6.3 利用导数解决实际问题(随堂练习)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 6.3利用导数解决实际问题 1.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数： y=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函 数为y2=2x-x2(x>0),为使利润最大，应生产 千台 2.将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周 所得圆柱体积最大时，AB长为() A B号 c号 第2题图 D.1 3.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条 棱长总和为30cm),要求长方体的长与宽之比为3：2，则 该长方体最大体积是() A.24 B.15 C.12 D.6 4.某校为弘扬中华传统中医药文 化，在一块边长为30m的正方 形空地中开辟出如图所示的总面 am am 积为750m的矩形中药园.图中 阴影部分是宽度为1m的小路， 第4题图 37 中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参（其中两 个小矩形区域形状、大小相同)·中药种植的总面积为 Sm2.当S取得最大值时，x的值为() A.15m B.20m C.25m D.30m 5.要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的 单位面积造价是底面积造价的一半，而储油罐盖的单位面 积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省. 38N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.解：)fx)=grar-2xaeR,fe) =x2--2.f代x)在x=2处取得极值，f'(2)=0,即22 2-2-0,解得al,)号-分-2，f)=- 2=(x+1)(x-2),.当x<-1或x>2时f'(x)>0,当-1<x<2 时f'(x)<0,.f(x)在[-2，-1)上单调递增，在 (-1,1]上单调递减. 又f-2)=号×(-227×(-22-2x(-2)=-号，f1) 号x2×1-21=号 ∴fx)在[-2,1]上的最小值为-13 6 (2)由1).知fx)=号7-2x 若函数g(x)=f(x)+b(b∈R)有且只有一个零点， 则方程-b寸x)(6eR)有唯一解，即-b了-？ 2 -2x(b∈R)有唯一解， 由(1)，知f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调 递增，在(-1,2)上单调递减， 义-1)-名，2)=9，函数图象如图所示， 4 -2 -3 第5题答图 -b-10或-b>2 ,得6>0或6<- 61 即6的取值范围为-0，石U(号，+ 一m6.3利用导数解决实际问题 1.6【解析】设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)= -2x+18,2(x>0),y=-6x2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得 x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函 数的最大值点 2.B【解析】·.·矩形ABCD的周长为4，设BC=x 102 (0<x<2),则AB=2-x,.将周长为4的矩形ABCD绕 AB旋转一周所得圆柱体积为V(x)=Tx2(2-x)=(2x2-x), 0<x<2,则V'(x)=T(4x-3x2),由V'(x)>0,得4x-3x2>0, 解得0<r<号；由(x)<0,得4-3x0,解得号r<2: vx)-m(2r-)在0，号上单调递增.在号，2上 单调递减，当x=告，即BC=专，AB=号时，V() =m(2-取得最大值V()-m(2-费放选B 3.B【解析】设该长方体的宽是xcm,由题意，其 长是受cm,高是300-15,5(0<3)cm,则该长 方体的体积v5）-一只+空，” _45x+0x,由V'(x)=0,得到x=2,且当0<<2时， 41 V'(x)>0;当2<x<3时，V'(x)<0,即体积函数V(x)在 x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上 的最大值..该长方体体积最大值是15.故选B. 4.C【解析】由条件，可知x(2a+3)=750→a= 750-3x>0,0<≤30. 2x S=(x-2)a+(x-3)a=(2x-5)a=(2x-5).750-3x= 2x 64155-3750-3175+155,s=-3+ 2x 1875-0,解得x=25. 当0<x<25时，S'>0,S单调递增；当25<r<30时， S<0,S单调递减. .当x=25时，S取得最大值.故选C 5解：由=m,得仁芯，设益的单位面积造价 为a,则储油罐的造价为S(r)=amr2+2a2Trh+4a·2= 5m叫由=10m0,解得g.于 2 是h=V 京=/25业，由间题的实际意义，上述S的唯一 V4π 可能极值点就是S的最小值点. 32V .当 5π h 3/25V 时，储油罐的造价最省。 J 4π