6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 (x)-lim)=lim 3-3=lim0=0. 4x0 40△x40 (2)根据定义，可知 f'(x)=-lim f+△x)-fx) △r0 Ax =lim（x+Ax)-(x) =lim 1=1. △x0 (3)根据定义，可知 f'(x)=limf+△r)-fx) △0 △x =lim (x+Ax)-() △r0 △x =lim (2x+Ax) △r0 =2x. 变式训练1解：f'x)mf+f △x =n3A+3A44-n3+3xAr+4r2-3 例2解：(1)f'(x)=(-6)x7 (2)y'=61n6. 8产 (4)y-0. (5)cos-sins. .'.y=-cosx. (6)=VF=,古 变式训练2(1)V(2)×(3)×(4)× 例39r-4y+9=0或9x-y-18=0【解析】由f(x)=32, 得f'()=2.设切点为Mo,合小，则f'(o=云，则过 切点M的切线方程为)号=(x0.:点P在切线上， 把P3,9)代入方程，得9了=(3-6，整理，得 2-9+27=0.即x+号xr3)20,解得%=2或=3. 当2时，切线方程为g4+9=0,当x3时， 切线方程为9x-y-18=0.综上，过点P(3,9)的切线方 程为9x-4y+9=0或9x-y-18=0. 36 变式训练3解：(1)f(2)=2+2-16=-6, .点(2，-6)在曲线上。 f'(x)=3x2+1, .在点(2,6)处的切线的斜率为 k=f'(2)=3x22+1=13. .直线1的方程为y=13(x-2)+(-6). 即y=13x-32 (2)设切点为(，y),则切线的斜率为 f'(x)=36+1, .切线方程为y=(3后+1)(-xo)+d+xr16. 又切线过点(0,0)， .0=(3+1)(-o)+xd+w-16,整理，得x=-8, .∴x=-2,y0=(-2)34(-2)-16=-26: k=3x(-2)2+1=13, ∴.过原点且与曲线yf(x)相切的切线方程为y=13x, 切点坐标为(-2，-26). 数学文化 例A【解析】由题意，可知f(x)=V无，f'(x)=,1 2Vx >0,∴y=fx)在(0，+∞)上单调递增.选择3.998附近 的点0=4>3.998，∴.f(4)+f'(4)(3.998-4)=1.9995> m.故选A. 6.1.4求导法则及其应用 第1课时导数的四则运算法则 要点精析 例1解：f(x)=x2+3x-8,则f'(x)=3x2+3,当x=2时， f'(2)=15. 变式训练1解：（①）x)分-} 则f'(x)=x-1+1=x-+1 x2 (2).f(x)=e'+Inx+sinx,f(x)=e+L+cosx. 例2解：f(x)=w sinx, f'(x)=(x)'sinx+x (sinx)'=3x2sinx+x'cosx. 变式训练2解：(1)h'(x)=(sinx)'=x'sinx+x(sinx)'= sinx+xcosx. (2)f'(x)=(x2e)'=(x2)'e+x2(e)'=2xe+xe 例3解：)四Y -(sinx)'x-sinx(x)' _Cosx·-sinw x2 =xcos-sinx x 2品厂 _(x2)'Inx-x2(Inx)' (Inx) 2xlnx-x2.1 In'x -x(2lnr-1) Inx )/ =(3x-1)y (3x-1)2 -3 =(3x-1y1 变式训练3解：(1)g(x)=0cosx=-cox sin'x sin'x tanx-x Sin tanx-x.Sin+cos (2)f'(x) cosx tan'x tan'x tanx-xtan'x-x tanx 2ulnu-ux L (3)W'(u)= u__2ulnu-u Inu In'u 数学文化 例20【解析】由g(x)=x-3x2+4x+2, 得g(x)=3x2-6x+4,g"(x)=6x-6. 令g'(x)=0,解得x=1, .函数g(x)的对称中心是(1,4)， g(2-x)+g(x)=8, 放设g3+g号+g1)+g告)+g3)=m, 则g号+g号+g()g个号)+8兮=m,两式相 加，得8x5=2m,解得m=20.故答案为20. 参考答案。 第2课时简单复合函数的求导法则及其应用 要点精析 例1解：(1)y=(3+5x)是由函数y=2,u=3+5x复合 而成的。 (2)y=1og3(x2-2x+5)是由函数y=l0g3u,u=x2-2x+5 复合而成的 (3)y=cos3x是由函数y=cosu,u=3x复合而成的. 例2解：(1).y=(2x+3)2=4x2+12x+9,.∴y'=8x+12. (2)y'=3(1-3x)2(1-3x)'=-9(1-3x)2. (3)y=e2-(e2),y'=(e2)lne2-2e2 ④)yng,y士 变式训练1解：(1)令=2x+3,则y=10, y=y2u10.nl0(2+3)'=2n10-102 (2)y=sinx+cosx =(sinx+cos2x)2-2sin2x-cosx =l-号sin2x=l-41-cos4 2 -子+cow4 yr(子+co4了-sn4x 例3A【解析】设曲线y=n(2x-1)在点(0，)处的 切线与直线2y430平行，y2品儿222， 解得xo=1,∴=lnl=0,.切点坐标为(1,0)·切点 到直线的距离为d=5L=V万，即曲线y=n(2x-1)上 /5 的点到直线2-y+3=0最短距离为V5.故选A. 变式训练2B【解析】设y=kx+b是y=lnx+2在点 a.+2)的切线，则日 1 同理，设y=kx+b是 Ina+2=ka+b )l血(+2)在点(c,n(c+2)的切线，则c+2' (In(c+2)=kc+b, k=1, b=1.故选B. 由方程组，得c+2=a,代人，解得 a=1, c=-1. 37 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 数学文化 例D【解析】f'(x)=cosx-siv,f”(x)=-sinr-cosx,则 xe0,牙，f(x)<0,fe)-sinr+cose在0，受上 是凸函数，故A不符合题意； fx)=-2,fx)=<0,x)-2x在0，） 上是凸函数，故B不符合题意： f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x<0,.f(x)=-3+2x-1在 0,受上是凸函数，故C不符合题意； fe)-e4e--le,fx-(2-rle,当xe0,】 时，2-x>0,e>0,f”(x)>0恒成立，与定义不符，故 D符合题意.故选D. >"6.2利用导数研究函数的性质 6.21导数与函数的单调性 要点精析 例1(-1,2)和(4，+∞)【解析】导函数f'(x) 在(-1,2)和(4，+∞)上的函数值大于0，.函数fx) 的单调递增区间是(-1,2)和(4，+∞). 变式训练1A【解析】由y=f(x)(x∈R)的图象，可知 fx)在-0，子和(2，+∞)上单调递增，在3,2】 上单调递减，则当xe°，子)时f(e)>0,xe(2,+∞) 时f(x)>0,xe(号，2)时∫x)k0,不等式f'(x)>0的 解集为0，子)U(2,+∞)故选A 例2(1)A【解析】fx)=2x-six, ∴.f'(x)=2-cos>0在(-，+∞）上恒成立， f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.故选A (2)解：f(x)=3x2-2lnr的定义域为(0，+)， f"(x)=6x-2 -2(3x2-1) -2(V3x-1)(V3x+1」 38 由0，f)0,解得；由0，f0, 解得0kKV3 3 函数3-2的单调递增区间为写，+， 单调递减区间为0，Y3. 3 变式训练2解：(1)函数f(x)=x(a+x2), 则f'(x)=a+3x2,则f'(1)=a+3×12=a+3, 而直线3x+y+1=0的斜率为-3. 曲线y=fx)在点(1，f1)处的切线与 直线3x+y+1=0平行，则a+3=-3,解得a=-6. (2)由(1)可知a=-6,fx)=-6+x3, 定义域为R,'(x)=-6+3x2, 令f'(x)=0,即-6+3x2-0,化简，可得x2=2, 解得=±V2. 当f'(x)>0时，函数fx)单调递增。 由-6+3x2>0,即x>2,解得x<-V2或>V2, :f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和(V2, +0). 当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减， 由-6+3x2<0,即x2<2,解得-V2<<V2, :f(x)的单调递减区间为(-V2,V2). 综上，f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和 (V2,+∞)，单调递减区间为(-V2,V2). 例3解：函数的定义域为(0，+0)，且f"(x)=2- ①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，fx)在(0，+∞）上 单调递增； ②当心0时，由f'(x)=2->0,解得0<<2；由 f'(x)<0,解得心2 a “x)在0，名上单调递增，在名+上单调 递减. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0， +∞)，无单调递减区间；第六章导数及其应用 6.1.4求导法则及其应用 第1课时 导数的四则运算法则 思考已知一个函数h(x)的导函数为 学习目标 h'(x)=3x2+2x,求函数h(x)的解析式. 1.能利用给出的基本初等函数的导数公 例1求函数f(x)=x+3x-8在x=2处的 式和导数的四则运算法则，求简单函数的 导数值. 导数 2.会运用导数的四则运算法则，求含有 和、差、积、商综合运算的函数的导数， 要点精析 要点1函数和（或差）的求导法则 1.一般地，如果fx),g(x)都可导，则 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g(x). 即两个函数之和（或差）的导数等于这 两个函数的导数之和（或差）· 变式训练1 事实上，设h(x)=f(x)g(x),则有 求下列函数的导数， △h_h(x+△x)-h(x)】 △x △x (10x分- =fx+△x)±g(x+△x)-[f(x)±g(x)] (2)f(x)=e*+Inx+sinx. △x =[fx+△x)-fx)]±[g(x+△x)-g(x)] △x =△f+△g △x△x 只是杂尝 即h'(x)=f'(x)±g(x). 2.上述法则可以推广到任意有限个函数 [f(x)f(x)±…f(x)]'=f'(x)f2(x)± f'(x). 学(49 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 川要点2函数乘积的求导法则 变式训练2 1.一般地，如果f(x),g(x)都可导，则 求下列函数的导数： [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+fx)g(x). (1)h(x)=xsinx.(2)f(x)=x2e". 即两个函数之积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数 乘以第二个函数的导数 2.特别地，当g(x)是常值函数，即 g(x)=C时，因为C=0,由上述法则立即可以 得出， [Gfx)]'=Cf'(x)· 即常数与函数之积的导数，等于常数乘 川要点3函数商的求导法则 以函数的导数 思考证明[f(x)g(x)]'=∫'(x)g(x)+ 一般地，如果f(x),g(x)都可导，且 f(x)g'(x). g(x)≠0时，有 f(x)'f(x)g(x)-f(x)g'(x) 例2求函数f(x)=x'sinx的导数. g(x） g(x) 思考 证明h(x)三=八，则h'(x)=」 f(x)g(x)-f(x)g'(x) g(x) 例3求下列函数的导数 =2 1 (3))=3x-1 反思感悟 一般地， [u(x)v(x)w(x）]'=u'(x)· v(x)w(x)+u(x)v(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x). 50)学 第六章导数及其应用 反思感悟 导数的计算技巧： 数学文化 (1)求导之前，应先利用代数、三角 例设f'(x)是函数f(x)的导数，f"(x) 恒等式等变形对函数进行化简，然后再求 是函数f'(x)的导数，若方程f"(x)=0有实数 导，这样可以减少运算量，提高运算速度， 解xo,则称点(xo,f(xo)为函数f(x)的拐 减少差错 点.某同学经过探究发现：任何一个三次 (2)遇到函数商的形式时，如能化简 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0)都有拐点， 则化简，这样可以避免使用商的求导法则， 任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就 减少运算量， 是对称中心，设函数g(x)=x3-3x+4x+2,利 用上述探究结果计算： 变式训练③ 求下列函数的导数 g3+g+g)+g+g (1)g(x)=1 (2）fx)=,x sinx tanx 分析 本题主要考查给定一个新定义 3)W(u)= 导数的运算，新定义题型的特，点是通过给出 一个新概念，或者约定一种新运算，或给 出几个新模型来创设全新的问题情境，要 求学生在阅读理解的基础上，依据题目提 供的信息，联系所学的知识与方法，实现 信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新 定义问题，应耐心读题，分析新定义的特 点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事”，逐条分析、验证、运算，使 问题得以解决。 学(51 高中数学选择性必修第三册人教B版 第2课时简单复合函数的求导法则及其应用 3.复合函数求导步骤 学习目标 分层 选择中间变量，写出构成它的内、 1.能求简单复合函数（限于形如f代ax+b) 外函数 的导数 分别求导 分别求各层函数对应变量的导数 2.解决与曲线的切线有关的问题。 相乘 把上述求导的结果相乘 要点精析 变量回代 把中间变量回代 川要点1复合函数的求导法则 思考 已知h(x)=sin2x,f(u)=sinu, 1.一般地，已知函数yf(u)与u=g(x),: g(x)=2x,则h'(x),f'(u),g(x)分别是什 给定x的任意一个值，就能确定u的值. 么？它们有什么关系呢？ 如果此时还能确定y的值，则y可以看成 例1指出下列函数是怎样复合而成的， x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称 (1)y=(3+5x)2. y=h(x)=f(g(x)) (2)y=log3(x2-2x+5). 为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中 (3)y=c0s3x. u称为中间变量. 注：复合函数的外层函数以基本初等函 数为主要形式，而内层函数是关于自变量x 的基本初等函数或者关于自变量x的基本初： 等函数经过有限次四则运算而成的函数， 2.复合函数的求导法则 例2求下列函数的导数， 一般地，设函数u=g(x)在点x处有导 (1)y=(2x+3)2.(2)y=(1-3x)3. 数u=g(x),函数y=fu)在点x的对应点 处有导数y∫'，则复合函数y=fg(x)在点 (3)y=e(4)y=ln1 x处也存在导数，且y'=yu'x或者可以写 成∫'[g(x)]=∫'(u)g(x),即复合函数对于自 变量x的导数等于已知函数对于中间变量u 的导数乘以中间变量u对于自变量x的导数. 52)学 第六章导数及其应用 色变式训练① 变式训练2 求下列函数的导数， 若直线y=kx+b是曲线y=nx+2的切线， (1)y=102+3 也是曲线y=ln(x+2)的切线，则b的值为 A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1 数学文化 例给出定义：若函数f(x)在D上可 (2)y=sin'x+cosx 导，即f'(x)存在，且导数f'(x)在D上也可 导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记 f”(x)=(f'(x))',若"(x)<0在D上恒成立， 则称f(x)在D上为凸函数，则以下四个函数 在0，受上不是凸函数的是（) A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=Inx-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe* 川要点2导数运算法则综合应用 分析对于定义型导数问题是理解新 思考我们知道，圆的周长1是圆半 定义，然后将新定义的语言翻译成数学语 径r的函数，即l=2r,那么如何利用所学 言，从而运用导数知识进行解决，对于导 过的导数知识，由圆的周长计算公式得到：： 数准备求导即可. 圆面积计算公式呢？ 例3曲线y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0的最短距离为() A.V⑤ B.2V5 C.3V5 D.0 分析曲线上的点到直线的最短距离 应为在曲线上某点的切线与已知直线平行， 因此先根据斜率求出切点坐标，再求出切 点到直线的距离 学(53