6.2.1 导数与函数的单调性-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 数学文化 例D【解析】f'(x)=cosx-siv,f”(x)=-sinr-cosx,则 xe0,牙，f(x)<0,fe)-sinr+cose在0，受上 是凸函数，故A不符合题意； fx)=-2,fx)=<0,x)-2x在0，） 上是凸函数，故B不符合题意： f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x<0,.f(x)=-3+2x-1在 0,受上是凸函数，故C不符合题意； fe)-e4e--le,fx-(2-rle,当xe0,】 时，2-x>0,e>0,f”(x)>0恒成立，与定义不符，故 D符合题意.故选D. >"6.2利用导数研究函数的性质 6.21导数与函数的单调性 要点精析 例1(-1,2)和(4，+∞)【解析】导函数f'(x) 在(-1,2)和(4，+∞)上的函数值大于0，.函数fx) 的单调递增区间是(-1,2)和(4，+∞). 变式训练1A【解析】由y=f(x)(x∈R)的图象，可知 fx)在-0，子和(2，+∞)上单调递增，在3,2】 上单调递减，则当xe°，子)时f(e)>0,xe(2,+∞) 时f(x)>0,xe(号，2)时∫x)k0,不等式f'(x)>0的 解集为0，子)U(2,+∞)故选A 例2(1)A【解析】fx)=2x-six, ∴.f'(x)=2-cos>0在(-，+∞）上恒成立， f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.故选A (2)解：f(x)=3x2-2lnr的定义域为(0，+)， f"(x)=6x-2 -2(3x2-1) -2(V3x-1)(V3x+1」 38 由0，f)0,解得；由0，f0, 解得0kKV3 3 函数3-2的单调递增区间为写，+， 单调递减区间为0，Y3. 3 变式训练2解：(1)函数f(x)=x(a+x2), 则f'(x)=a+3x2,则f'(1)=a+3×12=a+3, 而直线3x+y+1=0的斜率为-3. 曲线y=fx)在点(1，f1)处的切线与 直线3x+y+1=0平行，则a+3=-3,解得a=-6. (2)由(1)可知a=-6,fx)=-6+x3, 定义域为R,'(x)=-6+3x2, 令f'(x)=0,即-6+3x2-0,化简，可得x2=2, 解得=±V2. 当f'(x)>0时，函数fx)单调递增。 由-6+3x2>0,即x>2,解得x<-V2或>V2, :f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和(V2, +0). 当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减， 由-6+3x2<0,即x2<2,解得-V2<<V2, :f(x)的单调递减区间为(-V2,V2). 综上，f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和 (V2,+∞)，单调递减区间为(-V2,V2). 例3解：函数的定义域为(0，+0)，且f"(x)=2- ①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，fx)在(0，+∞）上 单调递增； ②当心0时，由f'(x)=2->0,解得0<<2；由 f'(x)<0,解得心2 a “x)在0，名上单调递增，在名+上单调 递减. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0， +∞)，无单调递减区间； 当o®0时，)的单调递增区间是0，召，单调递 减区间是名，+0 变式训练3解：(1)f'(x)=2ax+1+(2a+1),当a=l 时，f'(x)=2x+1+3,f'(1)=6,f1)=4,函数yfx) 的图象在点(1,4)处的切线方程为y-4=6(x-1),即 6x-y-2=0. (2)fx)的定义域为(0，+∞)， fx2ar+L+2m1）上2ar4(2a+1+1_(2ar+1)(+1 ①当a≥0时，f'(x)>0在(0，+∞)恒成立，fx) 的递增区间是(0，+∞)： ②当0时，f'e0,0-af0,027 九x)的递增区间是0，方，递减区间是-云+ 综上，当a≥0时，f(x)的递增区间是(0，+∞)； 当0时，)的递增区间是0，a,递减区间 是（品*小 例4解：(1)f'(x)=x2-ax+b, f(0)=1, c=1, 由题意，得 即{ f'(0)=0,b=0. (2)由D.知x)=写受+1. ge)号号+2+1， ∴g(x)=x2-ax+2,依题意，存在x∈(-2，-1)， 使不等式g(x)=2-a+2<0成立， 即x∈(-2，-1)时， k+2m-2V2 当且仅当=2，即x=-V2时等号成立 ∴.满足要求的a的取值范围是(-∞，-2V2)· 变式训练4解：g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2，-1) 内为减函数，x2-a+2≤0在(-2，-1)内恒成立， 参考答案。 g(-2)≤0,4+2a+2≤0， 即 解得a≤-3. g(-1)≤0,1+a+2≤0， 即实数a的取值范围是(-∞，-3]. 变式训练5解：g(x)的单调递减区间为(-2，-1)， x=-2,=-1是g(x)=0的两个根， .(-2)+(-1)=a,即a=-3. 变式训练6解：由变式训练4，知g(x)在(-2，-1)内 为减函数时，实数a的取值范围是(-∞，-3].若g(x) 在(-2，-1)内为增函数，则a≥x+2在(-2，-1)内 恒成立.又y=x+2在(-2，-V2)内单调递增，在 (-V2,-1)内单调递减，y=x+2的值域为(-3， -2V2),.实数a的取值范围是[-2V2,+∞)，∴.函 数g(x)在(-2，-1)内单调时，a的取值范围是(-∞， -3]U[-2V2,+∞)，故g(x)在(-2，-1)上不单调 时，实数a的取值范围是(-3，-2V2). 数学文化 例AC【解析】设函数fx)品，x0且x≠L, 则"a品品0且s1r: :00且1， 当x+∞时，f"(x)<0. .当x很大时，随着x的增大，f(x)的增长速度变 慢，故A正确；f(x)并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间(x,x+n)(n是一个较大常 数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减 少，故C正确： 4≈2.89>2，故D错误. In4 故选AC. 39N 高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 学习目标 变式训练1 会运用导数求函数的单调区间、证明函 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所 数的单调性。 则不等式f'(x)>0的解集为() 要点精析 川要点1函数单调性和导数之间的关系！ 1.一般地，从函数导数的几何意义理解 图6-2-2 函数的单调性与导数的正负之间的关系；函 数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间 A0,号U2,✉ 的关系。 B.-0,3u3,2 2.定义在区间(a,b)内的函数=fx): f'(x) f(x) C.(-m,0u},2 f'(x)>0 在区间(a,b)单调递增 D.(-1,0)U(1,3) f'(x)<0 在区间(a,b)单调递减 思考导数（瞬时变化率）和单调性 川要点2利用导数求函数的单调性 有怎样的关系呢？ 在已知函数解析式的情况下，可以利用 例1已知函数f(x)的导函数yf'(x)的 导函数的正负确定函数的单调区间， 图象如图所示，则函数fx)的单调递增区间 思考已知函数解析式，怎样确定导 是 数的正负呢？需要如何操作？ 例2(1)函数f(x)=2x-sinr在(-o +0)上是( A.增函数 B.减函数 图6-2-1 C.先增后减 分析导数为正，函数单调递增；导 D.不确定 数为负，函数单调递减 54)学 第六章导数及其应用 (2)求函数fx)=3x2-2lnx的单调区间. 反思感悟 利用导数求函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域。 (2)求导函数f'(x)· (3)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,并 写出解集， (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的 单调区间 川要点3利用导数求含参函数的单调性！ 说明：含参函数在求导后，要注意零点 之间的大小关系和导函数的符号确定 思考导数存在参数，导数零点是否 P 变号对函数单调性有什么影响吗？ 变式训练2 例3求函数f(x)=2nx-ax的单调区间. 已知函数f(x)=x(a+x2),曲线y=f(x)在 点(1，f(1))处的切线与直线3x+y+1=0 平行 (1)求a的值. (2)求函数f代x)的单调区间. 学(55 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B 变式训练3 川要点4已知函数单调性，求参数范围： 已知函数f(x)=ax2+(2a+1)x+lnr,a∈R. 思考函数单调，导数必须恒正或者恒 (1)若a=1,求函数y=f(x)的图象在点 负吗？ (1,f1)处的切线方程， (2)讨论f(x)的单调性。 例4设函数fx)=子号+bx+c,曲 线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y=1. (1)求b,c的值. (2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区 间(-2，-1)内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围. 分析 (1)待定系数法在x=0处的导 数值为0，函数值为1. (2)函数在区间上存在单调递减区间， 转化为导数在区间上存在小于0的连续 区间 56)学 第六章导数及其应用 变式训练4 变式训练6 将例4中(2)的条件改为：若g(x) 将例4中(2)的条件改为：若g(x) 在(-2，-1)内为减函数，其他条件不变，： 在(-2，-1)内不单调，其他条件不变， 求实数a的取值范围. 求实数a的取值范围. 数学文化 例 (多选题)素数分布问题是研究 素数性质的重要课题.德国数学家高斯提出 B变式训练⑤ 了一个猜想：八)=成，其中八x)表示不 将例4中(2)的条件改为：若g(x)的 大于x的素数的个数，即随着x的增大， 单调递减区间为(-2，-1)，其他条件不变， 求实数a的值. f(x)的值近似接近x的值.从猜想出发， Inx 下列推断正确的有（) A.当x很大时，随着x的增大，f(x)的 增长速度变慢 B.当x很大时，随着x的增大，f(x) 减小 C.当x很大时，在区间(x,x+n)(n是 一个较大常数)内，素数的个数随x的增大 而减少 D42,4>4 学 57