精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区 内蒙古农业大学附属学校2025-2026学年九年级 上学期期末 数学试卷（ 一模）

2025-2026学年度第一学期期末学情检测 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如图，其示意图的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 8. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为_____元． 10. 从点中任取一点，所取的点恰好在反比例函数的图象上的概率为___________． 11. 如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为____________m．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，≈1.41）． 12. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：． （2）化简：． 14. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 您通常接送孩子的方式（　　） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 F．其他 您时常接送孩子的时段是（　　） A． B． C． D．其他时段 （1）扇形统计图中“自行车”所在扇形的圆心角度数为___________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有___________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1800名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 15. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 16. 如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径． （1）求证： ①． ②． （2）若，求的长． 17. 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；方案二是“”形内部支架（由线段构成），点在上运动（在的左边，且均不与重合），，点在抛物线上，均垂直于分别是，的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件， ①方案一的内部支架需要材料多少米？ ②方案二的内部支架最多需要材料多少米？并求出此时的长． 18. 综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究． 【特例研究】（1）在正方形中，相交于点O． 如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　　，k的值为　　　　； （2）如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】（3）如图，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上． 猜想的值是否与α有关，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学情检测 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的应用，理解相反意义的量是解题的关键．进球和失球是相反意义的量，进球记为正数，则失球记为负数，据此回答即可． 【详解】解：∵进3个球记作个， ∴失2个球应记作个． 故选：． 2. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如图，其示意图的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于掌握主视图是从物体的正面看到的视图． 根据几何体找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线． 【详解】解：由图知，主视图上部为等腰三角形，下部为矩形． 主视图为， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是正确掌握相关计算法则． 根据相关计算法则逐项求解判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，C选项计算错误，不符合题意； D、，D选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，以及邻补角性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ； 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理． 根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于点，结合直角三角形性质与勾股定理求出，进而求出，利用圆周角定理，求出，再结合直角三角形性质与勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积求解，即可解题． 【详解】解：连接，过点作于点， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形面积公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 8. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过计算与的差值判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为_____元． 【答案】2a+3b 【解析】 【分析】求用买2个面包和3瓶饮料所用的钱数，用2个面包的总价+3瓶饮料的单价即可． 【详解】解：购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（2a+3b）元． 故答案为：2a+3b． 【点睛】此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解． 10. 从点中任取一点，所取的点恰好在反比例函数的图象上的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，概率公式． 先依次判断各点的坐标是否满足反比例函数的解析式，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴A、C两个点在反比例函数的图象上，故所取的点在反比例函数的图象上的概率是． 故答案为：． 11. 如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为____________m．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，≈1.41）． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 12. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形全等、等腰直角三角形及三角函数的应用，掌握通过证明三角形全等确定等腰直角三角形，利用中位线和三角函数求解线段长度是解题的关键． 先通过证明三角形全等得出且，确定为等腰直角三角形，再利用中点性质和三角函数求解的长度． 【详解】如解图，过点M作于点H． ∵四边形是矩形， ∴，， 为的中点，，， ，，． ∴，， 在和中： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 为AF的中点，， 是的中位线，， ． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简． （1）先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 您通常接送孩子的方式（　　） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 F．其他 您时常接送孩子的时段是（　　） A． B． C． D．其他时段 （1）扇形统计图中“自行车”所在扇形的圆心角度数为___________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有___________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1800名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2）用私家车接送孩子的家长人数为人 （3） 解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子（结合数据分析，言之有理即可）． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“自行车”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出骑电动自行车送孩子的人数并补全统计图即可； （2）用1800乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）结合数据分析，言之有理即可，建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：扇形统计图中“自行车”所在扇形的圆心角度数为：， 本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的人数为：（人）， 则骑电动自行车接送孩子的人数为：（人） 【小问2详解】 解：（人）， 答：用私家车接送孩子的家长人数为人； 【小问3详解】 略 15. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 （2）购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元 【解析】 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，且，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台， 且，即，且为非负整数， 根据题意，得， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元． 16. 如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径． （1）求证： ①． ②． （2）若，求的长． 【答案】（1）①证明：为外一点，和为的两条切线， ， ， ； ②证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据切线长定理得到，即可根据证明； ②根据圆周角定理及（1）的结论推出，再结合平行线判定定理即可证明； （2）连接，结合切线性质，以及直径所对圆周角为直角证明，利用勾股定理求出，再结合相似三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）知， 和为的两条切线，为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，圆周角定理，全等三角形判定与性质，平行线判定定理，直径所对圆周角为直角，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 17. 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；方案二是“”形内部支架（由线段构成），点在上运动（在的左边，且均不与重合），，点在抛物线上，均垂直于分别是，的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件， ①方案一的内部支架需要材料多少米？ ②方案二的内部支架最多需要材料多少米？并求出此时的长． 【答案】（1） （2）①米；②方案二内部支架最多需要材料20米，此时米 【解析】 【分析】（1）根据题意先确定抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）①由题意得是顶点到底部的距离为9米，根据可求出，的长度，代入抛物线表达式即可求出，的长度，从而得到方案一的内部支架需要材料多少米； ②设米，可求出米，（米），代入抛物线表达式即可求出，的长度，方案二的内部支架需要材料的长度是关于的二次函数，求出最值和此时的取值即可； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的表达式和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为9米， ∴顶点为抛物线的顶点，坐标为，点，点， 设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：①∵米，， ∴米，米， ∴当时，， 即米， 当时，， 即米， 方案一内部支架材料长度为（米）； ②设米， ∴（米），（米） ∴当时，， 即米， 当时，， 即米， ∴方案二内部支架材料长度为： ， 当时，方案二内部支架最多需要材料20米，此时米． 18. 综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究． 【特例研究】（1）在正方形中，相交于点O． 如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　　，k的值为　　　　； （2）如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】（3）如图，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上． 猜想的值是否与α有关，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）； （3）的值与无关，理由如下，如图， 同理可证△△， ， 菱形中，， ， 是的垂直平分线与的交点， ， ， 过点作于点， ，， ， ， 的值与无关； 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得△△，推出，，再得到△△，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证△△，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，四边形是正方形， ，， 旋转角为，， ， 故答案为：，； （2）根据题意得△△， ，， ，， △△， ， ，， ， ， （3） 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $