5.3.2等比数列的前n项和（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.2等比数列的前n项和 信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，则信息传播的人就会迅速增多. 你能给出合理的解释吗？请进入本节课的学习！ 1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式；（重点） 2. 了解等比数列的前 n 项和公式与函数的关系； 3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题.（难点） 探究点1 等比数列前n项和公式 我们来研究新课导入中的问题： 思考1：假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人构成了一个什么样的数列？是等比数列吗？ 【提示】每一轮传播后，信息传播的人构成数列1，3，9，27，81, … 是等比数列，且首项为1，公比为3. 思考2：如果信息按照上述方式共传播了19轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 【提示】我们需要计算出等比数列1，3，9，27，81，…的前20项的和，即要算出的值. +…+ ① 在①式两边同时乘以3 3+…+ ② x3 为什么要X3，下一步要怎么处理 3+…+ ② +…+ ① ① － ②，得 因此， 也就是说经过19轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿， 比我国的总人口还多！ 这种求和方法叫： （乘公比）错位相减法 思考3：若等比数列{}的公比为，请同学们自由讨论，自己试着推导一下等比数列前n项和公式？ 【提示】{}的前 n 项和是： ，即 Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ① 由 ①– ②得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)； Sn = a1 + a1q2 + a1q3 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ② 在①式两边同时乘以 当 q ≠ 1 时，Sn = ； 当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1； 等比数列的前 n 项和公式： 由可得： 例 1.已知等比数列的公比为，且，求这个数列前8项的和. 【解析】因为 ， 所以， 因此255. 例 2.已知等比数列中，，求这个数列前10项的和. 【解析】由等比数列的通项公式可列方程组 两式相除约分解得 ，， 因此. (1)知三求二：利用这五个基本量的关系列方程求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用与列方程组求解． (2)要注意公比和两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元． 【总结】 在公式选择上 已知，q，n 选用公式（1）更方便； 已知 ，q，选用公式（2）更方便. 若等比数列满足＋=20，＋=40， 则公比q= __________ ；前n项和Sn=__________. 跟踪训练 ： 【解析】由等比数列的通项公式可列方程组 两式相除约分解得 ，， 因此. 2 探究点2 等比数列前n项和的性质 思考1：在等比数列{an}中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 当时，，类似关于n的正比例函数； 当时，展开 如果记， 【提示】 在 中，令=A，则 . 则可以看出是关于的一个指数型函数与常数的和，并且指数式的系数与常数项互为相反数. 思考2：如果数列{an}的前项和的公式是， 其中A，B，都是常数，，若 ，那么{an}一定是等比数列吗？ 呢？ 【提示】 例 3.已知数列的前项和为，求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列. 【解析】当时，有， 当时，有=)=. 当时不满足此式，因此通项公式为=. 又因为= ，= 因此=，=2，可知不是等比数列. 思考：在等比数列的前n项和还有哪些常用性质呢？ 等比数列前n项和的三个常用性质 (1)若等比数列{}共有2n项，则 =q. (2)如果{}为公比为q的等比数列，对 m,p∈N+ 有Sm+p=Sm+qmSp. (3)数列{}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n．．． 也是等比数列． 探究点3 等比数列前n项和公式的应用 例4.求和：……. 分析：数列9，99，999，…不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为就容易解决了. 【解析】原式 这种求和方法叫： 分