精品解析：广东省深圳市罗湖外语学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

罗外初三数学12月月考卷 一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项正确） 1. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ） A. 0.82 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 3. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 4. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 8. 如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，那么的值是 _____． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为________． 11. 如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，轴，反比例函数的图象经过点A，若，则________． 13. 在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为________． 三.解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16. 如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集； （3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积． 17. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． （1）长为______米（包含门宽，用含x的代数式表示）； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积可以为吗？若可以，求出x的值，若不可以，说明理由． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 19. 综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积的最大值． 20. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗外初三数学12月月考卷 一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项正确） 1. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图即可判定． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键． 2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ） A. 0.82 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：D． 3. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 四边形是菱形，，， ，，， ，， 平行四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 5. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 6. 某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值． 【详解】解：连接PP′交BC于O， ∵若四边形QPCP′为菱形， ∴PP′⊥QC， ∴∠POQ=90°， ∵∠ACB=90°， ∴PO∥AC， ∴ ∵设点Q运动的时间为t秒， ∴AP=t，QB=t， ∴QC=6-t， ∴CO=3-， ∵AC=CB=6，∠ACB=90°， ∴AB=6， ∴ 解得：t=2， 故选B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质． 8. 如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，证明，得到，，由， ，推出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当的值发生变化时，的值不变， 故选：B． 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解； 根据一元二次方程解的定义求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，轴，反比例函数的图象经过点A，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 判定出和，利用相似三角形的性质求出和的面积，进而求出矩形的面积，最后利用反比例函数的特征求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ， ∴， ∴, ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴四边形的面积为， ∴矩形的面积为， ， ∵图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 13. 在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 在中，， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，， ， ， 在中，， 在中，， ，， ，， ， ∴， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键． 三.解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算； （2）整理后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 整理得，即， 解得：，． 15. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 16. 如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集； （3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：；（2）x＜-2或0＜x＜1；（3）27. 【解析】 【分析】（1）先把B（1，-6）代入反比例函数y=中，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后根据A，B坐标求出一次函数解析式即可； （2）根据A，B坐标和函数图像直接写出即可； （3）先求出和D的坐标，再根据算出即可. 【详解】解：（1）把B（1，-6）代入反比例函数y=中，得：， 解得：m=-6， 则反比例函数解析式为：， 把A（n，3）代入中，得：， 解得：n=-2， 则A点坐标为（-2，3）， 把A（-2，3），B（1，-6）代入次函数y=kx+b中， ， 解得：， 则一次函数解析式为：； （2）∵A（-2，3），B（1，-6）， 由图知，kx+b>的解集x＜-2或0＜x＜1； （3）AB与x轴交点记为D， 一次函数解析式为：， 令x=0，则y=-3，令y=0，则x=-3， ∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（-3，0）， 点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点， 则的坐标为（3，0）， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、旋转的性质，根据旋转得出旋转后点的坐标是解题的关键． 17. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． （1）长为______米（包含门宽，用含x的代数式表示）； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积可以为吗？若可以，求出x的值，若不可以，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不可以，理由: 设面积为， 即， 当时，， 化简得， ， 方程无解， 故苗圃的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【小问1详解】 解：依据题意，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积的最大值． 【答案】（1），6；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）设，则，．根据题意可列出关于ａ的等式，解出ａ的值，再根据，确定a的范围，即可确定a的值，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，即得； （3）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，再根据矩形的面积公式求出，最后根据求解即可 【详解】解：（1）设， 则，． ∵底面积为， ∴． 解得：，． ∵， ∴， ∴，． 故答案为：，6． （2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当时，S有最大值450． 答：长方体盒子的侧面积的最大值为． 【点睛】本题考查折纸长方体．熟练掌握折纸性质，矩形和正方形性质，长方体展开图性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的实际应用，是解题关键． 20. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】（1）； （2） ；， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 的长为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $