湖南省娄底市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025年秋季学期高二1月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的导函数为，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 5.在等差数列中，若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 7.若不等式对恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，当最小时，直线的方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有(    ) A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 10.已知数列满足，则(    ) A. B. 的前项和为 C. 的前项和为 D. 的前项和为 11.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与圆：相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 曲线在点处的切线是           ． 13.已知向量，，若，则          ． 14.设数列的前项和为，且，则数列的前项和为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求的大小． 若，求面积的最大值． 16.本小题分已知圆：． 求过点且与圆相切的直线方程 已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值． 17.本小题分已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 18.本小题分如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，为，中点． 求证：平面 若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值 在的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 19.本小题分已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二1月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D  【解析】解：，对应的点位于第四象限．故选：． 2.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设直线的倾斜角为，则，所以．故选： 3.已知函数的导函数为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，则．故选：． 4.已知函数为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：函数，分母恒大于，所以函数在处有定义，因为是奇函数，所以，可得：，即，解得，时，，经检验满足题意．故选：． 5.在等差数列中，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由等差数列的性质可知，，所以，解得，所以．故选D． 6.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意得直线斜率存在，设为 ，则直线的方程为 ，即 ， 代入椭圆的方程化简得：， ，解得 ，直线的方程为．故答案选：． 7.若不等式对恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为不等式对恒成立，又由于，当且仅当，即时取等号，所以，解得，所以的最大值为．故选：． 8.已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，当最小时，直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：圆方程的圆心，半径，根据切线的性质及圆的对称性可知，则，要使最小，只需最小，即最小，此时，，，过点且垂直于的方程为，将其与的方程联立，解得，以为直径的圆的方程为，结合圆的方程两式相减可得直线的方程为，故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有(    ) A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】ABC  【解析】解：对于，，所以，即，故A正确；对于，，所以，即，故B正确； 对于，由，，且，平面，得出是平面的一个法向量，故C正确；对于，由是平面的法向量，且平面，得出，故D错误．故选：． 10.已知数列满足，则(    ) A. B. 的前项和为 C. 的前项和为 D. 的前项和为 【答案】AD  【解析】解：当时，；当时，由，可得，即有对也成立，故A正确；的前项和为，故B错误；的前项和为，故C错误；，可得的前项和为，故D正确．故选：． 11.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与圆：相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为 【答案】ACD  【解析】解：根据题意，设直线：，，又直线与圆：相切于点，所以，又，则，而，得， 所以直线是的一条渐近线，对； 联立，得，联立，得，若且，则，即，所以，可得，即渐近线方程为错；若且，故， 即，化简得，则的离心率为，对；若，则，设，故，得，故，代入，得，所以，则离心率为，对．故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 曲线在点处的切线是 . 【答案】 13.已知向量，，若，则          ． 【答案】  【解答】解：当，得，所以 ，因此． 14.设数列的前项和为，且，则数列的前项和为          ． 【答案】  【解析】解：由，得，当时，，解得； 当时，，整理得， 则，数列是常数列，因此， ，，设数列的前项和为， ， 于是， 两式相减得， 则，所以数列的前项和为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求的大小． 若，求面积的最大值． 【答案】【详解】因为，由正弦定理得：，         因为．故式可变形为， 即，化简得：， 因为，所以，故因为，故．......................6分 由正弦定理得，所以，由知，故，则，.......8分          由余弦定理得，即，则，...................10分 当且仅当时等号成立，...............................11分  因此，所以面积的最大值为．..........................13分  16.本小题分已知圆：． 求过点且与圆相切的直线方程 已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值． 【答案】解：当直线斜率存在时，设直线：，即， 圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为：，..........5分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相切；.......................7分 综上可知切线的方程为或；..........................8分 (2) 由已知可知圆心到直线的距离，...........................11分 又弦长为，，解得，故． ........................15分 17.本小题分已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】解：(1）因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以；...........................................7分 （2）由（1）知， 所以， 又，所以．.................................................15分 18.本小题分如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，为，中点． 求证：平面 若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值 在的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】解：证明：取中点，连接，，在中， 因为，分别为，的中点，所以，，在菱形中，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面；...............5分 因为平面，、，平面，所以，，，因为，所以，在菱形中，，因为为中点，所以，故DE，，两两相互垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系． 在正三角形中，，所以，，，，不妨设，则，，所以向量，， 设平面的法向量为，则，即，令，得，，故平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ，解得；........................11分 由知，，，，平面的一个法向量为， 因为点为直线上一点，设，，则， 设直线与平面所成角为，． 故直线与平面所成角正弦值的最大值为． .........................................17分 19.本小题分已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 【详解】（1）∵椭圆的上、下两个焦点分别为， ∴，∵过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，， ∴，即， ∴，即， ∴，∴，即，解得或（舍）， ∴，即椭圆的标准方程为..........................................5分 （2）如图，直线与椭圆交于两点，设， 联立方程，得， 则，则，即或, 由韦达定理可得，............................................8分 所以， 因为， 所以，综上，为定值0，.................................................11分 ②点到直线的距离, 弦长,即, 所以, 由于， 由均值不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为........................................................17分 第4页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $