第7章 相交线与平行线能力提升测试卷-2025-2026学年人教版七年级数学下册

第7章 相交线与平行线能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 3．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 4．如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 7．如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图1，，分别在上，．如图2，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或垂直时，的值为（　　） A．秒或秒 B．秒或6.5秒 C．2秒或6.5秒 D．2秒或秒 9．如图在平面直角坐标系中，点在线段上运动，轴，作交于点，交于点，的平分线与的平分线相交于点．则在点在运动过程中，（    ） A． B． C． D． 10．已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 12．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 13．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线的反向延长线交于点，，则 ． 14．将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，这是某自行车的结构示意图，其中，，，平分．求证：． 16．（8分）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 17．（8分）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 18．（8分）（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          19．（8分）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 20．（8分）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 21．（10分）已知 ，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 相交线与平行线能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 3．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 4．如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：根据平移的性质说法正确，不符合题意； B：根据平移的性质说法正确，不符合题意； C：根据平移的性质说法正确，不符合题意； D：根据平移的性质说法不正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． 7．如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质以及角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图1，，分别在上，．如图2，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或垂直时，的值为（　　） A．秒或秒 B．秒或6.5秒 C．2秒或6.5秒 D．2秒或秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定与性质，当运动时间为t秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；当与互相垂直时，由，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，综上即可得出答案． 【详解】解：当转动时间为t秒时，，， 当与互相平行时，， 即， 解得：； 当与互相垂直时，， 即， 解得， ∴当与互相平行或垂直时，t的值为秒或秒． 故选：A． 9．如图在平面直角坐标系中，点在线段上运动，轴，作交于点，交于点，的平分线与的平分线相交于点．则在点在运动过程中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，作，，则，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，可得． 【详解】解：如图，作，，则， ， ， ， ，， ， 同理可证， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， 即在点在运动过程中，， 故选：C． 10．已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴，即，②正确； ③过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，③说法错误． 综上，正确的有2个， 故选：C． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 13．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线的反向延长线交于点，，则 ． 【答案】 【分析】分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，分别过、作的平行线和， ， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 14．将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题重点考查平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．由、、，可知，再分三种情况讨论，一是，则，求得，由，得；二是，则，求得；三是点E在上，则，由，证明，此时，于是得到问题的答案． 【详解】解：、、， ， 如图1，， ， ， ， ， 当或时，都有； 如图2，， ，，， ， ； 如图3，点E在上，则， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，这是某自行车的结构示意图，其中，，，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由平行线的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，求出的度数即可证明结论． 【详解】证明；∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（8分）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 17．（8分）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由代入进行计算即可得到答案； （2）由角平分线的性质可得，，从而得到，由可得，由（1）可得，从而得到，最后由，即可得证； （3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，垂足为点， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴，                    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（8分）（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          【答案】（1）和垂直，见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，垂直的含义． （1）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2），理由如下：如图， 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）当时，．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 19．（8分）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求解； （2）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （3）根据（1）可知，，结合图形得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：； 理由：， ， ，， ， ， ， ． （3）解：根据（1）可知，， ， ， ， ， ． 20．（8分）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 21．（10分）已知 ，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、利用一元一次方程解决几何问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $