5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 5.4数列的应用 1.有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2 倍，已知最上面一层点了3盏，则共点灯的盏数为() A.192 B.381 C.189 D.63 2.某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长 率为1%，那么5年后这个小镇的人口数为（) A.20x(1.01)5万 B.20x(1.01)4万 C.20x1.015-1万 D.20x1014-1万 1.01-1 1.01-1 3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余 的物质为原来的专，则经过 年，剩余的物质是原 来的64 125 4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大 寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、 春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5 尺，则立夏日影长为 尺 17 5.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2025年1月初向银行 借了扶贫免息贷款10000元，用于自已开发的农产品、土 特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供 不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%,每月底缴房租800元和水电费400元，余款作为资金 全部用于再进货，如此继续，预计2025年小王的农产品加 工厂的年利润为（)（取1.2=7.5,1.2-9） A.25000元 B.26000元 C.32000元 D.36000元 18 MN 高中数学选择性必修第三册人教B版 4B【解析】由s=++2++公，得}= =2-n-2 S2-n-2 2 故选B. 5.解：设=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+ sin289°.① 将①式右边反序，得 S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°.② 又·.sin=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1,①+②，得 2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°）+…+(sin89°+ c0s289)=89,.S=44.5. 6.解：(1)当n=1时，a4=S=-4; 当n≥2时，a=S.-S=3m2-7m-3(n-1)2+7(n-1)=6n- 10: 当n=1,则a=6-10=-4,故a=6n-10,n∈N (2)依题意，(6m-10(6m-4)(3n-5)(3n-2) 4 号52： 故-g×刘号子+ 3m-53n-2月 g×2F22n "5.4数列的应用 1.B【解析】根据题意，设每层点的灯数组成数列 {a,分析可得{a是公比为2的等比数列，且au=3, 则S=3x1-22=381.故选B. 1-2 2.A【解析】某小镇在今年年底统计有人口20万， 预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇 的人口数为20(1+1%)，2年后这个小镇的人口数为 98 20(1+1%)2,3年后这个小镇的人口数为20(1+1%)3,4 年后这个小镇的人口数为20(1+1%)4,5年后这个小镇 的人口数为20(1+1%)=20x(1.01)5.故选A. 3.3【解析】经过一年，剩余物质为原来的号，经 过两年，剩余物质为原来的专户，经过三年，剩余物 质为原来的专片停·则经过三年，利余的物质是原 来的酷 4.4.5【解析】设数列为{a},公差为d,a+4+a= 3a+9d=31.5,S=9a+36d=85.5,解得a=13.5,d=-1, .立夏日影长为ao=4.5. 5.C【解析】1月底小王手中有现款为a=(1+20%)× 10000-800-400=10800(元)，设n月底小王手中有现 款为a,n+1月底小王手中有现款为a,则a+=1.2a 1200,即a1-6000=1.2(a.-6000),.数列{a.-6000) 是首项为4800、公比为1.2的等比数列，.a2-6000= 4800×1.21,即a2=4800x1.2+6000=42000,年利润为 42000-10000=32000(元).故选C. m5.5数学到归纳法 1.D【解析】当n=1,n=2,n=3时，显然不等式不 成立，当=4时，64>61不等式成立， 故用数学归纳法证明n33n+3n+1这一不等式时， 应注意n必须为n≥4，neN.故选D. 2B【解析】由题意，当2时，不等式为1+号+ 号2.故选B. 3.C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2; 当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+ (k+1)2,增加了项(2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.故 选C 4s=2【解标】5=1,5=告，$多名，8 n+1 21 号，猜想92 n+1 5.解：(1)f1)=2,fn+n2)=fn1)fn2), ∴.f2)=f1+1)=f1)f1)=22-4,