第9章 因式分解章节重难点复习（3个知识点+9种题型） 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了因式分解的知识体系，将因式分解的概念、常用方法（提公因式法、公式法）及一般步骤按照“概念理解-方法掌握-步骤应用”的逻辑层次组织，清晰呈现重难点分布和内在联系。 讲义的亮点在于“分层递进”的题型设计，从基础概念辨析（题型一）到方法应用（题型二至四），再到综合应用（题型六至九），如通过“判定三角形形状”（题型八）引导学生运用因式分解解决几何问题，培养应用意识和推理能力。每个题型配有例题和变式练习，基础薄弱学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，教师可据此实施精准教学。

第9章 因式分解 章节重难点复习（3个知识点+9种题型） 【题型归纳】 【题型一】因式分解的基本概念 1 【题型二】提公因式法 2 【题型三】公式法 3 【题型四】十字相乘法和分组分解法 4 【题型五】因式分解综合练习 5 【题型六】因式分解的综合应用--求系数的值 6 【题型七】因式分解的综合应用--求代数式的值 7 【题型八】因式分解的综合应用--判定三角形的形状 8 【题型九】因式分解的综合应用--整体思想 9 一、知识梳理 【知识点1】概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【知识点2】因式分解的常用方法 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【知识点3】因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 二、题型精讲 【题型一】因式分解的基本概念 例1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，故A不符合题意； B、是整式的乘法，而且原运算错误．故B不符合题意； C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 【变式1】下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】 解析：①没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选B． 【题型二】提公因式法 例2.用提公因式法分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解析：A、12abc−9a2b2c2=3abc（4−3abc），故本选项错误； B、3x2y−3xy+6y=3y（x2−x+2），故本选项错误； C、−a2+ab−ac=−a（a−b+c），正确； D、x2y+5xy−y=y（x2+5x−1），故本选项错误． 【变式2】因式分解： （1） （2） （3） 【答案】见解析 【解析】 （1） （2） （3） 【题型三】公式法 例3.下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】①（-2ab+5x）(5x+2ab)= （5x -2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确; ②(ax－y)(-ax-y) =- (ax－y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确; ③(-ab-c)(ab-c)=- (ab+c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确; ④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.正确的有①②③.故选B. 【变式3-1】因式分解： （1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）； （2）（x2+1）2﹣4x2． 【分析】（1）用提取公因式法分解因式； （2）用平方差公式、完全平方公式分解因式． 【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y） ＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）] ＝2x（a﹣b）， （2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【变式3-2】分解因式： ①8m2n+2mn； ②2a2﹣4a+2； ③3m（2x﹣y）2﹣3mn2； ④x4﹣2x2+1． 【分析】①利用提取公因式法进行因式分解； ②先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解； ③先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解； ④先根据完全平方公式，再根据平方差公式进行因式分解． 【解答】解：①原式＝2mn（4m+1）； ②原式＝2（a2﹣2a+1） ＝2（a﹣1）2； ③原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2] ＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）； ④原式＝（x2﹣1）2 ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【题型四】十字相乘法和分组分解法 例4.因式分解 【答案】见解析 【解析】 因式分解： 【变式4-1】因式分解： （1）； （2）x2- 2x -15； （3）x2- y2- 4x+6y-5． 【思路点拨】 （1）利用分组法变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． （2）利用十字相乘法分解因式即可． （3）变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 【变式4-2】因式分解： 【答案】见解析 【解析】 【题型五】因式分解综合练习 例5.分解因式： （1）2x2﹣12x+18； （2）a3﹣a； （3）4ab2﹣4a2b﹣b3； （4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）． 【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可； （3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可； （4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可． 【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2； （2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）； （3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2； （4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【变式5】因式分解： （1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab； （2）4a2﹣（a2+1）2； （3）x4﹣8x2﹣9； （4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2． 【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可； （2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可； （3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可； （4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可． 【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）； （2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2； （3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）； （4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2． 【题型六】因式分解的综合应用--求系数的值 例6.若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（　　） A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10 【分析】根据题意可得4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），再根据多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【解答】解：∵2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式， 设4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（kx+b）， ∴2kx2+（2b﹣5k）x﹣5b＝4x2+mx﹣5， ∴2k＝4，5b＝5， 解得k＝2，b＝1， ∴4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1）， ∵（2x﹣5）（2x+1）＝4x2﹣8x﹣5， ∴m＝﹣8． 故选：C． 【变式6】已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x+2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B． 【分析】（1）由A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，得A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）+4，那么（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4．，从而求得a． （2）由A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）+6，得x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3），进而解决此题． 【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5， ∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4． ∵A+B＝（x+2）2， ∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4． ∴3+a＝4． ∴a＝1． （2）由（1）得：A＝x2+3x+5． ∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6． ∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）． ∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6． ∴3﹣a＝﹣5． ∴a＝8． ∴A+B＝x2+11x+4． 【题型七】因式分解的综合应用--求代数式的值 例7.已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则p+q＝　7　． 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【解答】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5）， ∴x2+px+q＝x2﹣8x+15， 故p＝﹣8，q＝15， 则p+q＝﹣8+15＝7． 故答案为：7． 【变式7】若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值． 【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可． 【解析】∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1， ∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2） ＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6． 【小结】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【题型八】因式分解的综合应用--判定三角形的形状 例8.已知△ABC的三条边分别是a、b、c． （1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负． （2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状． 【分析】（1）运用因式分解法将（a﹣c）2﹣b2转化为（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），借助三角形的三边关系问题即可解决．（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决． 【解析】（1）（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）； ∵△ABC的三条边分别是a、b、c．∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴（a﹣c）2﹣b2的值的为负． （2）∵a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，∴a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0； 又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，△ABC为等边三角形． 【小结】该命题主要考查了因式分解法、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判定等方面的应用问题；解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断． 【变式8】如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：是等边三角形 证明：∵， ∴． ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系． 【题型九】因式分解的综合应用--整体思想 例9.【阅读材料】 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2； （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4； （3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． 【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得； （2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案． 【解析】（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）． （2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2． （3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2． ∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数． ∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． 【小结】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． 【变式9】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程. 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【分析】 （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可． （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． 【解析】 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选C （2）原式== （3）设． 【小结】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 章节重难点复习（3个知识点+9种题型） 【题型归纳】 【题型一】因式分解的基本概念 1 【题型二】提公因式法 2 【题型三】公式法 2 【题型四】十字相乘法和分组分解法 3 【题型五】因式分解综合练习 3 【题型六】因式分解的综合应用--求系数的值 4 【题型七】因式分解的综合应用--求代数式的值 4 【题型八】因式分解的综合应用--判定三角形的形状 4 【题型九】因式分解的综合应用--整体思想 5 一、知识梳理 【知识点1】概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【知识点2】因式分解的常用方法 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【知识点3】因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 二、题型精讲 【题型一】因式分解的基本概念 例1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．； 【变式1】下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】提公因式法 例2.用提公因式法分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】因式分解： （1） （2） （3） 【题型三】公式法 例3.下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-1】因式分解： （1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）； （2）（x2+1）2﹣4x2． 【变式3-2】分解因式： ①8m2n+2mn； ②2a2﹣4a+2； ③3m（2x﹣y）2﹣3mn2； ④x4﹣2x2+1． 【题型四】十字相乘法和分组分解法 例4.因式分解 【变式4-1】因式分解： （1）； （2）x2- 2x -15； （3）x2- y2- 4x+6y-5． 【变式4-2】因式分解： 【题型五】因式分解综合练习 例5.分解因式： （1）2x2﹣12x+18； （2）a3﹣a； （3）4ab2﹣4a2b﹣b3； （4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）． 【变式5】因式分解： （1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab； （2）4a2﹣（a2+1）2； （3）x4﹣8x2﹣9； （4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2． 【题型六】因式分解的综合应用--求系数的值 例6.若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（　　） A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10 【变式6】已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x+2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B． 【题型七】因式分解的综合应用--求代数式的值 例7.已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则p+q＝　　． 【变式7】若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值． 【题型八】因式分解的综合应用--判定三角形的形状 例8.已知△ABC的三条边分别是a、b、c． （1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负． （2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状． 【变式8】如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【题型九】因式分解的综合应用--整体思想 例9.【阅读材料】 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2； （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4； （3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． 【变式9】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程. 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $