精品解析：吉林省白山市第二中学2025-2026学年高一上学期期末大练习（二）数学试题

白山市第二中学·高一年级第一学期期末统一训练 高一数学试题（第二套/共四套） 2026.01.05 命题：东北师大附中高一数学组 审核/修改：白山二中高一数学组 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则 A. -2 B. 3 C. D. 4. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ） （参考数值：） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，当时，，则在区间上的零点的个数为（ ） A. 403 B. 404 C. 405 D. 406 二、多选题 9. 已知，则函数的值可能为（ ） A. 1 B. －1 C. －3 D. 3 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 函数的值域为 C. 若方程有两个不相等的实数根，则 D. 函数有个零点 11. 已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 函数为偶函数 C. D. 若时，，则时， 三、填空题 12. 已知，则的值为______. 13. 已知，，，则的最小值为______. 14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在上存在最小值，求实数的取值范围. 17. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白山市第二中学·高一年级第一学期期末统一训练 高一数学试题（第二套/共四套） 2026.01.05 命题：东北师大附中高一数学组 审核/修改：白山二中高一数学组 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为 所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助根式与分式有意义的条件及对数函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 3. 已知，则 A. -2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，属于基础题. 4. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数性质即可得. 【详解】由，则，， 故. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为分段函数，结合指数函数的图象即可进行判断. 【详解】， 由于，当时，，函数在上单调递减，排除AB， 当时，，函数在上单调递增，排除C. 故选：D. 6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ） （参考数值：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可. 【详解】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合矩形性质与对数函数、指数函数与幂函数的运算法则逐步计算、、即可得. 【详解】由，则，即，即， 又，则，即，则， 即有，即，即. 故选：A. 8. 已知定义域为的函数满足，当时，，则在区间上的零点的个数为（ ） A. 403 B. 404 C. 405 D. 406 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数是周期为的周期函数，结合时的函数解析式可得在一个周期内的零点个数，即可得在区间上的零点的个数. 【详解】由，则， 即，即是周期为的周期函数， 当时，， 令，解得或， 则无解，由，则当时，无解， 故当时，有零点、， 即当时，有零点、， 即在一个周期内有个零点， 则当时，有个零点. 当时，有零点， 故在区间上的零点的个数为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知，则函数的值可能为（ ） A. 1 B. －1 C. －3 D. 3 【答案】BD 【解析】 【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论即可得. 【详解】当为第一象限角时，，即； 当为第二象限角时，，即； 当为第三象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即； 综上所述，的值可能为或. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 函数的值域为 C. 若方程有两个不相等的实数根，则 D. 函数有个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：；利用分段函数性质计算即可得；对B：分及讨论即可得；对C：结合B中所得即可得；对D：由题意可得，计算的根可得或，再计算的根即可得解. 【详解】对A：令，解得，符合要求，令，解得，不符， 故时，，故A正确； 对B：当时，，当时，， 故函数的值域为，故B正确； 对C：结合B中所得，可得方程有两个不相等的实数根时， 有，故C错误； 对D：令，则， 令，则，令，则，均符合要求， 即或时，均能使， 令，则，令，无解， 则有个零点，分别为、、，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 函数为偶函数 C. D. 若时，，则时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断AB，根据性质求出周期判断C，根据图象的对称性求解析式判断D. 【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确； 由可得，又， 所以，故函数为奇函数，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 由知函数关于成中心对称， 当时，设为函数图象上任意一点， 则在函数图象上，且， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简原式为即得解. 【详解】原式分子分母同时除以得: =. 故答案为： 13. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得. 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由，，，则， 即，则， 则 ， 当且仅当，即，即、时，等号成立. 法二：借助权方和不等式： 由，，，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为5，则有对任意的成立，将看成变量，得出不等式组，解之可得结果． 【详解】因为奇函数在上是增函数，且， 所以的最大值为5． 所以只需 即对任意的恒成立即可， 令， 则，即 解得或或． 故答案为： 四、解答题 15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案. 【小问1详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 【小问2详解】 ． 其中， 由（1）知：， 所以． 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数，令，解得函数递减区间； （2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数的单调区间，结合对称性得出函数有最小值的条件. 【小问1详解】 ， ， ， ， 令，则， 即的单调递减区间为：. 【小问2详解】 令，解得， 即是函数的对称轴， 又由（1）可知函数在区间上单调递增， 结合对称性可知当时，， 此时函数在上不存在最小值， 当时，， 在区间上最小值 或者在处取得， 或者在整个函数的最低点处取得， 当时，，即时取得最小值， 所以实数的取值范围. 17. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2）函数在上为增函数． 证明：设，，且， ， 由，可得，所以， 由，可得，, 所以，则，所以， 即， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论； （2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤； （3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围． 【小问1详解】 由解得， 函数的定义域为， ， 可得是定义域为的奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 不等式化为， 因为在上为增函数，所以， 解得：或， ，解得： ，解得：, 综上：实数的取值范围 18. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，可解得，结合已知，可得的解析式； （2）先求出的表达式，再根据正弦函数的单调递增区间的性质，结合给定的区间，来确定的取值范围； （3）先求出的表达式，然后根据函数在上存在零点，转化为方程在该区间有解，进而转化为在有解的问题，通过对勾函数的性质来确定的取值范围. 【小问1详解】 ∵，且， ∴，则，，即， ∵，∴.得：. 【小问2详解】 ∵， ∴， 当时， 即，时单调递增， ∵则在上单调递增， ∴解得： ，当时，，当时，无解. 综上,的取值范围是 【小问3详解】 ∵， ∴ 令，，则， 则， 令，，则. 所以，在上存在零点， 即，使得有解，即时，有解， 即在上有解， 令， ∵在上单调递增，在上单调递减，且， ∴的值域为，所以在有解等价于. 综上的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】（1）是“L函数”，理由如下： 对于，当 时，，， 因为， 所以， 所以是“L函数”； （2）； （3） 因为函数f（x）为“L函数”， 所以对于任意正数都有，，且， 所以 所以对任意整数，有， 若 为整数，显然， 若 不为整数，设 , 则，，， 又因为 所以， 所以对任意，都有. 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可； （2）由为“L函数”，可得，则，得，可得，得，从而可求出实数a的取值范围； （3）由函数f（x）为“L函数”，可得对任意整数，有，再讨论是否为整数，结合“L函数”定义即可证得，从而得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 时，由是“L函数”，得 ，即对一切正数恒成立， 因为，所以对一切正数恒成立， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数恒成立， 所以，即， 综上可知，实数a的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $