第01讲 整式的乘法运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦整式乘法运算核心知识点，系统梳理单项式×单项式（系数、同底数幂、单独字母运算逻辑）、单项式×多项式（乘法分配律应用）、多项式×多项式（逐项相乘合并同类项）的递进关系，构建从基础到综合的学习支架。 资料以分层题型设计（典例+变式）为特色，结合图形面积应用（如长方形教具、火箭零件面积计算）培养几何直观，通过规律探究（杨辉三角、等式规律）发展推理意识，课中助力教师分层教学，课后学生可借助综合练习查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第01讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟知单项式乘单项式的法则是正确解答此题的关键． 根据单项式乘单项式的法则及同底数幂的乘法法则，系数相乘，同底数幂分别相乘即可． 【详解】解：原式． 故答案为 ． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及单项式乘单项式的运算．首先分别计算和，然后将结果相乘，运用同底数幂相乘的法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式2】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式3】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式乘法混合运算，解题的关键是熟练整式乘法混合运算法则． （1）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可； （2）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可； （3）首先计算单项式与多项式相乘，然后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． （3） ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选D． 【变式1】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的应用，将阴影部分分割成几个长方形，根据长方形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：C． 【变式3】如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不同方法求得大长方形的面积即可解答． 【详解】解：大长方形的一边长为，另一边长为，则长方形的面积为， 大长方形的面积又等于内部四个小长方形的面积和，即， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示出图中各部分的面积和以及整体面积是解答的关键． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例5】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 【变式1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式2】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【变式3】若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型6 计算多项式乘多项式】 【典例6】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多项式的乘法计算，属于基础题型，明确整式的乘法以及合并同类项的计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式1】化简： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是：熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．根据多项式乘多项式的运算法则，即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （2）运用多项式乘以多项式的法则解题即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】先进行多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，然后合并同类项化简即可得． 【详解】解：， ， ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法，包括多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的乘法及加减混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式及整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：原式 =    当 时，原式 【变式2】先化简，再求值：    其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例8】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】已知多项式与的乘积中不含项，则常数b的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 计算乘积 ，合并同类项后，令项的系数为零，解出b即可． 【详解】解：∵ ， 又∵不含 项， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 【题型9 题型2 多项式乘多项式与图形面积】 【典例9】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 【分析】本题考查等式的几何意义，涉及代数式求值，数形结合是解决问题的关键． （1）对于图形②，通过不同的方法计算图形的面积，即可得到数学等式； （2）由（1）中，将，代入计算即可得到答案； （3）由题中所给基本图形，结合数学等式：可知里面含有边长为的小正方形纸片3个、边长为的小正方形纸片2个，长为、宽为的长方形纸片7个，即可画出图形． 【详解】（1）解：如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， 当，时，， ； （3）解：如图所示： 图中拼出的几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：． 【变式1】聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽； (2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 【答案】(1)型卡片的长为：，宽为： (2)所拼成的长方形的面积为364 【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可； （2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积． 【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： ， 当，时， 原式=． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽． 【变式2】如图，在某住房小区的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，求剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)剩余草坪的面积是平方米； (2)450 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用，求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）通过利用平移可将剩余草坪的面积转化为长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可； （2）将，代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得剩余草坪的面积为： 答：剩余草坪的面积是平方米； （2）当，时， ， 答：若，，则剩余草坪的面积是450平方米． 【变式3】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可总结规律，进而问题可求解； （3）利用以上规律可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：； ； …… ∴； 故答案为； （3）解： ． 【变式1】（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 【变式2】观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）得到规律． 故答案为：； （3）解： ． 【变式3】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）自展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，的展开式为 ； (2)①的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； ②推测的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； (3)利用上述规律求的值，并写出求解过程． 【答案】(1) (2)①十，；②十二， (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的规律问题，根据题干信息总结归纳规律是解本题的关键； （1）根据题目的规律即可得到答案； （2）①根据题干信息，总结规律，再利用规律解得即可；②根据题干信息，总结规律，再利用规律解得即可； （3）把化为，再计算即可. 【详解】（1）解：根据题目规律得，， （2）①∵有两项，各项系数之和为2， 有三项，各项系数之和为， 有四项，各项系数之和为， 归纳可得：有项，各项系数之和为， ∴的展开式中共有十项，所有项的系数之和为； ②的展开式中共有十二项，所有项的系数之和为； （3） . 【题型11 整式乘法混合运算】 【典例11】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后算加减． （2）利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则求解即可． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：原式= = =． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则等知识，解题关键是牢记运算法则． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)x (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算法则，以及合并同类项是解本题的关键． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加． 【详解】解：， 故选：B． 2．福厦高铁车速为a千米/时，高铁行驶小时的路程为多少千米．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与单项式乘法的应用，根据路程速度时间求解即可． 【详解】解：由题意得，千米． 故选：A． 3．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 4．若，则■内应填写（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘多项式的法则，就是用单项式去乘多项式里面的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故选：A ． 5．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（      ） A． B．7 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选：A． 7．现有1张边长为a的正方形A型纸片，12张边长为b的正方形B型纸片，15张长、宽分别为a，b的长方形C型纸片，小明同学用这些纸片，拼成无缝隙无重叠且面积尽可能大的长方形，发现A型和B型纸片都用完了，而C型纸片还剩下若干张，那么剩下的C型纸片最少的张数是（    ） A．8 B．7 C．2 D．1 【答案】C 【分析】该题主要考查了多项式乘多项式的应用，解答的关键是掌握多项式乘多项式的方法． 根据题意以及多项式乘多项式解答即可． 【详解】解：当拼接的长方形面积为时，， 最少剩C型2张． 故选：C． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握单项式乘多项式及合并同类项法则是解题的关键．先根据单项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的计算．多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，据此进行计算即可． 【详解】解： 故答案是：． 10．长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 11．已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 （用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 13．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．关键是找到规律；由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数规律，即可求解． 【详解】解：由题意得， 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为；……； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为， 其中是第二项系数为， 故答案为：． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时， 原式． 17．如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 【答案】(1)平方米 (2)4800平方米 【分析】本题考查了整式乘法的应用，求代数式的值，关键是表示“T”型休闲文化广场的面积； （1）用长方形的面积减去两个正方形的面积，利用多项式乘多项式的法则展开即可； （2）把x与y的值代入（1）中化简后的算式中求值即可． 【详解】（1）解：“T”型休闲文化广场的面积为（平方米）； （2）解：当，时， 原式（平方米）； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算 ． 【变式1】计算： ． 【变式2】 ． 【变式3】计算： ． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式3】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) ； (2)； (3)． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【变式3】如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（    ）    A． B． C． D． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例5】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【变式1】若，则的值为 ． 【变式2】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【变式3】若的展开式中不含项，求a的值． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型6 计算多项式乘多项式】 【典例6】计算：． 【变式1】化简： 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：    其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例8】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】已知多项式与的乘积中不含项，则常数b的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【题型9 题型2 多项式乘多项式与图形面积】 【典例9】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【变式1】聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽； (2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 【变式2】如图，在某住房小区的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，求剩余草坪的面积是多少平方米？ 【变式3】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【变式1】（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【变式2】观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【变式3】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）自展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，的展开式为 ； (2)①的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； ②推测的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； (3)利用上述规律求的值，并写出求解过程． 【题型11 整式乘法混合运算】 【典例11】计算： (1) (2) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【变式3】计算： (1) (2) 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．福厦高铁车速为a千米/时，高铁行驶小时的路程为多少千米．（   ） A． B． C． D． 3．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则■内应填写（   ） A． B． C． D．1 5．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（      ） A． B．7 C．0 D．1 7．现有1张边长为a的正方形A型纸片，12张边长为b的正方形B型纸片，15张长、宽分别为a，b的长方形C型纸片，小明同学用这些纸片，拼成无缝隙无重叠且面积尽可能大的长方形，发现A型和B型纸片都用完了，而C型纸片还剩下若干张，那么剩下的C型纸片最少的张数是（    ） A．8 B．7 C．2 D．1 8．计算： ． 9．计算： ． 10．长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 11．已知，，则 ． 12．如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 （用含x，y的代数式表示） 13．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 14．计算： (1)； (2)． 15．化简： (1) (2) (3) 16．先化简，再求值：，其中，． 17．如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $