5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

m5.3等比数列 5.3.1等比数列 效果评价 1.A【解析】由题意，知数列{a}为等比数列，当 a=1时，得aas==1,故充分性成立；当as=1时，a= a5=1,解得a=±1，故必要性不成立，“4=1”是 “aas=1”的充分不必要条件.故选A. 2.B【解析】0,0,0，…是常数列，但不是等比数 列，故①错误，②正确；等比数列的单调性还要看首项 的正负情况，故③错误，④正确.故选B 3.D【解析】等比数列{a}满足a.≠0,9≠0， -a2器2.故选D a+a+...+ax azta+...+ax 4.B【解析】在等比数列{a}中，首项a<0,若am> a,即aq>aq.a<0,∴q<q,即g-(g-1)<0.数 列{a}对任意正整数n都有a>a,.q>0,∴g-l<0.解 得0<q<1.故选B. 5.C【解析】由题意，可知(a+1)2=(a-1)(a+4),解 得a5,故等比数列的首项为4，公比9-引号，则 通项公式为a=4多尸故选C 6.A【解析】{a}是等比数列，且a4,as是方程 a4+a8=8, x2-8x+2=0的两根，. 且a>0,as>0.根据等比 aas=2, 数列的性质，a4s=0n=G=2,且as>0,=V2,.a- =6=V2.故选A. 7.BD【解析】设{a}的公比为g,∴.a=ag=4g= 64,q=16,q2=4,a=sg2=16,故A错误；数列{a} 是等比数列，an≠0，aa1≠0.又型=-q2,数列 a,a {a,a}是等比数列，故B正确；当q=-1时，a+a=a a=O,此时{a+a}不是等比数列，故C错误；：a<a< a,故a<ag<g,化简，得agg-1)>0, 故9>0， a(q-1)>0, ai(q-1)>0,.a-a,=aq"-aiq"-=aq"-(q-1)>0,a>a (neN),∴.数列{a}是递增数列，故D正确.故选BD. 参考答案。 8.氵【解析】设等比数列{a}的公比为g,由a+ a2=1,a4+s=8,得g=4+01=8,解得g=2,因此a4+as= 1+a2 a(19)-3a=84骨放答案为弩 9.2【解析】d=26,=1,.(g)2=2g,得q=2. 10.-3【解析】设该数列的公比为g,则由题意， 可得-1×g=-9,解得g-9,即q2=3,∴b=-1xg2=-3. 11.108【解析】由题意，等比数列{a}中，a4+a4 4,a3+a=12.设等比数列{a的公比为q,则g2=+s= a1+a4 是-3，放a+a=aaw)-x12=-108. 12.解：(1)设等比数列{a}的公比为q,a=5, 9=g=-3,as=ag-405. a (2):{a}是等比数列，又a=625,n=4,q=5, ∴.a4=g,即aX5=625,解得a=5. 13.证明：(1)10≠0,10=1010， 10 因此，数列{bn}是公比q=10的等比数列. (2).a>0,.Iga-Iga,=Ig aL=Igq, 因此，数列{b.}是公差dlgq的等差数列. 提升练习 14.弓【解析】ao+a=6as,as(gt9)-6a,解得q= 2.存在两项am,a.使得Van=4a,VdGx2mr=4a, mn6,子石mw上合5+只+0)= m n 6 右(5+4)=2 15.±3【解析】由题意，可知+=一夸，a0 aa=3,夸-3x32,=3 5.3.2等比数列的前n项和 效果评价 1.D【解析】设等比数列的公比为g,由题意g>0, a4=qa,8=2g2,解得q=2,于是a=2=l,故S=4(1-9) 0 1-g 51 高中数学选择性必修第三册人教B版 =1×(1-2)=7.故选D. 1-2 2.A【解析】等比数列{a}中，a=6,前三项和S= 18,则9++a=18,于是+1-2=0，解得1=-2或 0- g-q 1=1.又该等比数列为正项数列，公比9的值为 1.故选A. 3.D【解析】{a}是等比数列，S,S。-S,S,-S6 成等比数列.S=2,S6-S=4,Sy-S6=8,即a+as+w=8. 故选D. 4.B【解析】设等比数列{a}的公比为9，q>0, 2a4与as5的等差中项为4，∴2a4+a5=2×4=8.又a=1, .2g+g2-8=0,.(g+4)(g-2)=0,解得q=2或9=-4（舍 去)，∴.{a}的通项公式为a=1×23=2-3,S=a+a+a= 子+分+1子故选B. 5.C【解析】当n≥2时，a=S-S=22,又a=S=2, 即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256， 数列a的前10项中5=41023=341，S2+ 1-43 2-2490-12.多器改选c 1-4 3 6.C【解析】S1-S=a,又等比数列{a}的公比 为q,∴.a+1=0,g,∴SnH-Sn=a,g,即S+1=Sn+a,g,故A正 确；S1+qS=a+q(a+a+a3+…+a)=a+ag+a2g+asq+…+ ag=a1+a+a+…+am+1=Sn1,.S+=S1+gS,故B正确；当 g=-1时，S2=54-S2=S。-S4=0,显然此时S2,S4-S2,S6-S4 不能成等比数列，故C错误；若S,Sn2,S成等差数 列，则Sn42rS=Sn41-S2∴.an2+a=-a2,即2a2-al, 79=}”是5,8,8成等老数列 的充要条件，故D正确.故选C 7.ABC【解析】已知数列{a}为各项为正数的等 比数列，子，=2，=0，解得-2，放A正确： 由条件，得a=2x2-=24,a=(24)2-2-8=44,故{a 他为等比数列，且公比为4，放S8×2D4 2-1 8 52 × 4-1 8 一=24，故B正确；由 41，元x(4 3 于log2a1-l0ga,=log2L=1(常数)，故C正确；loga,= log24=n-4,故S=(1+2+…+n)-4n=n2+n-8n=n2-7n, 2 2 故D错误.故选ABC 8.50【解析】设T=a+a+as+…+9,T=a+a4+a6+…+ ,L=a+a4+a6++am=1, aw六7aa=之5m-T+7=20+7=37. 150,∴.T=+a4+a6+…+a1w-50. 9.-子【解析】设等比数列a的公比为g(g≠ 1),则S=92=-9,即等比数列{al的前 1-q1-g1-9 n项和Sn要满足S=AB-A(AB≠0).又.S=5×3-+t= 各x3,-号 5 10.号【解析】公比为2的等比数列{a,S心 S,=2+02m+e=0s+a+色-7ae=l,则4 2 4 4 11.8【解析】设第8-n(n∈N,1≤n≤7)层的灯 数为a,eN,由题意，可知数列{a}是公比为2的等比 数列，则122≥1000，解得4≥1000≈7.9，且 1-2 127 aeN,.顶层最少有8盏灯. 12.解：(1)设{a}的公差为d,由a1=2,S4=2as, 可得4x2+4X3d-2(2+4d),解得d-2,.a,=a+(-1)d=2n. 2 (2)由(1)，可知b=2=4",易知{b}是公比为4 的等比数列，可得T=414)=44 1-43 13.解：(1)数列{a为等差数列，公差为d, a=d=2,.∴.a=2n. 又·数列b}为各项均为正数的等比数列，设公 比为q,9>0,g2=6.4=b地-24=4，q=2 b2+b3b2+b36 又b+b3=b+b2q=b+2b2=6,得b=2, b=bg2-=2X22-2- (2)由(1)，得cw=2n+21, 则S=(2+4+6+…+2n)+(1+2+22+…+2-) =-n(2+2nm)+1-2 2 1-2 整理，得S=n(n+1)+2-1. 提升练习 14.C【解析】设等比数列{a}的公比为g,由题 (1-g) 意，知g≠1，则由=5，得19=5，则19=5， S4 a1(1-g4) 1-9 ∴.g4=4,即g2=2.am+a4=2(1+g2)=3a=6,∴.=2，∴.a0= a9=2×42=32.故选C 15.B【解析】当n=1时，a=2,当n≥2时，由S= 2a,-2,得Sn-1=2an-1-2,两式相减，得an=2aw-1,.数列 {a是以2为首项、2为公比的等比数列，∴a=2",a=2, 适合上式，22=225故选B. ●"阶段性练习卷（仁） 1.B【解析】由题意，知物恤-1女+-号=7， 解得g2=2. .'.a+5+a=(a+a+a5)g2=21x2=42.故选B. 2.C【解析】4+9-5+8，a4=0ss=-18.又a5+ a-3,可解得-6，a=3, 3或/ 设等比数列{a}的公 a=-6. as-6, 比为q,则当 las=3 时，g1 2 当/3， as=-6 时，9产会-2，aa号0-一子 (-6x(-2)=.放选C 3.D【解析】设第n个单音的频率为a,由题意， 2-代V万n≥2).a为等比数列.af.aa (代V2)-/2f故选D. 参考答案。 4.A【解析】由于公比为g的等比数列{a}的首项 a>0,as>0,a>0.若a5>a,则a92>a,∴.g2>1,即q>1 或g<-1,∴公比为g的等比数列{a}的首项a>0,则 “q>I”是“as>”的充分不必要条件.故选A 5.D【解析】a=log.+1)=lD(n≥2，neN), Ign 44ag…a4=log2(k+1)·又a1a2a…a4为整数， ∴.k+1必须是2的n次幂（n∈N),即k=2-1.∴k∈ [1,2022]内所有的“幸运数”的和S=(2-1)+(22- 1)+(2-1)+(2-1)++(2°-1)=21-22-10=2036. 1-2 故选D. 6.D【解析】等比数列{a}的各项均为正数，a>1, a6+a>a6+1>2,∴.(a61)(a,-1)<0. a>l,若a<1,则一定有a<l,a6+a,<2,不符合题 意；.a6>1,a<1,.0<q<1,故A,B正确；.a+1>2, .a>l,Tn=aa·…·an=(a6)>l,故C正确；T3= aaa·a2a-a<l,故D错误.故选D. 7.BC【解析】令b,=,则=a=L(m∈N, 6n a+l g 是等比数列，故A正确；若a,<0,则1og4无意 义，故B错误；当q=-1时，a+a1=0,此时{a+a}不 是等比数列，故C错误；若S=3-+r,则a=S=1+r,a= Sz-S=3+r-(1+r)=2,a=S,-S=9+r-(3+r)=6,由{a}是等 比数列，得a=aa,即46(1+)，解得=-了，故D正 确.故选BC 8.ABC【解析】根据条件，可得a=ag-1,则2= aq209,2m4=04q2m.又：a1>1,则a2m2m=aiq409>1, ∴q>0.若q≥1，则a0m=19208>1,am=aq201, ∴.(a2m-1)(am-1)>0与条件(a2o-1)(a2m-1)<0矛盾， .0<q<1,故A错误；由a>1,0<g<1,可得等比数 列{a}单调递减，又(a2m-1)(am-1)<0,可得m> 1,0<2m1<l,.T2m是Tn的最大值，故B错误；由a> 1,0<g<1,可得等比数列{a}单调递减，可得0> 1,，0<a<1,m=5a1,a52∈(0,1)，故C错误； T4040=042·a40w=(a1'a400200=(a200'420a)20>1,T400= T49a4o*>1,由上可知0<a4o4<1,可得T49>1,由此类 53N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.3.2等比数 效果评价 1.已知数列{a}是公比为正数的等比 数列，Sn是其前n项和，a2=2,a4=8,则S3= A.63 B.31 C.15 D.7 2.在正项等比数列{a}中，a=6,前三 项和S,=18,则公比g的值为() A.1 R为 c.-1 D 3.已知等比数列{a}的前n项和为Sn, S,=2,S6=6,则a+ag+ag=（) A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知{a}是各项均为正数的等比数 列，其前n项和为S,=1,且2a4与a5的 等差中项为4，则S3等于() A圣 B子 c11 4 D 5.已知数列{a}的前n项和Sn=2-+1, 则数列{a}的前10项中所有奇数项之和与 所有偶数项之和的比为() A B.2 c器 D.341 172 14)练 列的前n项和 6.已知等比数列{a的公比为g,前n 项和为Sn,则下列命题中错误的是（) A.S=S+ang B.SH=S1+qSn C.S2,S4-S2,S。S4成等比数列 D“9=号”是s,S,S成等差数 列”的充要条件 7.（多选题)已知{a}是各项为正数的 等比数列，心，-2.记S是数列a的 前n项和，Tn是数列{a)}的前n项和，则 下列说法正确的是（) A.数列{a}的公比为2 B224 C.数列{Iog2a}为等差数列 D.数列{log2}的前n项和为n2-3n+24 2 8.在等比数列a中，9=3,5m=150, 则a+a4+6+…+a1oo的值是 9.已知等比数列{a}的前n项和为Sn, 若Sm=5x3+t,则t= 10.公比为2的等比数列{am}的前n项 和为Sn,若S223-S22=1,则20= 。 11.我国古代数学著作《算法统宗》记 载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意 思是：塔总共七层，相邻两层，下一层灯数 是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少 于千盏灯，则顶层最少有 盏灯. 12.已知等差数列{a}的前n项和为 Sn,且a=2,S4=2a5. (1)求数列{a}的通项公式. (2)设数列{b」}满足b=2,求{b}的 前n项和Tn 第五章数列。 13.已知数列{a}为等差数列，公差为 d,a=d=2;数列{b}为各项均为正数的等 比数列，b2+b=6,b+b=24, (1)求数列{a}和{b}的通项公式. (2)若cnm=a,+bn,求数列{cn}的前n项 和Sn 提升练习 14.记Sn为等比数列{a}的前n项和， 若8=5，+a4=6,则ao=（) S A.-64 B.-32 C.32 D.-32或32 15.已知数列{a}的前n项和为Sm,且 满足Sn=2an-2,则a2s=（） A.224 B.22025 C.2226 D.22026_2 练(15