第04讲 导数与函数的极值、最值（3个知识点+13类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第04讲 导数与函数的极值、最值 课程标准 学习目标 1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法； 2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯； 3．了解函数最值的有关概念； 4．会用函数的导数求函数的最值。 1.了解函数的极大（小）值与导数的关系； 2.理解极大值、极小值的概念掌握； 3.掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值的求法； 4.了解函数的最值与极值的区别和联系； 5.理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。 知识点01 函数的极值点、极值 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 【解读】一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有. （1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的； （2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点； （3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值； （4）只是可导函数在处取得极值的必要条件，不是充分条件。 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【解读】“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点． 【即学即练1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 知识点02 函数的最值 1..函数最值的定义 （1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。 （2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。 2.对函数最值的定义理解 （1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。 （2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。 （3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。 3.函数极值与最值的关系 一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。 【解读】求函数的最值时，应注意以下几点： (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 知识点03 恒成立、有解问题的解法 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在上存在最值，在上存在最值： 对于任意的，总存在，使得； 对于任意的，总存在，使得； 若存在，对于任意的，使得； 若存在，对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 若存在，总存在，使得 若存在，总存在，使得． 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是 ． 题型01 函数极值点的辨析 【典例1】（24-25·吉林·高二检测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）（多选）判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则在上既有极大值，又有极小值 C．若，则在上没有极值 D．若，则在上必有极小值 【变式4】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 题型02 导函数图象与极值的关系 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 【变式3】．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【变式4】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 题型03 求不含参函数的极值 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【变式1】（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 【变式3】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 题型04 求含参函数的极值 【典例4】（24-25高二上·全国·课后作业）函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【变式1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且. (1)求的解析式； (2)求（1）中的在上的极值. 【变式2】（24-25高三上·山东济南·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 【变式3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，若有极值，求出的极值． 【变式4】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极大值． 题型05 根据函数的极值求参数 【典例5】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【变式2】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式3】（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 题型06 根据极值点求参数 【典例4】（24-25高二·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式3】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，则“有极值”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 题型07 函数极值与最值的辨析 【典例7】（24-25高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【变式1】（24-25高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）（多选）下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最大值不一定是它的极大值 B．函数的极大值可能小于它的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D．函数在开区间不存在最大值和最小值 【变式3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 题型08 求（不含参）函数的最值 【典例8】（2025高三·全国·专题练习）设m为实数，函数，直线是曲线的切线，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 【变式2】（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是 ． 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）函数，的最大值为 . 【变式4】（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形，圆锥的底面半径为，圆锥内有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型09 求含参函数的最值 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 【变式1】（24-25·青岛·高二·期中）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值. 【变式2】（24-25高二下·全国·课前预习）当时，求函数在上的最值． 【变式3】（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 题型10 已知函数最值求参数 【典例10】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【变式1】（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【变式4】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． 题型11 不等式恒成立问题 【典例11】（24-25河北·衡水·高二期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【变式2】（23-24高二下·山东·期中）若，则实数a的取值范围为 【变式3】（24-25高二下·浙江·期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，函数，若恒有，求的取值范围. 题型12 不等式有解问题 【典例12】（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 【变式2】（23-24高二下·天津东丽·阶段练习）已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式4】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 题型13 函数的零点问题 【典例13】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【变式4】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值 2．（23-24高二下·四川遂宁·期中）函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极值点 C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为 3．（23-24高二下·湖北·期中）若函数的极小值点为1，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则（   ） A．，为奇函数 B．当时，单调递增 C．，使得恰有一个极值点 D．当时，存在三个零点 10．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数的极大值与极小值之和为6 C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 13．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 14．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数的图象上恰好有两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 16．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 18．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 19．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 导数与函数的极值、最值 课程标准 学习目标 1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法； 2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯； 3．了解函数最值的有关概念； 4．会用函数的导数求函数的最值。 1.了解函数的极大（小）值与导数的关系； 2.理解极大值、极小值的概念掌握； 3.掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值的求法； 4.了解函数的最值与极值的区别和联系； 5.理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。 知识点01 函数的极值点、极值 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 【解读】一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有. （1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的； （2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点； （3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值； （4）只是可导函数在处取得极值的必要条件，不是充分条件。 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【解读】“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点． 【即学即练1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 知识点02 函数的最值 1..函数最值的定义 （1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。 （2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。 2.对函数最值的定义理解 （1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。 （2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。 （3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。 3.函数极值与最值的关系 一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。 【解读】求函数的最值时，应注意以下几点： (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解. 【详解】的定义域为， 所以当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以的最小值为． 故选：D. 知识点03 恒成立、有解问题的解法 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在上存在最值，在上存在最值： 对于任意的，总存在，使得； 对于任意的，总存在，使得； 若存在，对于任意的，使得； 若存在，对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 若存在，总存在，使得 若存在，总存在，使得． 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离，后构造新函数，转化为导数来求函数最值即可. 【详解】 由题意得在函数定义域内恒成立， 即在函数定义域内恒成立，即在函数定义域内恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，此时最大值为， 所以实数k的取值范围是． 故答案为： 题型01 函数极值点的辨析 【典例1】（24-25·吉林·高二检测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）（多选）判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 【答案】CD 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A错误； 对于B：若或恒成立，则无极值点，则B错误； 对于C：在内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C正确； 对于D：三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确． 故选：CD． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由极值点的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，在和上单调递增， 所以函数在和上单调递增，没有极值点； 对于B，函数为偶函数， 且当时单调递增， 所以当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值； 对于C，易知函数在上单调递减，没有极值点； 对于D，函数，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值. 故选：BD. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则在上既有极大值，又有极小值 C．若，则在上没有极值 D．若，则在上必有极小值 【答案】AD 【分析】根据零点定义计算求解判断A,求导函数正负得出函数的单调性进而判断极值判断B,构造函数设求出导函数再确定函数的单调性分两种情况分别数形结合判断C,D. 【详解】对于A，若，则,令，则或，故A正确． 对于B，当时，，则,令，得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上只有极小值，没有极大值，故B错误; 对于C，． 设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增,又当时，，且恒成立， 所以的大致图象如图（1），其与直线可能在上有交点，所以有可能有极值，故C错误．    对于D，由C的分析知，直线与的大致图象如图（2）， 则在上必有交点，在点附近，先负后正，则先减后增，其必有极小值，故D正确． 故选：AD． 【变式4】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据导数求值判断A；根据奇偶性的定义判断B；求解函数的单调性及极值判断CD． 【详解】因为，所以，，故A错误； 因为且， 所以函数为奇函数，故B正确； 由，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为，故C错误； 由在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 题型02 导函数图象与极值的关系 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【解析】由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A. 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【答案】B 【解析】因为， 由图可知：，；或，； 且或，；，； 可得或，；，；且函数为连续可导函数， 则在内单调递减，在内单调递增， 可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确； 由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；故选：B. 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 【答案】BC 【解析】由题意可知：当时，（不恒为0）； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 可知：A错误；B正确； 且函数在处取得极大值，故C正确； 虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC. 【变式3】．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，当时，； 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确. 对于D中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确； 故选：C. 【变式4】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项. 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 题型03 求不含参函数的极值 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 【变式1】（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】求函数的导数，求解以及，得到函数的单调区间，判断极大值点代入，从而求出极大值. 【详解】解：， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 【答案】AB 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值进行判断. 【详解】函数的定义域为，且. 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以函数有两个极值点， 函数在处取极大值，为极大值点，在处取极小值，为极小值点. 故选：AB 【变式3】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【答案】2 【解析】， 令，解得或6， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在取得极大值，故极大值点为2. 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【详解】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 题型04 求含参函数的极值 【典例4】（24-25高二上·全国·课后作业）函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)答案见解析 【分析】（1）求定义域，求导，利用导函数的正负求单调区间； （2）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出不同情况下的极值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则. 令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 【变式1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且. (1)求的解析式； (2)求（1）中的在上的极值. 【答案】(1)； (2)当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得答案； （2）利用导数判断出的单调性，分、讨论，结合单调性可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以 ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由题可得， 当时，在上单调递减， 所以没有极大值，也没有极小值； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在时有极小值，为，没有极大值. 综上所述，当，没有极大值，也没有极小值； 当，有极小值为，没有极大值. 【变式2】（24-25高三上·山东济南·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）极小值，无极大值；（ⅱ） 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值； （ⅱ）分析可得，构造函数，，解法一利用导数判断函数的单调性，解法二根据，在内均单调递增得到函数的单调性，再根据求解即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即； （2）（ⅰ）因为的定义域为，且， 令，解得； 当时，；当时，； 所以在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值； （ⅱ）由题意可得：， 因为，所以， 构建，， 因为，所以在内单调递增， 因为，不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 解法二： 由题意可得：，即， 构建，， 因为，在内均单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 【变式3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，若有极值，求出的极值． 【答案】答案见详解 【分析】求出，令，解得或，通过对的大小讨论即可得到其单调区间，进而求得极值. 【详解】 当时，， 所以函数在R上是增函数，无极值； 当时，令，解得或， 不妨令（是与中较小的一个，是较大的一个）， 列表如下： + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当，即时，取，其单调区间如表所示， 极大值为，极小值为． 当，即时，取，其单调区间如表所示， 极小值为，极大值为． 【变式4】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由斜截式得到切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 当时恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 当时恒成立，所以在上单调递增， 则不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 综上所述，当或时不存在极大值； 当时的极大值为； 当时的极大值为. 题型05 根据函数的极值求参数 【典例5】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【详解】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以， 故选：A. 【变式2】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 【变式3】（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 【变式4】（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 题型06 根据极值点求参数 【典例4】（24-25高二·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以，    故选：B 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】求导，根据极值点的定义直接求值，并代入检验. 【详解】由，得， 依题意可得，解得， 当时．，， 令，解得， 列表 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，则“有极值”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出导函数，再求出有极值时的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，若有极值，则有两个不相等的实数根， ，解得； 反之，时，有两个不相等的实数根，有极值. 所以“有极值”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式4】（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 【答案】（或） 【分析】问题转化为在区间有且只有一个变号零点，再结合“对钩函数”的单调性分析及端点处函数值的大小和符号，求出的取值范围即可. 【详解】由题意可转化为在区间有且只有一个变号零点， 在区间上单调递减，在内单调递增， 又知，故只需，解得， 所以的取值可以为或． 故答案为：（或） 题型07 函数极值与最值的辨析 【典例7】（24-25高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】根据函数极值与最值的关系可判断. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1】（24-25高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）（多选）下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最大值不一定是它的极大值 B．函数的极大值可能小于它的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D．函数在开区间不存在最大值和最小值 【答案】AB 【分析】AD可举出反例；B选项，画出图象，得到B正确；C选项，最小值可能在端点处取到，C错误. 【详解】对于A，函数在上有最大值，但没有极大值，故A正确； 对于B，函数图像，其中一个极大值为，一个极小值为， 显然极大值小于极小值，故B正确； 对于C，的最小值可能在闭区间的端点处取到，也可能在闭区间上的极小值点处取到，故C不正确； 对于D，函数在上既有最大值，又有最小值，故D不正确． 故选：AB 【变式3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 题型08 求（不含参）函数的最值 【典例8】（2025高三·全国·专题练习）设m为实数，函数，直线是曲线的切线，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设切点为，写出切线方程，化简得到，构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】定义域为， 设切点为，由，得， 故切线方程为， 又直线是曲线的切线， 所以，即． 考虑函数，求导得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 【分析】求导判断函数单调性，进一步可求得函数的最值. 【详解】，令，令，得， 令，得或，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减，所以的极小值为，极大值为． 又当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为1． 故答案为：，1. 【变式2】（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意求出参数的值，再利用导数判断函数在上的单调性，进而可以求出最大值. 【详解】，依题意，解得 此时， 令得；令得或 所以在单调递减，在和单调递增； 所以是的极小值点. 因为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增 因为 且 所以在的最大值为 故答案为: 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】求得函数的导数，结合导数求得函数的极值点和极值，以及端点的函数值，即可求解. 【详解】因为，故的驻点为，， 因为，故驻点， 而，，，， 所以． 故答案为：. 【变式4】（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形，圆锥的底面半径为，圆锥内有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，作出圆锥和内接圆柱的轴截面，设圆锥底面半径为，利用相似三角形求出圆锥的高，得到圆锥的体积的表示式，，，利用导数，求得体积的最大值即可. 【详解】 如图，圆锥的轴截面是底角为的等腰三角形，圆锥的底面半径为，则圆锥的高为， 设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为， 由可得，解得 则圆柱的体积为：， ，由，得，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 故当时，. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决圆锥体积的最值问题，属于难题. 解题思路是，借助于轴截面中的相似三角形，将圆锥的体积用底面半径的解析式表示，再运用函数求导求出其最大值. 题型09 求含参函数的最值 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 【答案】 【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域的大小关系，从而判断函数的单调性，得到最值. 【详解】函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时，当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法 导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路： 首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； 其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果都在定义域内，则讨论个零点的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式和分类讨论. 【变式1】（24-25·青岛·高二·期中）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导后分析单调性求最值即可； （2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，所以；由，得，所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，无最大值． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增， 当，即时，在单调递减， ； 当时，即在单调递减，单调递增，． 当时，在单调递增，； 综上所述. 【变式2】（24-25高二下·全国·课前预习）当时，求函数在上的最值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】先利用导数判断函数的单调性，进而利用单调性求最值即可. 【详解】由题意得，， 令，得，． 所以，在上，则在上单调递增； 在上，则在上单调递减； 在上，则在上单调递增. 因为，，，． 所以． ． 【变式3】（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 题型10 已知函数最值求参数 【典例10】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AD 【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围. 【详解】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 【变式1】（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故时，取得最小值， 解得，． 故答案为：3． 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以， 令，因为在开区间上有最小值， 则在上必有两根，即有， 又在上的两根为，且， 由的图象可知， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又在开区间上有最小值，则必有，且， 令，得到，所以， 整理得到，令， 则，易知在区间上单调递减， 又，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以在上有且只有一根， 由，解得， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】考虑，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最小值， 若，在上单调递减， 要想函数有最小值，则，解得， 故实数的最大值为. 故答案为： 【变式4】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． 【答案】a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29． 【分析】由题设知a≠0，求出导函数，讨论a>0或a<0，判断函数的单调性，进而确定函数的最值，由最值即可求解. 【详解】由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． ①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值， ∴f(0)＝b＝3． 又f(－1)＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3<f(－1)， ∴f（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2． ②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b， 也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29． 又f(－1)＝－7a－29，f（2）＝－16a－29>f(－1)， ∴f（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2． 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29． 【点睛】思路点睛：已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 题型11 不等式恒成立问题 【典例11】（24-25河北·衡水·高二期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 注意到，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 又因为，由二次函数性质可知， 可得，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式1】（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·山东·期中）若，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知可得，再利用导数求得函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】不等式可化为， 设，则，即在R上单调递增， 因为，所以恒成立， 根据对数函数的性质可得，时显然不成立，所以， 所以，所以恒成立. 令，则, 当时，即单调递减；当时，即单调递增. 所以， 所以只需，即，又， 所以的取值范围为. 故选：B 【变式3】（24-25高二下·浙江·期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件得恒成立，构造函数，由单调性转化为恒成立，再次构造函数，由其单调性及最值转化为恒成立，从而得结果. 【详解】因为，即， 令，令，即，所以， 令，即，所以， 所以在上为减函数，在上为增函数， 依题意有，又， 所以在恒成立， 令函数，令，即，所以， 令，即，所以， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，故， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键是通过已知条件转化为恒成立，构造函数构造函数，利用导数求其单调性并由单调性转化为恒成立，再次构造函数，根据其单调性及最值可得结果. 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，函数，若恒有，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据已知应用参数分离得出，再设，根据函数单调性得出函数最大值即可求参. 【详解】因为，即，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 题型12 不等式有解问题 【典例12】（2025高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 【变式1】（24-25高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可. 【详解】因为，由，即， 即，设， 根据题意知存在，使得成立，即成立， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·天津东丽·阶段练习）已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出在区间上的最小值和在上的最小值，由题意知，即可求出的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴当时，，在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为； 又∵， ∴由二次函数知识，在上的最小值为， 若，，使成立，等价于，即， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】（1）因为，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）依题意，存在，使得， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，因此， 故的取值范围为． 【变式4】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 题型13 函数的零点问题 【典例13】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导函数的符号得单调区间. （2）分和两种情况讨论，根据函数的单调性研究零点个数. 【详解】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对函数求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的零点个数. 【详解】． 令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的， 使得，即，即，所以， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以， 所以函数的零点个数为1． 故选：B 【变式2】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 【答案】ACD 【分析】利用函数对称性的定义可判断B选项；利用导数与极值的关系可判断A选项；数形结合可判断C选项；利用三角恒等变换计算的值，可判断D选项. 【详解】对于B选项，函数的定义域为，， 所以，，故函数的图象关于对称，故B错误； 对于函数，求导可得：， 对于ACD选项，令，解得，可得下表： 极大值 极小值 则，， 所以，函数有两个极值点，故A正确， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数有三个零点，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导函数与切线斜率的关系求解； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以,解得. （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，,时，， 所以实数m的取值范围为． 【变式4】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】(1)的单调减区间为；单调增区间为， (2)1个 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【详解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值 【答案】A 【分析】利用导数来求得的极值. 【详解】的定义域为， ， 在递增；在递减， 所以的极大值为，没有极小值. 故选：A 2．（23-24高二下·四川遂宁·期中）函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极值点 C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为 【答案】D 【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得. 【详解】因，当时，，时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误； 对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误； 对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·湖北·期中）若函数的极小值点为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导后，对分类讨论，利用函数单调性与极值点的关系即可求解. 【详解】因为， 所以. 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意； 若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增， 即此时没有极值点，故不符合题意； 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极小值点，故符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 7．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：，经检验适合题意； 故选：C. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则（   ） A．，为奇函数 B．当时，单调递增 C．，使得恰有一个极值点 D．当时，存在三个零点 【答案】ABD 【分析】利用奇偶性定义判断A；利用导数得到单调性可判断B；根据极值的定义判断C；求出函数零点判断D. 【详解】对于A选项，函数定义域为R,，，为奇函数,A正确； 对于B选项，当时，，单调递增，B正确； 对于C选项，若恰有一个极值，则有一个解，可得，此时恒成立，单调递增， 无极值点，故不存在，使得恰有一个极值，C错误； 对于D选项，，存在三个零点0，，，故D正确. 故选：ABD. 10．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性，一一判断各选项，即可得答案.. 【详解】由题知的定义域为，， 令，解得，即在上单调递减， 令，解得或，即在和上单调递增， 又因为记的极小值点为，极大值点为， 根据单调性可得， 则，故A正确，B错误； 令，解得，即，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数的极大值与极小值之和为6 C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1 【答案】AB 【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假. 【详解】由题意，点在函数的图象上，故； 又. 由，即.故A正确； 所以，所以. 由或. 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为；极小值为， 所以极大值与极小值之和为：，故B正确； 因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误； 又，， 所以函数在上的最小值为，故D错. 故选：AB 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，由在区间上有零点，且在零点两侧导数值异号.列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间上有极值点，所以在区间上有零点，且在零点两侧导数值异号. ①当在区间上只有一个符合题意的零点时， 或或 解得. ②当在区间上有两个不同的零点时， 解得. 综上，实数的取值范围是. 13．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值. 【详解】因为， 所以. 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以. ，时，， 若存在，， 使得成立，只需即可， 所以的取值范围为 故答案为： 14．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数的图象上恰好有两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意转换为关于x的方程有两个不等的正实数根，构造函数，求导函数，得到导函数的零点，确定函数的单调区间，然后由函数零点个数确定参数的范围. 【详解】关于y轴对称的曲线为， 函数的图象上恰好有两对关于y轴对称的点， 关于x的方程有两个不等的正实数根， 即函数恰好有两个零点， ，令，其中， 因为，对称轴， 函数在上有一个零点，记为， 当，，；当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， 当或时，， 要使函数在上有两个零点，则需，即， 又，即，所以， 又函数在上单调递增，且，，， 由，得， 又，，， 则正实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题讨论函数图象上点关于对称，通过将函数图象对称后变成函数交点个数，将两个函数作差构造新的函数，转化成根据函数零点个数求参数问题．利用导数确定函数的单调性及最值，从而得到不等关系即可得出结果. 四、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和,单调递减区间为,函数的极大值为,极小值为. 【分析】（1）根据导数运算法则求解； （2）令求其解，分区间判断导数的正负，列表确定函数单调性及极值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为, 所以, 令,可得或, 当变化时,的变化情况如下表, 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为, 函数的极大值为,极小值为. 16．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可； （2）求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，由于在处取得极值， 故，即，解得， 经检验，当时，在处取得极值，故. （2）由（1）得，则， 由得或；由得. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为 又，，所以函数在区间上的最大值为9. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，结合分类讨论即可求解， （2）根据（1）问中函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， ∴，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则；令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符， ∴， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得， ∴a的值为． 18．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 19．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）先求出，再求出其导数，讨论其符号后可得的单调区间. （2）原不等式等价于，利用导数可求，利用二次函数的性质可得，从而得到的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，故 且. 当时，，故在为增函数； 当时，，故在为减函数. 故的单调增区间为，单调减区间为. （2） ， 因为，故， 所以在上为增函数，故， 图像的对称轴为， 故当时，. 因为存在，对任意的，总有成立， 故，即，故 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$