精品解析：广东省惠州市惠东县2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

广东省惠州市惠东县2025-2026学年上学期九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 下列事件是不可能事件的是（　　） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 掷一次骰子，向上一面的数字是3 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一根为 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 6. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 7. 在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度与水平距离之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） ①常数m＜1； ②y随x的增大而减小； ③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=； ④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上. A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为_______． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 将抛物线向左平移个单位后，经过点，则______． 14. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 15. 如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则__________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长． 18. 某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验． （1）小明抽到实验的概率为___________； （2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分.） 19. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： （1）请写出x与y之间的函数关系式； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点P是y轴上一点，且，求点P的坐标． 21. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF． （1）求证：△BDA≌△BFE； （2）①CD+DF+FE的最小值为 ； ②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF． （3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.） 22. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知为半圆O的直径．弦相交于点E．连接，点C是的中点．若，． （1）求的长： （2）M为的中点，点P在直径上，直接写出的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠东县2025-2026学年上学期九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案． 【详解】一元二次方程的一次项系数是2． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好轴对称图形和中心对称图形的定义是关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． D．选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列事件是不可能事件的是（　　） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 掷一次骰子，向上一面的数字是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解决本题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不符合题意； B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球，是不可能事件，符合题意； C、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一根为 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案． 【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC， 根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°， 根据圆周角定理可知∠D=∠AOC， 因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°， 解得：∠AOC=120°， 因此∠ADC=60°． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 6. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 7. 在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度与水平距离之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 求出当时的值即可求解． 【详解】解：由题意可得： 令，由， 解得，（舍去）， 小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D． 8. 如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，熟练掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长．锐角三角函数定义，是解题的关键． 设，圆锥底面半径为r，则， ，，，得，得，得，即得． 【详解】解：设，圆锥底面半径为r，则， ∵P为的中点， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） ①常数m＜1； ②y随x的增大而减小； ③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=； ④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上. A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：本题考查反比例函数的性质，解题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质可以解答具体的问题.根据函数的图象可知反比例函数y=的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，函数的图象关于原点对称，从而可以判断题目中的结论正确与否. 由图象可知，反比例函数y在一、三象限，则1-m＞0，得m＜1，故①正确； 由图象可知，反比例函数y=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为（a，0）点B的坐标为（b，），则S△==||，故③错误； 因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上，故④正确； 由上可得，结论正确的是①④， 故选D. 考点：反比例函数的性质. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可表示出各阶段的函数解析式，从而可以得到各阶段的函数图象，进而得到哪个是正确的． 【详解】解：∵当点从移至点A时． ，． ∴（）， 当时． 此时点到的距离不变． ∴． 当点时． ． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入，即可求解， 解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 13. 将抛物线向左平移个单位后，经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后得到， 经过点， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 14. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值． 【详解】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5， 当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12， ∴QC＝， ∴CE＝QC−QE＝13−5＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 15. 如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则__________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 结合题意，由垂径定理可得垂直平分，然后在中运用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意可知,垂直平分，， ∴， 在中,， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解此题的关键． （1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）原方程左边为完全平方式，利用因式分解法，再用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：提公因式得， 即或， 解得，； 【小问2详解】 解：原方程化为， 解得． 17. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示： ； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质， （1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可， （2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：运动到点所经过的路径为 18. 某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验． （1）小明抽到实验的概率为___________； （2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率， 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），画出树状图，根据每种结果出现的可能性相同，确定所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有A，B，C，D四个试验，小明抽到实验D的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出树状图， ， 可知每种结果出现的可能性相同，一共有16种可能出现的结果，小明和小敏抽到同一个试验的有4种，所以小明和小敏抽到同一个试验的概率是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分.） 19. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： （1）请写出x与y之间的函数关系式； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】（1）． （2） 解：∵， ∴，对称轴为， ∵x为整数， ∴当或3时，y有最大值，元． 所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可列出表达式： ．即． ∵降价要确保盈利， ∴．即：． ∴． 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点P是y轴上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可； （2）根据直线解析式求出点坐标，再求出三角形的面积，再设点的坐标为代入面积公式求出值即可． 【小问1详解】 解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴，， ∴反比例函数解析式为：， ∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或． 21. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF． （1）求证：△BDA≌△BFE； （2）①CD+DF+FE的最小值为 ； ②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF． （3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）①；②见解答； （3）是，∠MPN=30°． 【解析】 【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可； （2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可； ②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证； （3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°． 【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°， ∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF， ∴∠ABD=∠EBF， 在△BDA与△BFE中， ， ∴△BDA≌△BFE（SAS）； （2）①∵两点之间，线段最短， 即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小， ∴CD+DF+FE最小值为CE， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1， ∴BE=AB=2，BC=， ∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， ∴CE=， 故答案为：； ②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°， ∴△BDF为等边三角形， 即∠BFD=60°， ∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小， ∴∠BFE=120°， ∵△BDA≌△BFE， ∴∠BDA=120°， ∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°， ∴∠ADF=∠BFD， ∴AD∥BF； （3）∠MPN的大小是为定值，理由如下： 如图，连接MN， ∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点， ∴MN∥AD且PN∥EF， ∵AB=BE且∠ABE=60°， ∴△ABE为等边三角形， 设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β， 则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α， ∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β， ∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°， ∵△BDA≌△BFE， ∴MN=AD=FE=PN， ∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°． 【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.） 22. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质． 23. 如图，已知为半圆O的直径．弦相交于点E．连接，点C是的中点．若，． （1）求的长： （2）M为的中点，点P在直径上，直接写出的最小值为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，，则，可得，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解； （2）作于H，延长交圆O于N，连接，则的长即为的最小值，连接，，求出，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵为半圆O的直径．，， ∴，，， ∴， ∵点C是的中点． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作于H，延长交圆O于N，连接，则的长即为的最小值，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及解直角三角形，轴对称求最小值，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，轴对称求最小值是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $