四川省雅安神州天立高级中学有限公司2025-2026学年高二上学期第三次月考（期末模拟考试）数学试题
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保密 ★ 启用前 【考试时间：2026年1月 5日】
雅安天立高2024级2025－2026学年秋期
第三次月考
数 学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系
中，点
关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．公差不为零的等差数列
的首项为
，则的公差为（ ）
A．2 B．4 C．
D．
3．若直线
的方向向量为
，且过点
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
，乙的中靶概率为
，甲、乙两人射箭的结果互不影响，设
“甲中靶”，
“乙中靶”，则（ ）
A．
与
，与
，
与，与都相互独立
B．
与
是对立事件
C．
D．
7．如图，在平行六面体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若
为双曲线
的左焦点，过原点的直线与双曲线
的左右两支分别交于，两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若数列的前
项和
，则（ ）
A．数列是等差数列 B．
C．
D．
有最小值
11．过点
（
）的直线
与抛物线
：
交于，两点（在第一象限），
试卷第2页，共2页
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过作直线
与抛物线的另一交点为
，直线与
轴交于点
（
，，均在第四象限），直线与直线的斜率分别为
，
，则（ ）
A．若
，且
时，则
B．若
时，点
在以
为直径的圆上
C．
与
的面积之比为
D．若点
，且
，直线
过定点
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线的准线方程为 ．
13．圆心为点
，且过点
的圆的标准方程是 ．
14．已知
分别为椭圆
的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使
，则椭圆
离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知等差数列满足
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
16.（15分）已知直线l：
恒过点C，且以C为圆心的圆与直线
相切．
(1)求点C的坐标；
(2)求圆C的标准方程；
(3)设过点
的直线与圆C交于A，B两点，求
的最小值．
17.（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是
，答对第二题的概率分别是
.
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
18.（17分）在长方体中，点E，F分别在
上，且
.
(1)求证：
；
(2)当
时.
（i）求
到平面AEF的距离；
（ii）求平面AEF与平面
的夹角的余弦值.
19.（17分）动点
与定点
的距离和P到定直线
的距离的比是常数
.
(1)求动点P的轨迹方程E；
(2)过F作斜率不为0的直线
与E交于A，B两点，
①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：
为定值；
②设点
，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值.
试卷第3页，共2页
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