精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期大练习13数学试题

2025-2026学年上学期高一年级 （数学）学科大练习（十三） 考试时间：90分 试卷满分：120分 组题人：尹会淇 审题人：汪家玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件利用三角函数的性质与同角三角函数关系计算. 【详解】已知，且是第二象限角，则， 由可得：. 故选：D 2. 角的终边与的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 3. 点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由即可判断. 【详解】因为，所以弧度角为第二象限的角， 所以， 即点位于第三象限， 故选：C 4. 若是第二象限角，则（ ） A. 是第一象限角 B. 是第一或第三象限角 C. 是第二象限角 D. 是第二或第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 5. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义及诱导公式可得结果. 【详解】由角的终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 6. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（ ） A. 600平方步 B. 640平方步 C. 660平方步 D. 700平方步 【答案】C 【解析】 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 8. 已知，则函数的零点个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 分析】根据函数零点定义，结合函数图象进行求解即可. 详解】由，或， 函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数有7个零点. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】设扇形半径为，根据弧长公式，扇形面积公式，逐一分析每个选项进行求解. 【详解】 设扇形半径为，作， 在直角中，，A选项错误， 结合弧长公式，B选项正确； 根据扇形的面积公式，，C选项正确 ； ，D选项错误. 故选：BC 10. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数，函数，若有两个零点，则m的可能取值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】由方程有两个不同的根，转化为与有两个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数有两个零点， 所以有两个不同的根， 即方程有两个不同的根， 令，在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由题意知：两个函数有两个不同交点， 所以，即， 所以m的取值范围是， 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】考虑根式有意义，结合对数的真数大于零列不等式即可得结果. 【详解】要使函数有意义， 则，解得 即函数的定义域为， 故答案为：. 13. 若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当，即时，恒有，因此点，所以. 故答案为： 14. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得.再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边上有一点，且，求：的值 【答案】或 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得的值，为第一象限角和第二象限角两种情况分别求解即可. 【详解】由已知， 又，所以，所以是第一或第二象限角， 当为第一象限角时，，，则， 当第二象限角时，，，则. 16. 已知函数. （1）若函数是上的奇函数，求的值； （2）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质，直接求出并检验即可 （2）确定在上为减函数，找出最大值和最小值，结合“最大值与最小值的差不小于2”列不等式求解即可. 【小问1详解】 若函数是上的奇函数，则， 所以，所以 经检验，当时，是上的奇函数. 所以. 【小问2详解】 由已知得函数是减函数， 故在区间上的最大值是，最小值是. 由题意得， 则. 所以解得. 故实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果. 【小问1详解】 由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． 【小问2详解】 由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，，设，，则有，，令，， ，由基本不等式知，，当且仅当时， 有最大值1，∴ 综上，实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高一年级 （数学）学科大练习（十三） 考试时间：90分 试卷满分：120分 组题人：尹会淇 审题人：汪家玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 2. 角的终边与的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若是第二象限角，则（ ） A. 是第一象限角 B. 是第一或第三象限角 C. 是第二象限角 D. 是第二或第四象限角 5. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（ ） A 600平方步 B. 640平方步 C. 660平方步 D. 700平方步 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的零点个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在半径为r圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 10. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数，函数，若有两个零点，则m的可能取值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数定义域是______． 13. 若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则______． 14. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边上有一点，且，求：的值 16. 已知函数. （1）若函数是上的奇函数，求的值； （2）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $