第五章 数列 测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

第五章章 （时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1数列-1，景，与，台、…的-个通 项公式是() A.a=(-1).n2+n 2n+1 B.a,=(-1).n2+3 2n-1 C.a,=(-1)n.(n+1)2-1 2n-1 D.a,=(-1).n(n+2) 2n+1 2.记Sn为等差数列{a}的前n项和， 若a+as=24,S。=48,则{a}的公差为（） A.8 B.4 C.2 D.1 3.用数学归纳法证明不等式1+1 n+1n+2 41<4.1 n+3+…+2m<5-2mtLn≥2，n∈N+）的 过程中，由n=k递推到n=k+l时，不等式左 边应添加的项为() A2k42 B.1 1 2k+1+2k+2 11 C.2k+1+2k+2k+1 1 111 D.2k+1+2k+2k+1k+2 第五章章末测试卷。 末测试卷 满分：150分) 4.图1是中国古代建筑中的举架结构， AA',BB,CC',DD'是桁，相邻桁的水平 距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古 代建筑屋顶截面的示意图.其中DD,CC, BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相 等的步，相邻桁的举、步之比分别为品 05,%,照，盘6已知 k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k=（) 图1 图2 第4题图 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 5.设Sn,Tn分别为等差数列{a},{b} 的前n项和，且产=t,则=( T 4n+5 b2+b6 A器 B. C.17 D号 6.北京天坛的圜丘坛为 古代祭天的场所，分上、中、 下三层，上层中心有一块圆 形石板（称为天心石），环绕 天心石砌9块扇面形石板构 第6题图 高中数学选择性必修第三册人教B版 成第一环，向外每环依次增加9块，下一层 的第一环比上一层的最后一环多9块，向外 每环依次也增加9块，已知每层环数相同， 且下层比中层多729块，则三层共有扇面形 石板的块数为（不含天心石）() A.3699 B.3474 C.3402 D.3339 7.对于实数x,[x]表示不超过x的最 大整数.数列{a}的通项公式满足a, 1 ，前n项和为S,则[S]+ Vn+l+Vn [S2]+…+[S4o]=() A.105B.120C.125D.130 8.若a,b是函数f(x)=x+mx+n(m<0, n>0)的两个不同的零点，且a,b,-1这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排 序后成等比数列，则m+n=() A-3 B.-1 c号 D名 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等比数列{a}中，满足a=1, q=2,Sn是{a}的前n项和，则下列说法正 确的是() A.数列{a}是等比数列 B.数列 是递增数列 C.数列{loga}是等差数列 D.数列{a中，So,So,S0仍成等比 数列 10.已知无穷等差数列{a}的前n项和 为Sn,S<S7,且S>Sg,则() A.在数列{a}中，a最大 B.在数列{a}中，a或a4最大 C.S3=S1o D.当n≥8时，a<0 11.已知Sn是等差数列{a}的前n项 和，S2o19<S221<2m,设bn=a,4+1an+2,数列 公的前n现和为工，则下列结论中正确的 有() A.a202>0 B.4221<0 C.a2019202m>2e1'202 D.当n=2019时，Tn取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分： 12.在各项均为正数的等比数列{an 中，a=2,且2，a4+2,45成等差数列，记Sn 是数列{a}的前n项和，则S。= 13.如果数列{a}满足a2-al=k(k 为常数)，那么数列{a}称为等比差数列， k称为公比差.给出下列四个结论：①若数 列{a}满足a=2n,则该数列是等比差数 列；②数列{n·2叫是等比差数列；③所有 的等比数列都是等比差数列；④存在等差数 列是等比差数列.其中所有正确结论的序号 是 14.数列{a}满足an+2+(-1)a,=3n-1, 前16项和为540，则a= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{a}中，a=m, 且ant1=3a+2n-1,bm=an+n(n∈N*）. (1)判断数列{b}是否为等比数列， 并说明理由 (2)当m=2时，求数列{(-1)"a}的前 2022项的和S22 16.(15分)已知公比不为1的等比数 列a,其前n项和为，，且s S2,3成等差数列 (1)求数列{an}的通项公式. (2)若bn=a,cos(nT),求数列{nbn}的 前n项和. 第五章章末测试卷。 17.（15分)Sm为等差数列{an}的前n 项和，且4=1，S7=28.记bn=[1gan],其中 [x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0， [1g99]=1. (1)求b1,b11,b1o1 (2)求数列{b」的前1000项和. 18.(17分)已知数列{an}的前n项和 为S,首项为a4,且2S-a=a (1)证明：{an}为等差数列. (2)若数列{a}的首项为-1，公差为 2,且不等式a,-2-(2入-入2)<0对任意的正整 数n恒成立，求实数入的取值范围. 3 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 19.(17分)森林资源是全人类共有的 宝贵财富，其在改善环境、保护生态可持续 发展方面发挥着重要的作用.为了实现到 2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加 60亿立方米这一目标，某地林业管理部门 着手制订本地的森林蓄积量规划.经统计， 本地2020年底的森林蓄积量为120万立方 米，森林每年以25%的增长率自然生长，而 为了保证森林通风和发展经济的需要，每年 冬天都要砍伐掉s万立方米(10<s<30)的 森林.设an为自2021年开始，第n年末的森 林蓄积量（单位：万立方米）· (1)请写出一个递推公式，表示an+1,a 两者间的关系. (2)将(1)中的递推公式表示成a1 k=r(am-k)的形式，其中r,k为常数 (3)为了实现本地森林蓄积量到2030 年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为 多少万立方米？（精确到1万立方米）》 参考数据：=596，=7.45， =931. (4测试卷参考答案 >“第五章章未测试卷 1D(解标】数列-1，号，当，头、，即数列 -图，2婴，-9，智，，放它的一个通项公式 3 7 是a=(-1.nm+2.故选D. 2n+1 2.B【解析】a4+as=a1+3d+a1+4d=24,S。=6a+6x5d= 2 2a+7d=24,① 48,联立得 ①×3-②得(21-15)d=24,即 6a+15d=48.② 6d=24,.d=4.故选B. 3.C【解析】当n=k时，不等式左边=6中k+2 1 南+…+： 1 当m=k+1时，不等式左边= ，1,1 +2++3+4++2元 *2+2两式相酸2十水2和枚迹C 1 4.D【解析】设OD=DC=CB1=BA1=1,则CC=k, BB=k2,AA=k,依题意，有k30.2=k1,k30.1=k2,且 DD+CC+BB+44=0.725,05+3=0.3=0.725,故k= OD+DC+CB+BA 4 0.9.故选D. 5.A【解析】由题意，S,Tn分别为等差数列{a}, b}的前n项和，且S=3n+2 T.4n+5 不妨取S,=3n2+2n,T=4n2+5n. 当n=1时，a4=S=5,当n≥2时，a,=S-S=6n-1, 经验证，当n=1时上式成立. 综上，数列{a}的通项公式为a=6n-1. 同理可得，数列b}的通项公式为b=8n+1, 则密会器政达入 6.C【解析】设第n环扇面形石板块数为a,第一 层共有n环，则{a,}是以9为首项、9为公差的等差数 列，a=9+(n-1)×9=9m. 设Sn为{a的前n项和，则第一层、第二层、第 三层的块数分别为Sn,S-S,S.-S,下层比中层多 729块，.S-S2=S2-S+729, 参考答案。 即3m(9+27m）_2m(9+18m=2m(9+18m）-n(9+9m+ 2 2 2 2 729,即9m2=729,解得n=9, S=S27x9+927=3402.故选C 2 1 7.B【解析】aV+V元V可-Vn,8 (V2-1)+(V3-V2)+…+(Vn+I-Vn)=Vn+1-1. 当1≤n≤2时，[Vn+1-1]=0;当3≤n≤7时， [Vn+1-1]=1;当8≤n≤14时，[Vn+I-1]=2; 当15≤n≤23时，[Vn+1-1]=3;当24≤n≤34 时，[Vn+1-1]=4,当35≤n≤40时，[Vn+1-1]=5. .∴.[S1]+[S2]+…+[S0]=2×0+5×1+7x2+9×3+11×4+6×5= 120.故选B. 8.A【解析】a,b是函数fx)=x2+mx+n(m<0,n> 0)的两个不同的零点，a+b=-m>0,ab=n>0,可得a, b都是正数 由△=m2-4n>0,可得(a+b)2-4ab=(a-b)>0, 不妨假设a>b>0,a,b,-1这三个数可适当排序 后成等差数列， 则a,b,-1需按从大到小或从小到大排列， b为-1，a的等差中项，即-1，b,a或a,b,-1成 等差数列，.a-1=2b. 又a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列， 则-1需为a,b的等比中项，即a,-1,b或b,-1, a成等比数列，即b=(-1)l,解得a=2,b=(舍 去负值)· 从面得到m-a6一哥，nl,m=子 故选A 9.AC【解析】等比数列{a}中，满足a=1,q=2, a,=2,∴=22，数列{a}是等比数列，故A正确； 又过合户数列侵是道说数别，改 a.I B错误； loga=log2-=n-1,.{loga}是等差数列，故C 正确； 数到a巾，5=号21,21,5020 79 高中数学选择性必修第三册人教B版 1,S0,S0,Sn不成等比数列，故D错误.故选AC 10.AD【解析】S。<S7,S-S6=>0. S>S8,.S8-S=as<0,.等差数列{a}公差d=as a<0,∴.{a是递减数列，a最大，故A正确，B错误； S0-S3=a4+a5+a6+a+s+a+ao=7a>0,∴.S≠S0,故C 错误； 当n≥8时，a≤as<0,即a,<0,故D正确. 故选AD. 11.ABC【解析】设等差数列{a}的公差为d, S209<S20m<S20,可得S2m1-S20-2r<0,S2m-S209= 2>0, S202-S20ug=am+a22>0, 即42mo>-42m1>0,a20-d>-a2m-d0,即a2u9>-a22> 0,∴.aosm>22a22,dk0,即数列{a}递减， 且a1>0,2>0,…,a2>0,221<0, 又由bw=a,.a+1a+2, 可得1-1 -11-1 b admidu 2d ddel dud2 州嘉品 11 d,dme dntdm2 11-1 2d araz amid2 ,由d<0,要使T取最大值，则 1-1一取得最小值。 a142a+1ar+2 1—>0,而a03>a4>…>a9420>m4m< O+1n+2 420224202<·, :当2020时.取得最小值 a1☑2a+1a2 综上，可得正确的选项为A,B,C.故选ABC 12.126【解析】设等比数列{a}的公比为q,:, a4+2,a5成等差数列，故2(4+2)=a+s.又a1=2,故 2(2q3+2)=2q+2g,即g-2g3+q-2=0,(g3+1)(q-2)=0. g>0,q=2,5.2x1291=126. 1-2 13.①③④【解析】①数列{a}满足u=2n,则 a2-a1=2(n+1)-2n=2,满足等比差数列的定义，故① A+l an 正确； ②数列{n2y,a2-41=n+2)22-(n+1)2」 ala.(n+1)-2*T n…2 n(n+2):2-(n+1)2·2=-2 n(n+1) n(n+1,不满足等比差数列的定 80 义，故②错误； ③等比数列a2-a1=0,满足等比差数列的定义， del d 故③正确； ④设等差数列的公差为d,则42_01=4+24_a+d a an drd an =aa,放当10时，满足-一0，故存在等差 -P 数列是等比差数列，即④正确. 14.7【解析】a+(-1)a=3n-1, 当n为奇数时，a4-a+3n-l; 当n为偶数时，a2ta,=3n-1. 设数列{a}的前n项和为S, S16=a+a2+a3ta+…+a16 =0+a+a5+…+as+(a2+a4)+…+(a4+a6） =a+(a+2)+(a+10)+(a+24)+(a+44)+(a+70)+(a+ 102)+(a+140)+(5+17+29+41) =8a+392+92=8a+484=540, ∴.a=7. 15.解：(1)a+=3a+2n-1,.b=am+n+l=3a+2n- 1++1=3(a+n)=3bn 当m=-1时，b=0,故数列b}不是等比数列； 当m≠-1时，b1≠0，.bL=3,故b}是首项为m+ b 1、公比为3的等比数列 (2)由(1)知，当m=2时，{b是首项为3、公比 为3的等比数列， b=33m3”,.0=b-n=3-n, .(-1)a=(-3)-(-1)yn. :52e=-3x[3m1-[0-1+2)+-344++ 1-(-3) (-2021+2022)1=303-1011=3-4047 4 4 16.解：(1)设等比数列{a的公比为q(g≠1)， 且S,S2,3a成等差数列，.有2S2=S+3a,2(a+)= a+3a,即32-2-1-0且q≠1，解得g=3 又ar7,a号广，即a=背，ag 3 (2)由(D,可知a=号人，得6=号)cos(am. .cos(nm)=(-1), b=←号x-13”,即b=3、 T=1x3+2xg3xg+x号 号=x3+2x个号+3x号+…tx3广， ①-②，得号=号'+分+号++号广-x (3, -×号×-3×号 3m1-2n-3 4x3" 17.解：(1)设{a的公差为d,由已知有7+21d= 28,解得d=1. ∴.{a的通项公式为a=n. b=[lg1]=0,b1=[1g11]=1,b1o=[lg101]=2. 0,1≤n<10, 1,10≤n<100, (2)b= .数列b的前1000 2,100≤n<1000, 3,n=1000, 项和为1x90+2x900+3×1=1893. 18.(1)证明：由题意， 得/2S=a+na, 2S=(n-1)a+(n-1)a4(n≥2)， 两式相减，得(n-2)a+a=(n-1)a, (n-2)a+a=(n-1)ar-1, 从而 (n-1)a+a=a, 两式相减，得(n-1)a+(n-1)an=(2n-2)ar 又n-1≠0，∴.am+an=2a,.{a}为等差数列. (2)解：数列{a首项为-1、公差为2，∴.a=-1+ 2(n-1)=2n-3,∴.不等式a-2-(2入-入2)<0可化为2入-> 令fm)=2-3(meN),则fn+1)-fm)=21- 2 2学-空，当a=1或-2时，有a+-m0,即 2-1 fn+1)>fn),∴f3)>f2)>f1). 当n≥3时，有fn+1)-fn)<0,即fn+1)f(n), 参考答案。 则f4)>f5)>f6)>>fn)>… 又3)4g-子 :不等式2以-32=3对任意的正整数n恒成立， 2- 2>子，解得子<子 实数入的取值范围为分，多引 19.解：(1)由题意，得a=120x(1+25%)-s=150-s, aa1+25%)s=a① (2)将an-k=r(a-k)化成a+1=ra+h-k,② 5 5 比较①2的系数，得”寸，解得厂子· T= k-rh=-s, k=4s 递推公式为ar4=子a4) (3)a-4s=150-5s,且s∈(10,30)， a-4s≠0，由(2)，可知41-4=5 ax-4s -4” 即数列a4的是以150-5s为首项、各为公比的等 比数列，其通项公式为a4=(150-5)子 a-4+(150-5)月 2030年底的森林蓄积量为数列{a的第10项， ar4sr150-s0-2 由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目 标，an≥4x120.即4+(150-5子≥480. 即4s+(150-5s)×7.45=4s+1117.5-37.25s≥480，解得 s≤19.17. .每年的砍伐量最大为19万立方米. 一"第六章章末测试卷 1.C【解析】函数的导数f'(x)=-+ x中2，要使函数 在(-1，+)上是被函数，则∫')-=+京2≤0，在 -1,+)恒成立，即中2≤，1，+2>10，即 b≤x(x+2)成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1, x>-1,y>-1,.要使b≤x(x+2)成立，则有b≤-1.故 81