6.3 利用导数解决实际问题-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第六章导数及其应用 6.3利用导数解决实际问题 (1)某广告商要求包装盒的侧面积 学习目标 S(cm)最大，试问x应取何值. 1.了解导数在解决利润最大、效率最 (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm) 高、用料最省等实际问题中的作用 最大，试问x应取何值，并求出此时包装盒 2.能利用导数求出某些实际问题的最大： 的高与底面边长的比值. 值（最小值）· 分析正确引入变量，将面积或体积 表示为变量的函数，结合实际问题的定义 要点精析 域，利用导数求解函数的最值.列函数关系 式时，注意实际问题中变量的取值范围， 要点1利用导数解决有关函数的最大 值、最小值的实际问题 即函数的定义域」 1.与几何有关的最值问题（求几何图形 或几何体的面积与体积的最值)· 2.与物理学有关的最值问题， 思考实际应用问题的解题程序是 什么？ 例1请你设计一个包装盒，如图， ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个 点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x(cm) D 60 B 图1 图2 图6-3-1 学(65 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B 变式训练1 变式训练2 如图所示的几何体由一个正四棱锥和一 晶胞是构成晶体的最基本的几何单元， 个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱 是结构化学研究的一个重要方面.在如图1 长为3，正四棱柱的高为1，求该几何体的体 所示的体心立方晶胞中，原子A与B(可视 积的最大值 为球体)的中心分别位于正方体的顶点和体 心，且原子B与8个原子A均相切.已知 该晶胞的边长（图2中正方体的棱长）为 2V3,则当图1中所有原子(8个A原子 与1个B原子)的体积之和最小时，求原 图6-3-2 子A的半径 图1 图2 图6-3-3 66)学 第六章导数及其应用 川要点2优化问题 B变式训练③ 生活中经常遇到求利润最大、用料最 某大学生毕业后决定利用所学专业回乡 省、效率最高等问题，这些问题通常称为优 自主创业，生产某农副产品.经过市场调研， 化问题 生产该产品需投入年固定成本4万元，每生 利用导数求解优化问题的步骤： 产x万件，需另投入流动成本F(x)万元.已 (1)分析实际问题中各量之间的关系， 列出实际问题的数学模型，写出实际问题中 知在年产量不足6万件时，Fx)=}+4,在 变量之间的函数关系式yf(x). 年产量不小于6万件时，F(x)=9x+64-29.每 (2)求函数的导数f'(x),解方程'(x) 件产品售价8元.通过市场分析，该大学生 =0. 生产的产品当年能全部售完， (3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0 (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大 量x(万件)的函数解析式.（年利润=年销 (小)值， 售收入-年固定成本-流动成本) 例2某市旅游部门开发一种旅游纪念 (2)年产量为多少万件时，该大学生在 品，每件产品的成本是15元，销售价是20 这一产品的生产中所获年利润最大？最大年 元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品 利润是多少？ 的成本不变，质量和技术含金量提高，市 场分析的结果表明，如果产品的销售价格 提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均 销售量减少的百分率为x2.记改进工艺 后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润 是y(元)· (1)写出y关于x的函数关系式 (2)改进工艺后，确定该纪念品的售价， 使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 学(67 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 数学文化 例我国古代数学名著《九章算术》中 将正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面 作垂线，垂足是底面中心的四棱锥)称为方 锥.已知某方锥外接球的半径为2，则该方 锥体积的最大值为 .0 a 图6-3-4 分析 用底面边长表示体积，进一步 通过导数求函数的最大值， 68)学高中数学选择性必修第三册人教B版 fx)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递 增； f代x)的极小值为f代a)=l+lna,无极大值 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值； 当a心0时，f(x)的极小值为1+lna,无极大值 (2)当a≤1时，f'(x)≥0在[1，e]上恒成立， ∵fx)在[1，e]上单调递增，fx)f1)=a; 当1<a<e时，若x∈[1，a),f'(x)<0;若x∈(a, e],f'(x)>0; f(x)在[1，a)上单调递减，在(a,e]上单调递 增， .f(x)mf(a)=1+Ina; 当a≥e时，f'(x)≤0，fx)在[l,e]上单调递减， )e)8l 综上所述，f(x)在[1，e]上的最小值g(a)= a,a≤1， 1+lna,1<a<e, a+l,a≥e. e 变式训练3解：(1)f'(x)=2e(x+2), 由f'(x)>0,得x>-2;由f'(x)<0,得<-2. fx)在(-2，+∞)上单调递增，在(-0，-2)上 单调递减。 .fx)的极小值为f(-2)=-2e2,无极大值， (2)由(1)，知f(x)在(-2，+∞)上单调递增， 在(-，-2)上单调递减. .t>-3,.t+1>-2. ①当-3<t<-2时，f(x)在[t,-2)上单调递减，在 (-2,t+1]上单调递增，·g(t)=f(-2)=-2e2 ②当t≥-2时，f(x)在[t,t+1]上单调递增， gu=2e+1D.g0=2e3,-3ac-2. 2e(t+1),t≥-2. 数学文化 例①②③【解析】y=six的最小正周期是2π，y= 子in2e的最小正周期是罗=， 2 :x=sin+分sin2r的最小正周期是2，放①正确： 当e)-sin+分sin2r-0,xe[0.2m]时， 42 sinx+sinxcosx=0,sinx(1+cosx)=0, 即sinx=0或1+cosx=0, 解得=0或=T或x=2T, f(x)在[0,2π]上有3个零点，故②正确； x)in+sin2sinineos f'(x)=cosx+cosx-sinx=2cosx+cosx-1, 令f')0,解得c0s=号或c0=-1, 当xe0,牙或xe,2m时，<cosx<1, 此时f(x)>0,则fx)在0，牙，(，2m上单调递 增； 当xe胃，时，-1≤cox<3,此时f'(x)≤0 但不恒为0.则x)在罗，买上单调递减，则当x 霄时，函数fx)取得最大值f号）sn号+号sin等= 3 Y+Y4-Y,改3正确，④腊误故答案为0 2 4 ②③. ●"6.3利用导数解决实际问题 要点精析 例1解：设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.由 已知，得=V2x,h=60-2x-V2(30-),0<r<30. 1V2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, ..当=15时，S取得最大值 (2)V=h=2V2(-x+30x2). V'=6V2x(20-x). 由V'=0,得=0（舍去）或x=20. 当x∈(0,20)时，V'>0; 当x∈(20,30)时，V'<0. 当=20时，V取得极大值，也是最大值 此时名之。即包装盒的高与底面边长的比值为 变式训练1解：设正四棱锥的高为h,则0<h<3,底面 积为S,设正四棱锥的底面边长为a,则正四棱锥的底 面对角线长为V2a. 由勾股定理，可得4受a-尖，可得20- h2),则S=2(9-h2).该几何体的体积为 V=号h+sx1=s号+-29-)号+1 令函数)-2(9-)号+1-号3-h(34h月， 则了h)=-号3+h4号(3-h)3+h=-2h-1Dh+3 当0<h<1时，f(h)>0,当1<h<3时，f'(h)<0, .fh)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调 递减.故I)-2x9-1x号+1-号 因此，该几何体的体积的最大值为4 变式训练2解：正方体的棱长为2V了，则该正方 体的体对角线长为2V3xV3=6,设A原子的半径为 T,B原子的半径为R,依题意，2r+2R=6,即R=3-H,0< r3,于是8个A原子与1个B原子的体积之和V=8.4π+ 3 誓r[8+3-1-(r49r-2r+27). 令fr)=7r+9r2-27r+27,0<<3, 求导，得f'(r)=212+18r-27. 由f'r)=0,得=V2-3,当0<<6V2-3 7 7 时，f'(r)<0, 当6V2-3<3时，f'0, 7 因此函数f)在0,6V-3上单调递减，在 (6V2-3,3上单调递增，即当=6V-3时，f 7 取得最小值， 8个A原子与1个B原子的体积之和最小时，原 子A的半径为6V2-3 7 例2解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1+x),月平均销售量为a(1-x2)件，则月平均利润为 参考答案。 y=a(1-x2)[20(1+x)-15](元)， y关于x的函数关系式为=5a(1+4x-2-4x)(0kK1). (2)由y'=5a(4-2x-12x2)=0. 1 -2(舍去 得=2， 当0<分时，y0: 当)<x1时，<0， 函数y=5a(1+4--4)(0<<)在x=号处取得 极大值，即最大值， 故改进工艺后，产品的销售价为20×1+分）=30 (元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 变式训练3解：(1)由题意，当0<x<6时，P(x)=8- 4-分4}+4-4. 当x≥6时，Px)=8x-4-9x+64-29=25-x-64. 34-4,0c6, ∵P(x) 25-g6 (2)当0<x<6时，P(x)=-x2+4,令P(x)=0,解得 x=2. 当x∈(0,2)，P'(x)>0,当x∈(2,6)，P'(x)<0; 则P(x)在(0,2)上单调递增，在(2,6)上单调 递减，当0r<6时，P)n=P2)=青 当≥6时，Pe)25-+≤25-2Vg9.当 且仅当=4，即=8时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为 9万元 数学文化 例2【解析】如图，设方锥P-ABCD外接球的球心 81 为O,下底面的边长为a,高为h,则下底面的中心O 到A的距离OA=2a 2 又.00+042=0A2, 43 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 即-24Y7a-2得--2， 则方锥的体积号=号（8M-2水h=子+号尺 令fh)-子料骨(0h<4. 则f'(h)=-2+1 (44 令h)0,解得h=号，当五e0,弩)时，fh)单 调递增： 当Ae氵，4时，fh)单调递减，∴当h=氵时，方 锥体积取得最大值 此时子号×号