变，逐渐增大夹角，将小球仍然从O点以相同水平速度抛出。不计一切阻力，增大的过程中，小球落地点与P点的关系正确的是（    ）    A．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变大 B．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变小 C．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变大 D．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变小 【答案】C 【详解】小球在光滑斜面上做类平抛运动，将小球的运动分解为沿初速度方向和沿斜面方向，沿初速度方向，有 沿斜面方向，有 倾角变大，小球下滑的加速度变大，下滑时间变短，所以沿初速度方向的位移变小，落点会在P点的右侧，且落地点离P点的距离在变大。ABD错误，C正确。 故选C。 【变式2】．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长，宽，倾角，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取。则下列说法正确的是（    ） A．小球运动的加速度为 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 【答案】C 【详解】A．依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为 故A错误； B．根据 解得 故B错误； C．根据 b=v0t 有 故C正确； D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误； 故选C。 题型十二：斜抛运动 【例12】．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力。重力加速度g=10m/s2。关于这次投篮，下列说法正确的是（　　） A．篮球出手时的初速度大小为m/s B．篮球在最高点的速度大小为m/s C．篮球运动到最高点时距离地面的高度为2.45m D．篮球从出手到进筐的运动时间为1.4s 【答案】B 【详解】ABD．由题可知，篮球的运动可视为对称的斜抛运动，设初速度大小为，则在竖直方向上，运动总时间 在水平方向上，有 联立，解得 运动时间为 篮球在最高点的速度大小为，故B正确，AD错误； C．篮球上升的高度为 由于篮球从一定高度抛出，则运动到最高点时距离地面的高度应大于，故C错误。 故选B。 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐的距离为9.8m，不考虑空气阻力，g取。则（　　） A．篮球出手的速度大小为7m/s B．篮球投出后运动到最高点时的速度为0 C．篮球在空中运动的时间为1.4s D．篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45m 【答案】C 【详解】AC．由题意可知篮球做斜抛运动，设初速度为v0，根据斜抛运动的对称性可知初速度方向与水平方向的夹角也为，因为竖直方向做的是竖直上抛运动，设篮球在空中运动的时间为，则有 又因为水平方向做的是匀速直线运动，则有 联立解得篮球出手的速度大小为 篮球在空中运动的时间为，故A错误，C正确； B．由斜抛运动规律可知篮球水平方向做匀速直线运动，所以篮球投出后运动到最高点时的速度为，故B错误； D．由分析可知最高点相对投出点的高度为 考虑到运动员的身高，则篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度应大于2.45m，故D错误。 故选C。 【变式2】．（24-25高一下·湖北荆门·期末）2025年12月5日，2025中国足协杯决赛将在苏州奥体中心举行。如图甲所示，一足球运动员在水平草地上练习传高空球。如果他在同一地点O把同一个足球前后两次斜向上踢出，如图乙所示，第一次足球落在草地上的M点，第二次落在草地上的N点，足球两次在空中运动的最大高度相等，且，落地时速度与水平方向的夹角分别为θM、θN，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．足球第二次在空中运动的时间较长 B．足球第二次在空中运动的速度变化量是第一次的2倍 C．足球第二次被踢出时的初速度是第一次的2倍 D．足球两次落地时的速度与水平方向夹角的关系为 【答案】D 【详解】A．设足球运动的最大高度为h，根据 足球在空中运动的时间 解得 足球二次在空中运动的时间相等，A错误； B．足球在空中运动的速度变化量 足球二次在空中运动的时间相等，足球第二次在空中运动的速度变化量是第一次的1倍，B错误； C．足球的水平位移为 ， 解得，C错误； D．根据平抛运动的推论 ， 解得，D正确。 故选D。 题型十三：与平抛运动有关的探究实验 【例13】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在“探究平抛运动的规律”实验中，根据频闪照片得到小球的运动轨迹如图所示。、b、c、d为连续拍照记录下的四个位置。已知坐标纸上每个小正方形的边长，取重力加速度大小。 (1)让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下列操作要求正确的是_______________。 A．调节斜槽末端的切线水平 B．每次释放小球的位置可以不同，但小球必须从静止开始运动 C．记录小球位置用的凹槽每次必须严格地等距离下降 D．应使小球运动时与木板上的方格纸接触，以便于得到小球的运动轨迹 (2)为减小阻力对小球运动的影响，应采用_______________。 A．实心小铁球 B．空心小铁球 C．实心小木球 D．实心橡胶球 (3)根据图中小球的轨迹， （填“可以”或“不可以”）确定点是平抛运动的起点，小球做平抛运动的初速度大小为 。 【答案】(1)A (2)A (3) 可以 【详解】（1）A．为了保证小球始终做平抛运动，必须调节斜槽末端的切线水平，A正确； B．用描点法画小球做平抛运动的轨迹，必须保证小球多次运动的抛物线相同，则每次释放小球的位置必须相同，B错误； C．要画出抛物线轨迹，每次记录小球位置用的凹槽的位置不同即可，不必严格地等距离下降，C错误； D．为了得到小球的运动轨迹，只要记录小球落在凹槽上的位置，然后标在方格纸上即可，小球不能与木板上的方格纸接触，会影响运动轨迹，使实验产生较大误差，D错误。 故选A； （2）为减小阻力对小球运动的影响，应采用体积小质量大的球，比较后，A正确。 故选A； （3）[1]由图可知，竖直方向有，满足初速度为零的匀加速直线运动的比例规律，故可以确定点是平抛运动的起点； [2]竖直方向有 水平方向有 解得。 【变式1】．（24-25高一下·广东茂名·期末）在“探究平抛运动的特点”的实验中，某组同学用如图甲所示装置探究平抛运动的规律。 (1)在该实验中，下列说法正确的是______。 A．斜槽轨道末端切线必须水平 B．斜槽轨道必须光滑 C．将坐标纸上确定的点用直线依次连接 D．小球每次都从斜槽上同一高度由静止释放 (2)通过描点法来研究平抛运动的轨迹，先将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，让钢球多次沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上，并挤压白纸留下一系列痕迹点。 实验中，老师叮嘱让钢球多次从斜槽上滚下，并在白纸上依次记下小球的位置，同学A和同学B的记录纸分别如图乙、丙所示，从图中可以看出同学A的错误最可能是 ，同学B的实验错误最可能是 ；（将正确选项前面的字母填在横线上） A．每次由静止释放小球的位置不同 B．小球与斜槽之间摩擦太大 C．小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度太高 D．斜槽末端不水平 (3)同学C采用频闪数码照相机连续拍摄的方法来获取钢球平抛运动的轨迹，并得到如图丁所示的图片，图片中a、b、c、d是连续四次拍摄的小球所在的位置。 ①方格纸中每个小方格的实际边长为1.6cm，在已探究出竖直方向的运动为自由落体运动的基础上，求得小球做平抛运动的初速度大小为＝ m/s；（重力加速度） ②试分析a点 （填“是”或“不是”）小球的抛出点。 【答案】(1)AD (2) D A (3) 0.8 不是 【详解】（1）A．为了让小球在斜槽末端获得水平方向的速度以保证小球做平抛运动，则斜槽末端必须水平，故A正确； BD．该实验中只要保证小球每次都从斜槽上同一高度由静止释放，则可保证小球每次做平抛运动的初速度相同，不需要斜槽轨道必须光滑，故B错误，D正确； C．由于平抛运动的轨迹为抛物线，因此应该用平滑的曲线将坐标纸上确定的点连接起来，故C错误。 故选AD。 （2）[1][2]A．每次由静止释放小球的位置不同，小球每次从斜槽末端抛出时的速度大小不同，即小球每次运动的抛物线轨迹不同，从而使记录的点迹呈现无规律的情况，会造成丙图中出现的错误； B．小球与斜槽之间摩擦太大对实验无影响，不会出现图乙、丙中的错误； C．小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度太高，从斜槽末端抛出时速度较大，会使记录的点迹所描绘的抛物线开口较大，不会出现图乙、丙中出现的错误； D．斜槽末端不水平，使小球抛出时速度方向不水平，会造成乙图中出现的错误。 故第一个空选D；第二个空选A。 （3）①[1]竖直方向有 可得 则小球做平抛运动的初速度大小为 ②[2]小球在点的竖直分速度为 则小球在点的竖直分速度为 可知点不是小球的抛出点。 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图甲，用小锤轻击弹簧金属片，A球向水平方向飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。 (1)用不同的力击打弹簧金属片，可以观察到_____。 A．A、B两球同时落地 B．A、B两球的运动路线相同 C．A球的运动路线不同，B球的运动路线相同 D．击打的力越大，A、B两球落地时间间隔越大 (2)改变此装置距地面的高度，重复实验，仍然看到相同的实验现象，据此现象分析可知_____。 A．小球A在水平方向做匀速直线运动 B．小球A在水平方向做匀加速直线运动 C．小球B在竖直方向做匀速直线运动 D．小球A、B在竖直方向的运动规律相同 (3)某学生在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记记下小球做平抛运动的起点位置，如图乙所示，他在小球的运动轨迹上选取了三点，并测量了各点间的水平距离和竖直距离，取重力加速度大小，则相邻小球间的运动时间为 ，小球做平抛运动的初速度大小为 m/s。 【答案】(1)AC (2)D (3) 0.1 2 【详解】（1）AD．用小锤轻击弹簧金属片，在同一高度，A球做平抛运动，B球做自由落体运动，由于平抛运动在竖直方向为自由落体运动，因此无论击打的力多大，A、B两球总是同时落地，A正确，D错误； B．A球做曲线运动，B球做直线运动，A、B两球的运动路线不相同，B错误； C．用不同的力击打弹簧金属片时，A球获得的水平初速度不同，则A球的运动路线不同，B球始终是自由落体运动，其运动路线相同，C正确。 故选AC。 （2）A、B两球同时落地，与水平方向的运动规律无关，也不能说明小球A在水平方向做匀速直线运动或做匀加速直线运动，只能说明A、B两球在竖直方向的运动规律相同，即都是自由落体运动；故选D。 （3）[1]小球做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，由匀变速直线运动的推论，可得相邻小球间的运动时间为， [2]小球做平抛运动的初速度大小为。 题型十四：抛体运动的计算 【例13】．（25-26高一上·全国·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【答案】(1)2s (2) (3)40m 【详解】（1）垂直斜面方向， 由 得 （2）垂直斜面方向匀减速至0时有 代入数据得小球离斜面最远的距离。 （3）解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向， 沿斜面方向 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则 代入数据解得 解法2：小球在水平方向做匀速直线运动 由几何关系可得 解得 【变式1】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 【答案】(1)75m (2)1.5s，9m (3) 【详解】（1）从点到点有 解得运动时间 点到点的位移大小 （2）垂直斜面方向速度为零时离斜面最远，有 解得 离斜面最远处的距离 （3）运动员在空中离斜坡最远处的速度 【变式2】．（24-25高一下·浙江丽水·期末）如图所示，虚线AB与水平地面的夹角为37°，P点位于A点正上方离地面高5m的位置，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，质量为m的小球从P点以大小为的初速度抛出，小球可视为质点。 (1)若初速度v0沿水平方向抛出，求： ①小球从P点运动到地面的时间； ②小球落地时的速度。 (2)若初速度v0沿与AB平行的方向斜向上抛出且运动过程中小球始终受到大小、方向水平向右的风力作用，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的D点（图中未标出），求D点到C点的距离。 【答案】(1)①1s；②，与水平成45°斜向右下方 (2)8m 【详解】（1）①小球从P点运动到地面的时间 解得 ②小球落地时速度的竖直分量 小球落地时的速度 小球落地时速度方向 解得 方向与水平成45°斜向右下方 （2）小球所受合力为 合力与水平方向的夹角 解得 合力方向与v0垂直，该运动过程可视为类平抛运动 类平抛运动的时间 解得 D点到C点的距离 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）关于平抛运动的物体，下列说法中正确的是（　　） A．平抛运动是加速度不变的曲线运动 B．水平方向上的分运动是匀加速直线运动 C．初速度大的物体一定比初速度小的物体射程远 D．平抛运动飞行的时间由初速度和竖直高度共同决定 【答案】A 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度，大小和方向均不变，且轨迹为曲线，故A正确； B．水平方向不受力，分运动为匀速直线运动，故B错误； C．水平射程，若高度不同，初速度大的物体射程未必更远，故C错误； D．飞行时间，仅由竖直高度决定，与初速度无关，故D错误。 故选A。 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 【答案】D 【详解】A．当B匀速上升时，B的受力平衡，绳上拉力等于B的重力，所以绳对A的拉力大小也是B的重力，保持不变，故A错误； B．绳对A的拉力随着与水平面的夹角变小，竖直方向的分力减小， 所以支持力在增大，A对地面的压力也在增大，故B错误； CD．根据绳的关联速度公式，有 即，由于B匀速运动且角度逐渐减小，减小，A在向左做减速运动，故C错误，D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，某运动员在跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员落在斜面时的速度方向都不相同 B．运动员在空中运动的时间与初速度成正比 C．运动员在空中运动过程中的速度变化率增大 D．运动员落在斜面时的速度与滑出的速度成正比 【答案】A 【详解】A．设为落在斜面时速度方向与水平方向的夹角，为落在斜面时位移方向与水平方向的夹角，根据平抛运动推论可得 由于落在斜面不同位置时，不同，所以不同，即运动员落在斜面时的速度方向都不相同，A正确； B．设运动员离开点时速度为，在空中运动时间为，跳台边缘距离斜面顶端的高度为，落到斜面上时水平位移为，竖直下落高度为，斜坡的倾角为，由平抛运动规律可知运动员滑出速度越大，下落的高度越高，在空中运动时间越长，根据几何关系可得 可知运动员在空中运动的时间与初速度不成正比，B错误； C．运动员做平抛运动，运动员在空中运动过程中的速度变化率，即速度变化量与所用时间的比值 可知速度变化率保持不变，C错误； D．运动员落在斜面时的速度 与滑出时的速度不成正比，D错误。 故选A。 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是（    ） A．a、b两球同时落地 B．a、b两球落地时速度相同 C．a、b两球在P点相遇 D．a球运动时间大于b球运动时间 【答案】D 【详解】ACD．a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，竖直分运动为自由落体运动，故落地前任意时刻高度不同，不可能相遇，b球的高度较小，根据可知b球运动时间较短，一定先落地，AC错误，D正确； B．由于两球的初速度大小未知，则无法比较两球落地的速度大小，B错误； 故选D。 5．（24-25高一下·贵州毕节·期末）一小球从距离水平地面5m高处以一定的初速度水平抛出，小球落地前瞬间速度方向与水平方向的夹角为45°。不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，则小球抛出时的初速度大小为（　　） A． B．10m/s C． D．20m/s 【答案】B 【详解】小球做平抛运动，落地时速度方向与水平方向夹角为45°，因为 故 竖直方向为自由落体运动，由 得 因此水平初速度 故选B。 6．（24-25高一下·河南濮阳·期末）风洞实验室，是以人工的方式产生并且控制气流，用来模拟飞行器或实体周围气体的流动情况，并可量度气流对实体的作用效果以及观察物理现象的一种实验设备，它是进行空气动力实验最常用、最有效的工具之一。如图1所示，虚线下方为风洞区域，将一质量为的金属小球从距风洞处以初速度水平抛出，小球进入风洞后风洞能提供恒定的水平力（可调节大小），重力加速度取，不计空气阻力。小球进入风洞后出现三种轨迹如图2、3、4所示，则关于小球运动轨迹及风洞提供的水平力，下列说法正确的是（　　） A．图2中水平力 B．图2中小球运动轨迹与水平面的夹角为 C．图3中水平力 D．图4中小球最终轨迹有可能与水平方向平行 【答案】B 【详解】AB．金属小球从距风洞处以初速度水平抛出，运动时间为 解得时间为，竖直速度，解得 速度与水平方向夹角 即速度与水平面的夹角为 图2中小球的轨迹为直线，说明其合力沿速度方向，即水平力，运动轨迹与水平面的夹角为，故A错误，故B正确； C．图3中运动轨迹说明合力与水平方向夹角超过，即水平力，故C错误； D．小球最终轨迹不可能与水平方向平行，因为小球始终有竖直分速度，故D错误； 故选B。 7．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。船在静水中的速度大小为4m/s，河流宽度为80m，水流速度大小为5m/s。下列说法正确的是（　　） A．本次渡河的合速度大小为3m/s B．本次渡河的时间为20s C．本次渡河的位移大小为80m D．B点位于A点河对岸下游60m 【答案】B 【详解】A．由题意，可得小船合速度大小为，故A错误； B．船头始终垂直于河岸，渡河时间为，故B正确； D．B点位置位于A点河对岸下游处，故D错误； C．小船到达A点对岸下游，位移大小为，故C错误； 故选B。 8．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（　　） A．两个小球可能同时抛出 B．两个小球抛出的初速度大小可能相等 C．两个小球抛出的时间间隔为 D．两个小球抛出的初速度大小之比 【答案】C 【详解】AC．两个小球抛出的时间间隔为 ，， 解得，A错误，C正确； BD．根据平抛运动规律得 ， 解得 两个小球抛出的初速度大小之比 ，BD错误。 故选C。 9．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图所示，两个等高、倾角分别为37°和53°的斜面紧靠在水平地面上，从斜面的顶端同时将小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，sin37°=cos53°=0.6，则小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16 【答案】D 【详解】根据 解得 小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为 故选D。 二、多选题 10．（24-25高一下·天津滨海新·期末）关于平抛运动的叙述，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是一种变加速曲线运动 B．平抛运动的速度方向与竖直方向的夹角保持不变 C．平抛运动的速度大小是时刻变化的 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 【答案】CD 【详解】A．做平抛运动的物体只受重力作用，加速度不变，是一种匀变速曲线运动，故A错误； C．平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由 可知合速度大小是时刻变化的，故C正确； BD.平抛运动的速度方向与竖直方向的加速度方向的夹角满足 因t一直增大，所以变小，即越来越小，故D正确，B错误。 故选CD。 11．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在M点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】BD 【详解】AB．竖直方向根据，由于，可得运动时间关系为，由于鸟食同时到达M、N两点，则在M点接到的鸟食后抛出，故A错误，B正确； CD．如图所示 当下落相同高度时，由可知运动时间相同，由图可知对应的，根据可得，抛出的初速度关系为，故C错误，D正确。 故选BD。 12．（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 【答案】AD 【详解】AB．由运动的合成和分解可得 A匀速向左运动过程中θ变小，vB增大，因此A匀速运动时，B加速上升，选项A正确，B错误； CD．根据 可得 可知当时，A与B的速度大小之比为，选项D正确，C错误。 故选AD。 13．（24-25高一下·广东东莞·期末）某地中学生在研学中体验水稻播种活动，用手抛撒谷粒进行水稻播种。如图所示为某次抛出的两颗谷粒的运动轨迹图，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两颗谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．加速度大小相等 B．从O到P的运动时间相等 C．在水平方向都做匀速直线运动 D．在竖直方向都做自由落体运动 【答案】AC 【详解】A．谷粒在空中只受重力作用，则加速度大小都相等，均为g，选项A正确； B．因谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜上抛运动，可知谷粒2从O到P的运动时间较长，选项B错误； C．谷粒在水平方向都做匀速直线运动，选项C正确； D．谷粒1在竖直方向都做自由落体运动，谷粒2竖直方向有向上的初速度，不是自由落体运动，选项D错误。 故选AC。 14．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为120kg的货物在x方向的位移一时间图像和y方向的速度一时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．货物在x方向的分速度的大小为3m/s B．t＝2s时，货物的合速度的大小为7m/s C．前2s时间内，货物在y方向的分位移的大小为4m D．货物所受的合力大小为230N 【答案】AC 【详解】A．根据位移一时间图像，可知斜率代表水平方向的速度，即水平速度为，故A正确； B．t＝2s时，货物的水平速度为，竖直速度为，故货物的合速度的大小为，故B错误； C．根据速度一时间关系图像，可知斜率代表竖直方向的加速度，即 前2s时间内，根据运动学公式，货物在y方向的分位移的大小为，故C正确； D．货物的加速度也就是竖直方向的加速度，所以货物所受的合力大小为 解得，故D错误。 故选AC。 15．（24-25高一下·河北邢台·期末）将一质量为的小球1从点以与水平方向成角的方向斜向右上方抛出，抛出时的速度大小为，小球1运动到点，、、在同一水平线上时，从点由静止释放小球2，两小球均视为质点，重力加速度大小为，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．小球1从点运动到点的时间为 B．小球1从点运动到点的时间为 C．两小球在空中运动的时间不可能相等 D．两小球在空中运动的时间可能相等 【答案】BC 【详解】AB．把小球1在点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有， 小球1从点运动到点的时间，选项A错误，B正确； CD．小球1在空中运动时距水平地面的最大高度大于点到水平地面的高度，由，可知两小球在空中运动的时间不可能相等，选项C正确，D错误。 故选BC。 三、实验题 16．（24-25高一下·云南德宏·期末）图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置图。 (1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线水平。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛 。 (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则小球平抛的初速度为 。（g取） (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每格的边长，通过实验记录小球运动途中的三个位置，如图丙，则该球在B点的竖直分速度为 。（g取） 【答案】(1)初速度相同 (2)1.6 (3)2 【详解】（1）实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线水平。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了确保小球每次平抛运动的初速度相同。 （2）O为抛出点，根据平抛运动的规律有， 解得 将坐标（44.1cm，48.0cm）代入解得 （3）水平方向，相邻点迹之间的间距均为3L，表明相邻点迹之间的时间间隔相等，则有 解得 由于匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则该球在B点的竖直分速度 解得 17．（24-25高一下·山东青岛·期末）为探究平抛运动水平方向的运动规律，某同学设计了如图甲所示的实验装置，小球从斜面上滚下，沿桌面飞出后做平抛运动。在小球抛出后经过的地方，水平放置一木板，在木板上放一张白纸，白纸上放有复写纸。为了方便记录小球落点位置，该同学还在桌子边缘设置了一个竖直标尺，零刻度与水平桌面对齐；在木板的边缘设置了一个水平标尺，零刻度与桌面的竖直边缘对齐，不断调节木板高度，借助标尺记录小球落点的坐标，并绘制了如图乙所示的图像。 (1)为完成该实验，下列做法必要的是______ A．斜面必须光滑 B．斜面的末端必须与桌面的右边缘重合 C．必须从同一位置释放小球 D．应选用密度大体积小的小球 (2)由图乙可知小球水平方向做匀速直线运动，已知重力加速度，可计算出小球做平抛运动的初速度 ； (3)图乙中点明显偏离“直线”，造成这一偏差可能的原因是______ A．小球释放的位置偏高 B．小球释放的位置偏低 C．水平标尺零刻度较桌子边缘偏右 D．水平标尺零刻度较桌子边缘偏左 (4)该同学进一步研究发现，若图甲中的，则和满足 关系时，也可以验证小球水平方向做匀速直线运动。 【答案】(1)CD (2)1 (3)BC (4) 【详解】（1）A．小球从斜面滑下后在水平面运动，从水平桌面边缘水平抛出，不需要斜面和桌面光滑，故A错误； B．小球离开桌面做平抛运动即可，不需要斜面的末端必须与桌面的右边缘重合，故B错误； C．要使每次从桌子边缘抛出的初速度相同，必须保证小球每次均从斜面上的同一位置静止释放，故C正确； D．为了减少阻力的影响，要选用密度大体积小的小球，故D正确。 故选CD。 （2）平抛运动竖直方向 水平方向 消除t可得整理可得 图像的斜率为 解得 （3）由图可知P点的斜率明显偏小，根据 分析可知可能的原因为小球释放的位置较“同一位置”偏低，导致初速度较小，或水平标尺零刻度较桌子边缘偏右导致水平位移的测量值偏小，故选BC。 （4）小球在竖直方向做出速度为零的匀加速直线运动，若图甲中的，根据推论可知两端时间相等，若，根据 可知小球水平方向做匀速直线运动。 四、解答题 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球水平抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度，，，求： (1)从抛出到落在斜坡上的时间； (2)抛点到落点之间的距离； (3)落到斜坡上时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，水平方向夹角的正切值为 【详解】（1）小球运动的位移与水平方向夹角为，由平抛运动知识，则有 解得 （2）小球的水平位移大小 抛点到落点之间的距离 解得 （3）落到斜坡上时的速度 代入数据可得 与水平方向夹角的正切值 19．（24-25高一下·江西萍乡·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从C点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上D点着陆。已知运动员从C点运动到D点所用的时间为3s，运动员可视为质点，山坡可看成倾角为θ=30°的斜面，不计空气阻力。取重力加速度g=10m/s2，求（结果可保留根号）： (1)运动员落到D点时的速度大小； (2)运动员从C点开始运动到离斜面最远处的时间和离斜面最远处的速度大小 【答案】(1) (2)1.5s， 【详解】（1）C、D间的竖直高度 C、D间的距离水平距离 运动员从C点运动到D点，水平方向做匀速直线运动，设C点时的速度为v0，则有 解得 运动员落到D点时竖直方向的速度大小 则运动员落到D点时的速度大小 （2）当运动员的速度方向与斜面平行时离斜面最远，此时有 解得 此时速度 20．（24-25高一下·浙江宁波·期末）工人用如图所示的定滑轮装置运送铁箱。工人水平向左运动，通过定滑轮将静止在地面上的铁箱拉起。从时刻开始，保持铁箱以的加速度竖直向上加速提升，工人拉绳方向与水平方向角度记为。空气阻力、滑轮摩擦，细绳质量均不计，工人可视为质点，求工人在提升铁箱过程中（，，）： (1)绳子对铁箱的拉力大小； (2)若时，手拉绳方向与水平方向，求此时工人的速度大小； (3)若定滑轮足够高，时工人手滑，完全松开拉绳，求物块在空中运动的总时间。 【答案】(1)300N (2) (3) 【详解】（1）对物体受力分析，做匀加速运动时有 可得 （2）2s末物体的速度为 人运动速度沿绳方向分量与物体相同， 解得 （3）时刻，物体上升的高度 松手后，物体做竖直上抛， 解得时间，或（舍去） 故空中的总时间为 21．（24-25高一下·广东韶关·期末）如图，某链球运动员在一次链球训练时，两手握着链球上铁链的把手，人带动链球旋转，最后用力将球甩出去，测得落点到抛出点的距离为，通过训练录像测得链球离地的最大高度为，（忽略空气阻力，不计链球抛出时离地高度，重力加速度取），求： (1)链球在空中的运动时间； (2)链球在最高点的速度大小； (3)链球脱手前瞬间速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）斜抛运动竖直方向做匀变速直线运动，水平方向做匀速运动，根据 解得 在空中运动的总时间 （2）水平方向做匀速运动 解得 （3）根据 脱手前瞬时速度大小 22．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，某人（可视为质点）距离平台右端处起跑，以恒定的加速度向平台的右端冲去，人离开平台时的速度，离开平台后恰好落在地面上的小车车厢底板中心。设平台右端与车厢底板间的竖直高度，取。不计空气阻力，求： (1)平台边缘与车厢底板中心的水平距离； (2)人在平台上运动的加速度大小； (3)人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，人离开平台后的运动时间 故平台边缘与车厢底板中心的水平距离 （2）根据匀变速直线运动规律 可得人在平台上运动的加速度大小 （3）根据题意可知，人在平台上运动的时间 人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：抛体运动 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01：曲线运动的条件和特征 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： 知识点02　运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动． (2)运动的分解：已知合运动求分运动． 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法． 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 5．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线． 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零 的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点03小船渡河模型 两类问题，三种情景 渡河 时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河 位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ 知识点04：关联速度问题 1．题型特点：与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 知识点05 平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy. 知识点06　与斜面或圆弧面有关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 知识点07 斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 【题型过关】 题型一：曲线运动认识 【例1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）关于曲线运动，有下列说法，其中正确的是（    ） A．曲线运动一定是匀速运动 B．曲线运动一定是变速运动 C．在变力作用下，物体一定做曲线运动 D．在恒力作用下，物体不可以做曲线运动 【变式1】．（2025高一下·全国·专题练习）下列情景中，物体一定做曲线运动的是（　　） A．物体以恒定速率在水平面上运动 B．物体初速度方向水平向右，所受合外力方向竖直向下 C．物体初速度为零，所受合外力方向始终不变 D．物体所受合外力方向与速度方向始终在同一直线上 【变式2】．（2025高一下·全国·专题练习）关于曲线运动的速度方向与运动条件，下列说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，速度方向一定与所受合外力方向相同 B．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动 C．曲线运动中物体在某点的速度方向，就是该点轨迹的切线方向 D．只要物体所受合外力不为零，就一定做曲线运动 题型二：运动的合成与分解 【例2】．（2025高一下·全国·专题练习）关于合运动与分运动的性质，下列说法正确的是（     ） A．若两个分运动均为匀速直线运动，则合运动一定是匀速直线运动 B．若一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动 C．若两个分运动均为匀变速直线运动，则合运动一定是匀变速直线运动 D．合运动的速度大小一定大于任意一个分运动的速度大小 【变式1】．（24-25高一下·广东惠州·期末）跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 【变式2】．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）2025年春季，芜湖响水涧万亩油菜花海竞相绽放，万亩油菜花海吸引无数游人纷至沓来，成为春日芜湖最红打卡地之一。某摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将无人机拍摄的飞行过程转化为如图所示的图像，无人机仅在xoy平面上运动，t=0时，无人机位于y轴上。则下列说法正确的是（    ） A．从t=0时刻开始无人机做匀变速直线运动 B．t=0.5s时，无人机所受的合力为4N C．t=1.0s时，无人机的位置坐标为（5m，5m） D．t=2.0s时，无人机的速度大小是10m/s 题型三：小船渡河问题 【例3】．（24-25高一下·安徽宣城·期末）某人划船让小船船头始终垂直河岸渡河，河的两岸平行，河宽为150m，船在静水中的速度保持不变。河中各点的水流速度大小与到较近河岸的距离d成正比，其比例系数。则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河的时间是75s B．小船运动的轨迹是直线 C．小船渡河的过程中最大速度是2.5m/s D．小船渡河的过程中，行驶的位移为250m 【变式1】．（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是 B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是 【变式2】．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点。两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点。经过一段时间乙船恰好到达P点。如果两船的划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断错误的是（　　） A．甲船一定不能到达对岸P点 B．两船渡河时间一定相等 C．两船一定相遇在NP连线上 D．渡河过程中两船不会相遇 题型四：绳拉和杆拉物体模型 【例4】．（24-25高一下·河南开封·期末）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，货车前进了一小段距离，货物被提升高度为h时，如图所示，在此过程中下列说法正确的是（　　） A．物体做匀速直线运动 B．此时货箱向上运动的速率等于 C．此过程中货物和货箱处于超重状态 D．提升货物过程中缆绳拉力做的功为 【变式1】．（24-25高一下·浙江温州·期末）建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力小于货物的重力 【变式2】．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图所示，套在竖直细杆上的轻环由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物相连，施加外力让沿杆以速度匀速上升，从图中位置上升至与定滑轮的连线处于水平的位置，已知与竖直杆成角，则（    ） A．刚开始时的速度大小为 B．A匀速上升时，重物B也匀速下降 C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于的重力 D．运动到位置时，的速度大小不为0 题型五：平抛运动规律 【例5】．（24-25高一下·湖南郴州·期末）冬奥会跳台滑雪比赛简化模型如图所示，运动员穿着专用滑雪板，在助滑道上获得高速后从坡顶点以速度水平飞出，在空中飞行一段距离后恰好在坡底点着陆。已知之间的高度差为，与水平面夹角为37°，不计空气阻力，，，，下列选项正确的是（　　） A．运动员在空中飞行的时间 B．运动员在空中飞行的时间 C．运动员的初速度 D．运动员的初速度 【变式1】．（24-25高一下·辽宁·期末）在法网公开赛的关键分时刻，郑钦文将网球（可视为质点）以水平的初速度从距地面2.45m的高度强力击出。若忽略空气阻力，取重力加速度，关于这记精彩发球，下列说法正确的是（    ） A．网球在空中运动的时间约为0.75s B．这记发球使网球落在距离发球点27m处 C．网球落地时竖直方向速度大小为 D．网球落地瞬间速度方向与水平方向夹角的正切值为 【变式2】．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）某次飞镖比赛中，选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离L=2.4m，靶心距离飞镖出手点竖直方向的距离h=0.2m。设飞镖每次出手都以水平方向扔出，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。若掷出的飞镖恰好可以命中靶心，求： (1)飞镖的飞行时间； (2)飞镖的出手速度大小； (3)飞镖扎在靶上时的速度方向与竖直方向夹角的正切值。 题型六：平抛运动推论 【例6】．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一下·广西北海·期末）如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒被水平抛出的运动轨迹如图乙所示，O为抛出点，Q、P为轨迹上两点，且谷粒在OQ间与QP间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．谷粒在P点时的速度大小是在Q点速度大小的2倍 B．谷粒在OQ间竖直方向的位移大小与QP间竖直方向的位移大小相等 C．谷粒在P点时速度与水平方向间的夹角是在Q点时速度与水平方向间夹角的2倍 D．谷粒在P点时重力的瞬时功率是在Q点时重力的瞬时功率的2倍 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）如图，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端点水平抛出，分别落到斜面上的两点，，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为 B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同 C．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为 D．甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同 题型七：飞机投弹问题 【例7】．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某次大学生飞行器空投比赛中，一飞行器在离地面高7.2m的空中以9m/s的速度匀速直线飞行。某时刻，飞行器无动力释放一沙袋，沙袋飞出后恰好击中地面上的目标。沙袋可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．沙袋释放后经0.72s落地 B．沙袋的释放位置与目标的水平距离为9m C．沙袋击中目标时的速度大小为15m/s D．若仅减小飞行速度，沙袋释放后在空中的飞行时间变长 【变式1】．（23-24高一上·湖北荆州·期末）一架无人机以 2m/s的速度在5m 的高空水平飞行，从无人机上每隔 0.5s 释放一个小球，先后共释放四个完全相同的小球。 若不计空气阻力，重力加速度取 下列说法正确的是（　　） A．第二个小球和第四个小球的下落所用时间均为 1s B．第三个小球落地时的速度大小为 10 m/s C．第一个小球落地点与第四个小球的落地点间距为 4m D．第一个小球和第二个小球在空中的任何时刻都不在同一竖直线上 【变式2】．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图所示为某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机悬停在距水平地面的高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，5s时释放一个小球。空气阻力忽略不计，g取。下列说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间为2s B．小球落地时的速度大小为 C．小球落地点与释放点之间的水平距离为8m D．小球落地时与无人机之间的水平距离为10m 题型八：斜面上的平抛运动 【例8】．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，忽略空气阻力，则（　　） A．两次小球落到斜面时的速度方向不相同 B．两次小球运动的时间之比为1:2 C．两次小球抛出时的初速度之比为1:2 D．两次小球落到斜面时的动能之比为1:2 【变式1】．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台A处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡B处着陆。测得A、B间距离为40m，斜坡与水平方向间夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离A越远 B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为20m/s 【变式2】．（24-25高一下·河北保定·期末）地面上固定一倾角为37°的斜面，从斜面上某点A水平抛出可视为质点的小球，初速度大小为2m/s，小球落在斜面上B点（未画出）。已知重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到B所用时间为0.2s B．0.1s时小球的速度大小为3m/s C．A、B间的距离为0.75m D．落到斜面时，小球的速度与水平方向夹角为74° 题型九：曲面上的平抛运动 【例9】．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（　　）    A．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上 B．改变初速度的大小，b球可能垂直撞在在斜面上 C．改变初速度的大小，a球可能垂直撞在在半圆轨道上 D．改变初速度的大小，b球速度方向和斜面的夹角保持不变 【变式1】．（22-23高一下·安徽六安·期末）如图，可视为质点的小球，位于半径为m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则物体初速度为（不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2）（　　）    A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 题型十：平抛运动追及及相遇问题 【例10】．（23-24高一上·江苏·期末）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。关于这段过程，下列说法中正确的是（　　）    A．两球的速度变化不同 B．相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45° C．两球的相遇点在N点上方处 D．M、N间的距离为2h 【变式1】．（22-23高一下·新疆塔城·月考）在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向水平抛出两小球A和B其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．相遇时B球竖直分速度较大 B．相遇时A球速度与水平方向夹角较大 C．应该同时抛出两小球 D．相遇时A球的速度与B球的速度大小相等 【变式2】．（21-22高一下·湖南·期末）如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 C．乙同学抛出的篮球初速度一定大 D．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 题型十一：类平抛运动 【例11】．（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示的光滑固定斜面，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点以初速度水平射入，恰好沿底端点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点以初速度水平射入，发现物块沿边中点离开斜面．已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 C．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 【变式1】．（22-23高一下·四川泸州·期末）如图所示，足够宽的光滑斜面与水平面的夹角为。小球从O点以水平速度抛出，落地点为P。保持的距离不变，逐渐增大夹角，将小球仍然从O点以相同水平速度抛出。不计一切阻力，增大的过程中，小球落地点与P点的关系正确的是（    ）    A．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变大 B．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变小 C．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变大 D．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变小 【变式2】．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长，宽，倾角，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取。则下列说法正确的是（    ） A．小球运动的加速度为 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 题型十二：斜抛运动 【例12】．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力。重力加速度g=10m/s2。关于这次投篮，下列说法正确的是（　　） A．篮球出手时的初速度大小为m/s B．篮球在最高点的速度大小为m/s C．篮球运动到最高点时距离地面的高度为2.45m D．篮球从出手到进筐的运动时间为1.4s 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐的距离为9.8m，不考虑空气阻力，g取。则（　　） A．篮球出手的速度大小为7m/s B．篮球投出后运动到最高点时的速度为0 C．篮球在空中运动的时间为1.4s D．篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45m 【变式2】．（24-25高一下·湖北荆门·期末）2025年12月5日，2025中国足协杯决赛将在苏州奥体中心举行。如图甲所示，一足球运动员在水平草地上练习传高空球。如果他在同一地点O把同一个足球前后两次斜向上踢出，如图乙所示，第一次足球落在草地上的M点，第二次落在草地上的N点，足球两次在空中运动的最大高度相等，且，落地时速度与水平方向的夹角分别为θM、θN，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．足球第二次在空中运动的时间较长 B．足球第二次在空中运动的速度变化量是第一次的2倍 C．足球第二次被踢出时的初速度是第一次的2倍 D．足球两次落地时的速度与水平方向夹角的关系为 题型十三：与平抛运动有关的探究实验 【例13】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在“探究平抛运动的规律”实验中，根据频闪照片得到小球的运动轨迹如图所示。、b、c、d为连续拍照记录下的四个位置。已知坐标纸上每个小正方形的边长，取重力加速度大小。 (1)让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下列操作要求正确的是_______________。 A．调节斜槽末端的切线水平 B．每次释放小球的位置可以不同，但小球必须从静止开始运动 C．记录小球位置用的凹槽每次必须严格地等距离下降 D．应使小球运动时与木板上的方格纸接触，以便于得到小球的运动轨迹 (2)为减小阻力对小球运动的影响，应采用_______________。 A．实心小铁球 B．空心小铁球 C．实心小木球 D．实心橡胶球 (3)根据图中小球的轨迹， （填“可以”或“不可以”）确定点是平抛运动的起点，小球做平抛运动的初速度大小为 。 【变式1】．（24-25高一下·广东茂名·期末）在“探究平抛运动的特点”的实验中，某组同学用如图甲所示装置探究平抛运动的规律。 (1)在该实验中，下列说法正确的是______。 A．斜槽轨道末端切线必须水平 B．斜槽轨道必须光滑 C．将坐标纸上确定的点用直线依次连接 D．小球每次都从斜槽上同一高度由静止释放 (2)通过描点法来研究平抛运动的轨迹，先将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，让钢球多次沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上，并挤压白纸留下一系列痕迹点。 实验中，老师叮嘱让钢球多次从斜槽上滚下，并在白纸上依次记下小球的位置，同学A和同学B的记录纸分别如图乙、丙所示，从图中可以看出同学A的错误最可能是 ，同学B的实验错误最可能是 ；（将正确选项前面的字母填在横线上） A．每次由静止释放小球的位置不同 B．小球与斜槽之间摩擦太大 C．小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度太高 D．斜槽末端不水平 (3)同学C采用频闪数码照相机连续拍摄的方法来获取钢球平抛运动的轨迹，并得到如图丁所示的图片，图片中a、b、c、d是连续四次拍摄的小球所在的位置。 ①方格纸中每个小方格的实际边长为1.6cm，在已探究出竖直方向的运动为自由落体运动的基础上，求得小球做平抛运动的初速度大小为＝ m/s；（重力加速度） ②试分析a点 （填“是”或“不是”）小球的抛出点。 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图甲，用小锤轻击弹簧金属片，A球向水平方向飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。 (1)用不同的力击打弹簧金属片，可以观察到_____。 A．A、B两球同时落地 B．A、B两球的运动路线相同 C．A球的运动路线不同，B球的运动路线相同 D．击打的力越大，A、B两球落地时间间隔越大 (2)改变此装置距地面的高度，重复实验，仍然看到相同的实验现象，据此现象分析可知_____。 A．小球A在水平方向做匀速直线运动 B．小球A在水平方向做匀加速直线运动 C．小球B在竖直方向做匀速直线运动 D．小球A、B在竖直方向的运动规律相同 (3)某学生在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记记下小球做平抛运动的起点位置，如图乙所示，他在小球的运动轨迹上选取了三点，并测量了各点间的水平距离和竖直距离，取重力加速度大小，则相邻小球间的运动时间为 ，小球做平抛运动的初速度大小为 m/s。 题型十四：抛体运动的计算 【例13】．（25-26高一上·全国·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【变式1】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 【变式2】．（24-25高一下·浙江丽水·期末）如图所示，虚线AB与水平地面的夹角为37°，P点位于A点正上方离地面高5m的位置，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，质量为m的小球从P点以大小为的初速度抛出，小球可视为质点。 (1)若初速度v0沿水平方向抛出，求： ①小球从P点运动到地面的时间； ②小球落地时的速度。 (2)若初速度v0沿与AB平行的方向斜向上抛出且运动过程中小球始终受到大小、方向水平向右的风力作用，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的D点（图中未标出），求D点到C点的距离。 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）关于平抛运动的物体，下列说法中正确的是（　　） A．平抛运动是加速度不变的曲线运动 B．水平方向上的分运动是匀加速直线运动 C．初速度大的物体一定比初速度小的物体射程远 D．平抛运动飞行的时间由初速度和竖直高度共同决定 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（　　） A．绳对A的拉力增大 B．A对地面的压力变小 C．A在向左加速移动 D．A在向左减速移动 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，某运动员在跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员落在斜面时的速度方向都不相同 B．运动员在空中运动的时间与初速度成正比 C．运动员在空中运动过程中的速度变化率增大 D．运动员落在斜面时的速度与滑出的速度成正比 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是（    ） A．a、b两球同时落地 B．a、b两球落地时速度相同 C．a、b两球在P点相遇 D．a球运动时间大于b球运动时间 5．（24-25高一下·贵州毕节·期末）一小球从距离水平地面5m高处以一定的初速度水平抛出，小球落地前瞬间速度方向与水平方向的夹角为45°。不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，则小球抛出时的初速度大小为（　　） A． B．10m/s C． D．20m/s 6．（24-25高一下·河南濮阳·期末）风洞实验室，是以人工的方式产生并且控制气流，用来模拟飞行器或实体周围气体的流动情况，并可量度气流对实体的作用效果以及观察物理现象的一种实验设备，它是进行空气动力实验最常用、最有效的工具之一。如图1所示，虚线下方为风洞区域，将一质量为的金属小球从距风洞处以初速度水平抛出，小球进入风洞后风洞能提供恒定的水平力（可调节大小），重力加速度取，不计空气阻力。小球进入风洞后出现三种轨迹如图2、3、4所示，则关于小球运动轨迹及风洞提供的水平力，下列说法正确的是（　　） A．图2中水平力 B．图2中小球运动轨迹与水平面的夹角为 C．图3中水平力 D．图4中小球最终轨迹有可能与水平方向平行 7．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。船在静水中的速度大小为4m/s，河流宽度为80m，水流速度大小为5m/s。下列说法正确的是（　　） A．本次渡河的合速度大小为3m/s B．本次渡河的时间为20s C．本次渡河的位移大小为80m D．B点位于A点河对岸下游60m 8．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（　　） A．两个小球可能同时抛出 B．两个小球抛出的初速度大小可能相等 C．两个小球抛出的时间间隔为 D．两个小球抛出的初速度大小之比 9．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图所示，两个等高、倾角分别为37°和53°的斜面紧靠在水平地面上，从斜面的顶端同时将小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，sin37°=cos53°=0.6，则小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16 二、多选题 10．（24-25高一下·天津滨海新·期末）关于平抛运动的叙述，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是一种变加速曲线运动 B．平抛运动的速度方向与竖直方向的夹角保持不变 C．平抛运动的速度大小是时刻变化的 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 11．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在M点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 12．（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 13．（24-25高一下·广东东莞·期末）某地中学生在研学中体验水稻播种活动，用手抛撒谷粒进行水稻播种。如图所示为某次抛出的两颗谷粒的运动轨迹图，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两颗谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．加速度大小相等 B．从O到P的运动时间相等 C．在水平方向都做匀速直线运动 D．在竖直方向都做自由落体运动 14．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为120kg的货物在x方向的位移一时间图像和y方向的速度一时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．货物在x方向的分速度的大小为3m/s B．t＝2s时，货物的合速度的大小为7m/s C．前2s时间内，货物在y方向的分位移的大小为4m D．货物所受的合力大小为230N 15．（24-25高一下·河北邢台·期末）将一质量为的小球1从点以与水平方向成角的方向斜向右上方抛出，抛出时的速度大小为，小球1运动到点，、、在同一水平线上时，从点由静止释放小球2，两小球均视为质点，重力加速度大小为，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．小球1从点运动到点的时间为 B．小球1从点运动到点的时间为 C．两小球在空中运动的时间不可能相等 D．两小球在空中运动的时间可能相等 三、实验题 16．（24-25高一下·云南德宏·期末）图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置图。 (1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线水平。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛 。 (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则小球平抛的初速度为 。（g取） (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每格的边长，通过实验记录小球运动途中的三个位置，如图丙，则该球在B点的竖直分速度为 。（g取） 17．（24-25高一下·山东青岛·期末）为探究平抛运动水平方向的运动规律，某同学设计了如图甲所示的实验装置，小球从斜面上滚下，沿桌面飞出后做平抛运动。在小球抛出后经过的地方，水平放置一木板，在木板上放一张白纸，白纸上放有复写纸。为了方便记录小球落点位置，该同学还在桌子边缘设置了一个竖直标尺，零刻度与水平桌面对齐；在木板的边缘设置了一个水平标尺，零刻度与桌面的竖直边缘对齐，不断调节木板高度，借助标尺记录小球落点的坐标，并绘制了如图乙所示的图像。 (1)为完成该实验，下列做法必要的是______ A．斜面必须光滑 B．斜面的末端必须与桌面的右边缘重合 C．必须从同一位置释放小球 D．应选用密度大体积小的小球 (2)由图乙可知小球水平方向做匀速直线运动，已知重力加速度，可计算出小球做平抛运动的初速度 ； (3)图乙中点明显偏离“直线”，造成这一偏差可能的原因是______ A．小球释放的位置偏高 B．小球释放的位置偏低 C．水平标尺零刻度较桌子边缘偏右 D．水平标尺零刻度较桌子边缘偏左 (4)该同学进一步研究发现，若图甲中的，则和满足 关系时，也可以验证小球水平方向做匀速直线运动。 四、解答题 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球水平抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度，，，求： (1)从抛出到落在斜坡上的时间； (2)抛点到落点之间的距离； (3)落到斜坡上时的速度。 19．（24-25高一下·江西萍乡·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从C点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上D点着陆。已知运动员从C点运动到D点所用的时间为3s，运动员可视为质点，山坡可看成倾角为θ=30°的斜面，不计空气阻力。取重力加速度g=10m/s2，求（结果可保留根号）： (1)运动员落到D点时的速度大小； (2)运动员从C点开始运动到离斜面最远处的时间和离斜面最远处的速度大小 20．（24-25高一下·浙江宁波·期末）工人用如图所示的定滑轮装置运送铁箱。工人水平向左运动，通过定滑轮将静止在地面上的铁箱拉起。从时刻开始，保持铁箱以的加速度竖直向上加速提升，工人拉绳方向与水平方向角度记为。空气阻力、滑轮摩擦，细绳质量均不计，工人可视为质点，求工人在提升铁箱过程中（，，）： (1)绳子对铁箱的拉力大小； (2)若时，手拉绳方向与水平方向，求此时工人的速度大小； (3)若定滑轮足够高，时工人手滑，完全松开拉绳，求物块在空中运动的总时间。 21．（24-25高一下·广东韶关·期末）如图，某链球运动员在一次链球训练时，两手握着链球上铁链的把手，人带动链球旋转，最后用力将球甩出去，测得落点到抛出点的距离为，通过训练录像测得链球离地的最大高度为，（忽略空气阻力，不计链球抛出时离地高度，重力加速度取），求： (1)链球在空中的运动时间； (2)链球在最高点的速度大小； (3)链球脱手前瞬间速度的大小。 22．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，某人（可视为质点）距离平台右端处起跑，以恒定的加速度向平台的右端冲去，人离开平台时的速度，离开平台后恰好落在地面上的小车车厢底板中心。设平台右端与车厢底板间的竖直高度，取。不计空气阻力，求： (1)平台边缘与车厢底板中心的水平距离； (2)人在平台上运动的加速度大小； (3)人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间。 2 学科网（北京）股份有限公司 $