第03讲 导数与函数的单调性（2个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第03讲 导数与函数的单调性 课程标准 学习目标 1．理解导数与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会用导数求函数的单调区间． 1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养. 知识点01 导数与函数单调性的关系 1．导数与函数的单调性的关系 (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示． (1)　　　　　　　　(2) 【解读】1.对导数与函数单调性概念理解； （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 知识点02 　函数图象变化趋势与导数大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系 函数图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 图象特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓 【即学即练2】（24-25高二上·陕西西安·期中）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D 【答案】A 【解析】因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的． 题型01 求不含参函数的单调区间 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0的不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 【变式3】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 【变式4】（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 题型02 求含参函数的单调区间 【典例2】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. 求的单调区间; 【分析】求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； 【详解】由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【变式1】（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. 【变式2】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）.讨论的单调区间. 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，则 ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线的斜率，结合切点坐标由点斜式得出切线方程； （2）求导，分类讨论分析导函数的符号，得函数单调性． 【详解】（1）当时，，有， ，， 又所以曲线在点处的切点坐标为，切线斜率为， 得切线方程为． （2）函数，， 因为，所以， ①当时，对任意，均有，此时在区间上单调递增； ②当时，因为，所以，所以，此时在区间上单调递增； ③当时，令，则， 因为，，所以，在区间上单调递减， 又，所以存在唯一使得，即， 当时，单调递增，当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，其中为在上的唯一零点． 【变式4】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． （1）若，求的导数； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），其中；（2）见解析 【解析】（1）若，则，故，其中. （2）， 当时，当时，；当时，. 故的减区间为，增区间为. 当时，若，则当时，； 当时，，故的减区间为，增区间为. 若，则当时，； 当时，，故的减区间为，增区间为. 若， 恒成立（不恒为零），故的增区间为，无减区间. 综上：当时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 题型03 已知函数递增、递减求参数 【典例3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的减区间，根据题意可得出区间的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 令，得，即函数的减区间为， 因为在区间上单调递减，所以， 所以，解得. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数来判断函数在区间的单调性，再由分离参变量求参数的取值范围即可. 【详解】由已知求导得：， 因为函数在区间上具有单调性， 所以或在上恒成立， 则在区间上，或， 因为在上递增，在上递减， 且， 所以的最大值为，的最小值为， 所以或. 故答案为： 【变式5】（23-24高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在内恒成立，进而即可求解. 【详解】不妨，由题意分式转化为， 则，即，故函数单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 题型04 已知单调区间求参数 【典例4】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【变式2】（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 【变式3】（24-25高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 题型05 已知函数存在单调区间求参数 【典例5】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 题型06 已知函数不单调求参数 【典例6】（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式1】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，又函数的定义域是， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得. 故选：C 【变式2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，， 则，则在上单调递增， 所以，即，解得， 则的取值范围是 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解. 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 故答案为： 题型07 原函数与导函数图象关系 【典例7】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导数与原函数图象的关系，结合排除法确定满足要求的图象即可. 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 【变式1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果. 【详解】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象可知：当时，；当时，； 当时，；当时，； 在上不单调，A错误； 在上单调递减，B正确； 在，上单调递增，CD错误. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据的符号判断的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C. 【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C， 故选：B． 【变式3】（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确. 故选：D. 【变式4】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 题型08 利用导数比较大小 【典例8】（23-24高二下·湖北·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于，扩大适当的倍数变为整数幂的形式比较即可；对于，构造函数比较大小即可 【详解】对于，同时12次方可得与，易知，所以； 对于，同时次方可得与，由题干可知，所以，即； 对于，同时取对数可得与，，，解得， 易得在单调递增，单调递减，易知，所以． 综上可得， 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 【变式3】（23-24高二下·河北唐山·期中）若函数，且，设，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】A 【分析】求导后再次构造，再求导求出最大值小于零可得小于零，进而得到的单调性，然后求出结果即可. 【详解】由题意可得， 设，则 因为， 所以恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以当时，，为减函数， 所以，即， 故选：A 题型09 利用导数证明不等式 【典例9】（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式. 【详解】令， 则 ， ，，又因为，则恒成立， 当时，，即在上单调递增， ， 即． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】对于各个选项分别构造函数，；，；，；，.再求导研究单调性，进而用单调性性质判定即可. 【详解】对于A，令，， 由，则在上单调递增， 则，不等式成立； 对于B，令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，不等式成立； 对于C，令，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则，不等式成立； 对于D，令，， 当时，，所以不等式不成立． 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 【答案】ABD 【分析】分别构造，，，，即可利用导数求解单调性得解. 【详解】对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确， 对于B，设，则当时在单调递减， 当时，在单调递增，故，故，B正确， 对于C，令, ，当在单调递增， 当在单调递减，所以，故，故C错误， 对于D，令，则， 故在单调递增，故，故，D正确， 故选：ABD 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）证明不等式． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，通过求导得到，所以，所以. 【详解】设，则， 由，得，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以． 题型10 利用导数解不等式 【典例10】（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集. 【详解】令，定义域为R， ， 故为奇函数，即， ， 故在R上单调递增， ， 故， 即， 所以，， 解得或. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出函数 的单调性，即可根据单调性的定义解出． 【详解】因为 ， 所以 ，即在上函数 单调递增， 由 可得， ，解得 ，即 . 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 【变式3】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式变形为，构造函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系即可求解. 【详解】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（    ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据导函数与函数单调性的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 此时不是增函数， 若在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 所以“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：A. 2．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 4．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据单调性可得导函数在上恒成立即可求解. 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用导数判断单调性，并对，和分类讨论即可得到答案. 【详解】由于，故. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 当时，对任意都有. 故，从而在上递增，不满足条件. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：A. 6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数导数判断函数的单调性，计算得出不等式解集； 【详解】令，则即求的解集. 由已知得，，故在上单调递减； 又由得，，故，从而. 故选：A. 7．（24-25高二上·全国·单元测试）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 8．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有3个零点 D．直线与的图象仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性判断AB；求出函数的零点判断C；求出函数的极值，结合三次函数图象判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，A正确，B错误； 由，得或，函数有3个零点，C正确； 函数的极大值为，极小值为，直线与的图象仅有1个公共点，D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求 得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项. 【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、， 设，则，可得， 由奇函数的定义可得，即， 所以，可得，则， 由题意可得，可得，则， 由图可知，函数的单调递增区间为， 故不等式的解集为，所以， 对于A选项，由题意可知，， 由导数的定义可得，故A正确； 对于B选项，，， 由，，所以，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，由， 可得，解得或， 因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 11．（23-24高二下·河南信阳·期末）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项. 【详解】对于A，由，知得在递增，因为，所以，选项A正确； 对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知， 随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小， 所以，，选项B错误； 对于C，D，设，， 由切线的几何意义知，， 即， 即.选项C错误D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为， 则， 由，可得，故函数的单调增区间为. 故答案为：. 13．（23-24高二下·河北承德·期中）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为在上恒成立，分离参数，设新函数，求导得到最值即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先构造函数，再根据导函数得出函数的单调性，最后应用单调性解不等式. 【详解】设，则， ，，，在R上单调递减， ，， 又，，， 的解集为． 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高二下·广东韶关·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)递减区间为和，递增区间为. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得； （2）根据导数与函数的单调性的关系即得. 【详解】（1）因为，所以， ， 切点为， 所求切线的斜率为， 所求切线的点斜式方程是，即：； （2）因为 当时，解得或， 当时，得， 当时，得， 所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. 16．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. （2）解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性． 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 18．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【详解】（1）由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 19．（24-25高二上·北京·期中）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1) (2)单调递减区间为和；单调递增区间为 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程； （2）根据的正负可得的单调区间； （3）构造函数，利用导数可说明在，上单调递增，由此可得结论. 【详解】（1）当时，，则，，， 在点处的切线方程为. （2）由题意知：的定义域为； ，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为和；单调递增区间为. （3），证明如下： 令，则定义域为， ， 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，在，上单调递增， 且，或， 恒成立，即， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的单调性 课程标准 学习目标 1．理解导数与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会用导数求函数的单调区间． 1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养. 知识点01 导数与函数单调性的关系 1．导数与函数的单调性的关系 (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示． (1)　　　　　　　　(2) 【解读】1.对导数与函数单调性概念理解； （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 　函数图象变化趋势与导数大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系 函数图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 图象特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓 【即学即练2】（24-25高二上·陕西西安·期中）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D 题型01 求不含参函数的单调区间 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型02 求含参函数的单调区间 【典例2】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. 求的单调区间; 【变式1】（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； 【变式2】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）.讨论的单调区间. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【变式4】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． （1）若，求的导数； （2）讨论函数的单调性． 题型03 已知函数递增、递减求参数 【典例3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【变式5】（23-24高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为 . 题型04 已知单调区间求参数 【典例4】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【变式3】（24-25高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 题型05 已知函数存在单调区间求参数 【典例5】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【变式3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 题型06 已知函数不单调求参数 【典例6】（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 题型07 原函数与导函数图象关系 【典例7】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 题型08 利用导数比较大小 【典例8】（23-24高二下·湖北·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·河北唐山·期中）若函数，且，设，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．的大小不能确定 题型09 利用导数证明不等式 【典例9】（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（    ） A．， B．， C． D．， 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）证明不等式． 题型10 利用导数解不等式 【典例10】（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（    ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·单元测试）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有3个零点 D．直线与的图象仅有1个公共点 10．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C． D．的解集为 11．（23-24高二下·河南信阳·期末）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 13．（23-24高二下·河北承德·期中）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（22-23高二下·广东韶关·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 16．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 18．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 19．（24-25高二上·北京·期中）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设且，请判断与的大小，并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$