第九章 解三角形 测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第九章章末测试卷。 第九章章末测试卷 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，：5.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编 共40分.在每小题给出的四个选项中， 著的《海岛算经》中有一问题：“今有望 只有一项是符合题目要求的 海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千 1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是 步，令后表与前表相直.从前表却行一百 a,b,c,若A=105°，B=45°，b=2V2, 二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参 则c等于() 合.从后表却行百二十七步，人目著地取 A.1 B.V2 望岛峰，亦与表末参合问岛高几何”意 C.V3 D.2 思是：为了测量海岛高度，立了两根表， 2.在△ABC中，AC=3,BC=V7,AB=2, 高均为5步，前后相距1000步，令后表 则△ABC的面积为() 与前表在同一直线上，从前表退行123 步，人恰观测到岛峰，从后表退行127 A.2V3 B.3V3 2 步，也恰观测到岛峰.则岛峰的高度为 c.V26 D ()(注：3丈=5步，1里=300步) 2 A.4里55步 3.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B, B.3里125步 C的对边.若b2=ac,且a2+V3bc=c2+ac, C.7里125步 则A的大小是() D.6里55步 A君 B胃 6.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分 C.2m 3 D. 6 别为a,b,c,若B=2A,则b+c的取值范 4.在△ABC中，如果A=30°，a=1,则 围是() sin4+sinB-sinc等于() a+b-c A.(V2+1,V3+2) A.2 B.1 B.(V2+1,3) C.(3,V3+2) C.V3 D.V3 D.(3,+) 1 N 高中数学必修第四册人教B版 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 边形PQCB,其对应的面积依次记为 为a,b,c,若sinBsinC=V3sinA, S△Aw和S四边形m,则以下结论正确的 △ABC的面积为3Y了，a+b=3V3,则 是( 2 A.λ+=3 .4 c=() A.3 B.1+1=3 入 B.V21或V3 C.S四形m的最大值为S C.V21 S△APW D.21或3 D.S四边形m@的最大值为4 SAAFQ 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若c(acosB-bcosA)=16,a+ 为a,b,c,下列命题正确的是() b=8,C=60°，则c的值等于() A.若a:b:c=4:5:6,△ABC的最大内角 A.V19 是最小内角的2倍 B.3V2 B.若acosB-bcosA=c,则△ABC一定为 C.V17 直角三角形 D.4 C.若a=4,b=5,c=6,则△ABC外接圆 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 半径为16V7 7 共18分.在每小题给出的选项中，有多 D.cos(A-B)cos (B-C)cos(C-A)=1, 项符合题目要求.全部选对的得6分， 则△ABC一定是等边三角形 部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 9.已知A,B,C是△ABC的三个内角，下 共15分 列结论一定成立的有() 12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 A.sin(B+C)=sinA 别是a,b,c,若a=2,且bccosA=a,则 B.cos(A+B)=cosC b+c的取值范围为 C.若A>B,则sinA>sinB 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 D.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形 a,b,c,已知A=60°，b+c=6,且△ABC 10.如图，已知直线1过 的面积为V3,则△ABC的内切圆的半 △ABC的重心G(三 条中线的交点)，与 径为 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 边AB,AC交于点P, 第10题图 为a,b,c,△ABC的面积为S△Bc,则 Q,且AP=入AB,AQAC,直线1将 △ABC分成两部分，分别为△APQ和四 S△MBC的最大值为 a+bc 第九章章末测试卷。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)= 15.(13分)在△ABC中，AB=V2,B=T sinBsin(C-A). 41 (1)求证：2=b2+c2. D为BC边上一点，且BD=3. (1)求AD的长. (2)若=5，cosA亮，求△ABC的周长 (2)若AC=2V2,求sinC. 16.(15分)△ABC的内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知cos2A+ sin4+7=0. (1)若c=2,a=3V3,求sinC的值 (2)若b+c=2a,证明△ABC为等边三 角形. (3 N 高中数学必修第四册人教B版 18.(17分)已知向量m=(sinx,1),n= 固定修车点上进行.还需要运送一些补 V了cos,号令函数e)=-(m+n)m 给物品，例如食物、饮料、工具和配件. 所以项目筹备组需要预留出BD,BE为 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调 赛道内的两条服务通道（不考虑宽度）， 递增区间， ED,DC,CB,BA,AE为赛道，∠BCD= (2)△ABC中，内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,∠ACB的平分线 ∠BAE2，LCBD-年，CD=2V6km, 3 交AB于点D.其中，函数f(C)恰好： DE=8 km 为函数f(x)的最大值，且此时CD= (1)从以下两个条件中任选一个条件， f(C),求3a+b的最小值. 求服务通道BE的长度 ①∠CDE-7F:②eosLDBE--号 (2)在(1)的条件下，应该如何设计， 才能使折线段赛道BAE最长（即 BA+AE最大)？最长值为多少？ 第19题图 19.(17分)某市拟修建公路自行车比赛赛 道，该赛道的平面示意图为如图的五边 形ABCDE,运动员的公路自行车比赛中 如出现故障，可以从本队的器材车、公 共器材车或收容车上获得帮助.比赛期 间，修理或更换车轮或赛车等，也可在 4测试卷参考答案 >"第九章章末测试卷 1.D【解析】由已知，得C=180°-B-A=30°，根据正弦 定理，得2V2」 sin45osin30，故c=2. 2.B【解析】由余弦定理，得cosM=AB+4C-BC 2ABAC 2+32-(V7)2=1, 2×2×3 2，sin4=V1-cosA=,△ABC 2 的面积为号464G~sn=3×23xY:33 22 3.A【解析】由已知，得b2=ac,因此+V3bc=c2+ac 可化为+e--V3bc,于是cosA=2d=Y3,又 2bc 2 Ae(0,),M=君 4.A【解析】由正弦定理，可得2R=sn30=2, a+b-c 2sinA+2sinB-2sinC-2. sinA+sinB-sinc sinA +sinB-sinC 5.A【解析】如图，由题意，得BC=DE=5步，设AH= A步，BF23,DG=127,名=2.H1230,同理HG 127h,由题意，得(HG-127)-(HD-123)=1000,即127h 5 5 123h-4=1000,h=1255(步)=4里55步，故选A. 5 B FD G 第5题答图 6.A【解析】由正弦定理，得b+c=sinB+sinC= sinA sinB+sin(A+B)sin2A+sinA cos24+cos4 sin2A =2cosA+ sinA sinA 2cos4-1+2c0s31=4cosM+2c0s4-1=4c0s4+4）2- 4 0<A<,0<A<， :△4BC为锐角三角形，0<B<受，即0<24<受 0<C<，0<m-3M<, 参考答案。 君1<牙<as<V罗，：b的取值指国是 2 (V2+1,V3+2). 7.D【解析】由sinBsinC=V3sinA,得sinC=V3sinA= sinB ,5 sinC3,aV3.又a叶 6=3V3,h=2V3,sinc=a=Y,cos=±3.当 2 cosC=时，c=√3+12-2xV3x2V3×7=3:当cosC= -3时，c=V3+12-2xV3x2V3x-2）=V2. &A【解折1 c(cosB-cosA)=an6,2) 2ac 16,∴a2-b2=16.又由a+b=8,则a-b=2,.a=5,b=3.又C= 60°，故c2=2+b2-2 abcosC=25+9-15=19,.c=V19. 9.AC【解析】由A+B+C=T,则sin(B+C)=sin(T-A)= sinA,故A正确.cos(A+B)=cos(T-C),故B不正确.由三 角形中大角对大边，A>B,则a>b,根据正弦定理，有 sinA>sinB,故C正确.在三角形中，若sin2A=sin2B,得 24=-2B或2A+2B=mA=2或A+B=7,则△ABC是等腰三 角形或直角三角形，故D不正确 10.BC【解析】G是△ABC的重心，AC=AB+ 号C.那A,dC,C+40。 P,6,0三点共线，京+01，大+止3，B正确： 5arAB~ACsin,Sur4PA0sin4,same s58w1-a,=-1 以0.0.小+≥2V知即3≥2V石·≤ 号，当且仅当A时取等号，放=-1≤是-1 S△APWL 子，C正确， 11.ABD【解析】A角最小，C角最大.由余弦定理， 得o2-将0.m616-嘉日 0.c021-2cosM-12x-1=g,cow21=os6,01<7 99 N 高中数学必修第四册人教B版 0<C罗，则021<T,2A=C,A正确；ac0sB-bc0s4, 由正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=sinC,sinA cosB- cosA sinB=sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB,cosA sinB=0, 于01<m.0cB<mM=受，放B正确；cC=16536 2×4×5 =有g00<m,snc=V-g-3Y7,设三角形 .51 4BC外接圆半径为R,则2R=如CR=2sinc3077 8 =8Y7,故C错误：0<A<m,-m<B<0,T<A-B<m,故 -1<cos(A-B)≤1，同理，可得-1<cos(B-C)≤1，-1<cos(C- A)≤1，要使cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则需 cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,..A-B=0,B-C=0,C- A=0,A=B=C,D正确. 12.(2,4]【解析】由becosA=a,a=2,得becosA=2, 由余弦定理，得bcb2+c之d-2,即b4c2-=4,b+c2=8.又 2bc ≥告月，得受≥5月解得6+e≤4又6c>a 2,.2<b+c≤4.b+c的取值范围为(2,4]. 13.V3-V2【解析】由题意，得△ABC的面积 S=besin4=Y年be=V3,故be=4.4=60,6e-6. 由余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=24,∴a=2V6, △ABC的周长为6+21V6.设△ABC的内切圆的半径为 r,则分a+6+e)r=7×6+2V6r=V3,=V3- V2. 14.Y5【解析】在△ABC中，Sam=besinA,d-b+ 10 1 besinA c2-2 becos4/,则S1= .1 sinA bbc2bccosA+be 2b+1-2cosA sinA =sinA 221b.9+1-2cos46-4oos4’H议写6e时取 “=”,0<4<m,令1=6400，则6sin4+4cos4= V1+16fsin(A+p),其中锐角p由tanp=4t确定，从而有 6≤V+1F(当且仅当A=号p时取“=”)，解得0<≤ 语，即怎，当△48c是顶角为号g(角e 100 由tap=2Y5确定)的等腰三角形时，取最大值 5 a+bc V5 10 15.解：(1)在△ABD中，AB=V2,B=开，BD=3, 由余弦定理，得AD=AB2+BD2-2AB·BD·CosB=2+9-6V2× V2=5,AD=V5. 2 (2)在△ABC中，AB=V2,AC=2V2,B=开，由 正孩定理，得品，即品-2竖，snC sinC sinπ 4 V2 4 16.()）解：cos2A+sin4+7）-0,2cos2A-1+c0s4= 0,解得c0s4=7或c0A=-1.0<1<,A=号c=2,a 3,南巴多定品立c·置品将利 sinC= 3 (2)证明：由余弦定理，得a2-b2+c2-bc,.2a=b+c,代 入上式，得《h+c2-b2+c2-bc,整理，得(b-c)2=0,b=c.又 4 M=号，△ABC为等边三角形， 17.(1)证明：，sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A), .'.sinCsinA cosB-sinCsinBcosA =sinBsinCcosA -sinBsinA cosC, e.tcb2be.bitcgab.tbitbi 2ac 2bc 2ab 2 62c2-)=-2e,2a2bc2 2 （2)解：a=5,co4引.由(1)得6e2-50.由余 弦定里，可得d=bte2-2bcos4,则50-bc=-25,bc=} 2 故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81,.b+c=9,.△ABC的周长为 a+b+c=14. 18.解：(1m=(sin,1),n=V3cox,- sin+V3cosx,.()=sinx(sin+V3cox) 方ni+V5 hco+宁-上g2+复sn2+分 2 sin2x-石)+1，则fx)的最小正周期为2牙=m.令-受+ 2水m≤2x-石≤受2km,keZ,解得-石+hm≤≤胥km。 keZ,故x)的单调递增区间为[石林m,号+6m小，keZ (2)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值，可得f(C)= sin2C-石)+1-2，即sin2C-石=1.：0<C<m,则可解得C= 号，则DfG=25a=5mt5m号HGB: sinC=2CD:CB:sin∠BCD+2 CA-CD-sin∠ACD,∴V3ab 2a,+君厚.h日+= a b 2 V+台+2)2V后密-4 3 当且仅当合=之，即6=V了a时等号成立3a+6的最小值 为8Y3+4 3 19.解：(I)在△BCD中，由正弦定理，知，BD sin∠BCD CD Sin∠CBD·BD一=2Y6,解得BD=6.若选①， “sn2gsin年 3 ∠BGD=9,∠CB=年，∠BDC=T-(∠BCD+∠CBD)= m-+牙号∠B0E=∠0E-∠B0c晋音受 在Rt△BDE中，BE=VBD+DE=V6+8=I0;若选②，在 2BD-8E,3 △BDE中，由余弦定理，知cos∠DBE=BD+BE-DE, =6tE8,化简，得5BE-36BE-140=0,解得BE=10 2x6xBE 或-号（舍负），故服务酒道BE的长度BE=10, (2)在△ABE中，由余弦定理，知BE=BA2+AE2-2BA· AE·Cos∠BAE,.100=BA2+AE+BA·AE,∴.(BA+AE)2-BA· AE=100,即(BA+ME-100=BAAE≤(BA+ME)2,当且仅 4 当BA=AE时，等号成立，此时子(BA+ME)=I00,BA+ME 的最大值为20V3 3 >"第十章章末测试卷 1.D【解析】(1+i)(2-i)=2+i-iP=3+i.故选D. 参考答案。 2.D【解析】(2a+i)(1+i)=(2a-1)+(2a+1)i在复平面内 所对应的点在虚轴上，2a-1=0,即a=之故选D, 3.B【解析】=243134=11-+ 3-4i 5 5 号，复数31对应的点位于第二象限 3-41 4D偏折】结-2写-号号.01 2.号身.9号 55 5.C【解析】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)= 1+34品1+Y-}i故选C 33 6D【解折】正=0丽-0w-w=+ 2 +号i+}V3i.故选D 7.D【解析】由题意，1+V2i是关于x的实系数方程 x2+bx+c=0,.1+2V2i-2+b+V2bi+c=0,即-1+b+c+ -1+b+c=0, (2V2+V2b)i=0,∴. 解得b=-2,c=3. 2V2+V2b=0, 故选D 8.A【解析】z132=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+ (acosB+bcosA)i..zz2在复平面上对应的点在虚轴上， acosA-bcosB=0,sinA cosA-sinBcosB=0;.'.sin2A =sin2B, 21=2B或21+2B=m:A=B或A+B=受；△ABC是等腰三 角形或直角三角形. 9.AC【解析】设z=x+yi(x,yeR且y≠0)，由 12z+5引=z+101,得(2x+5)2+4y2=(x+10)2+y2,化简，得x2+y2= 25,即k=5,因此虚数z对应的点在以(0,0)为圆心、5 为半径的圆上，A正确，B错误，若品+？=六器十 m z (信i为实数.则品0.又y0且 25,小品0，解得m=5,因此C正确：由(1-2=(1 2i)·(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i及已知，得x+2y=y-2x,即y= =V10 2 s-V10 2 -3x,代入x2+y2=25,解得 或 故z= =3V10 2 =3y0 2 -03y⑩i或z=-Y0+3YDi,因此D错误.故选 2 2 2 2 101