6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，fx) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 例解：从A处到B处高度的平均变化率为Ay=10-0 △x150-0 了，从B处到C处高度的平均变化率为：0 Ax270-50 子由宁兮，知山路从8处到C处比从1处到B处 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 处会感觉比较吃力. 6.1.2导数及其几何意义 要点精析 例1D【解析】lim fx+3m)-f m+0 m =3lim f(xo+3m)-f(xo) 3m0 3m =3f'(x) =9. 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(xo-h)=2h. ..lim (xth)-f(x-h)-2limh)xh)=(x). h 2h 选B (2)解：.△y=f(1+Ax)-f(1)=3(1+△x)2-3=6△x+ 3(Ax)月，A=6+3A, △x ÷f'm-m(6+3-6 例2B【解析】k=-lim+A）-fw）=lim(6o+3Ar+ A+0 △x A+0 6)=6x+6,∴.6x0+6=0,得x=-1,∴y0=f()=f(-1)=3× (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 选B. 变式训练2A【解析】：函数f(x)的图象在点P处的 切线方程是)=子+6,5)=号，f'(5)-子5)+ f'(5)=4.故选A. 参考答案。 变式训练3B【解析】f3)-f2)=f3)2).由图，可 3-2 知f'(3)<3）2)f(2),即f'(3)<3)-f2)f"(2. 3-2 123 变式训练3答图 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 几何意义，可知切线的斜率为k=-lim 1+△x)-f1)= △+0 △x 1im1+Ax)2t1-(1+1)=lim(Ax+2A比=im(Ax+2)=2. △+0 Ax 4x-0△x A+0 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 0,45.切线方程为)料4.即)名号 ②由.知2)=号2号f②号， 2f2)g 数学文化 例ABD【解析】由fx)=x2-x+1,得f-1)>0,f-2)<0, 即f(-1f(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 r∈(-2，-1)，故A正确；又由f'(x)=3x2-1,设切点 P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=f'(x)=3x-1,切 线方程为y-x+x+1=(3x-1)(x-x),令y=0,可得x= 装+怀改D正确：当6=1时，可得 3x-1 =3,则小引名，”孕出的方程为 y+号-孕+2》、即2-4+31-0，放B正确：由 子，可得引对留，此时 k日，故C错误，故选ABD, 6.1.3基本初等函数的导数 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35 高中数学选择性必修第三册人教B版 (x)-lim)=lim 3-3=lim0=0. 4x0 40△x40 (2)根据定义，可知 f'(x)=-lim f+△x)-fx) △r0 Ax =lim（x+Ax)-(x) =lim 1=1. △x0 (3)根据定义，可知 f'(x)=limf+△r)-fx) △0 △x =lim (x+Ax)-() △r0 △x =lim (2x+Ax) △r0 =2x. 变式训练1解：f'x)mf+f △x =n3A+3A44-n3+3xAr+4r2-3 例2解：(1)f'(x)=(-6)x7 (2)y'=61n6. 8产 (4)y-0. (5)cos-sins. .'.y=-cosx. (6)=VF=,古 变式训练2(1)V(2)×(3)×(4)× 例39r-4y+9=0或9x-y-18=0【解析】由f(x)=32, 得f'()=2.设切点为Mo,合小，则f'(o=云，则过 切点M的切线方程为)号=(x0.:点P在切线上， 把P3,9)代入方程，得9了=(3-6，整理，得 2-9+27=0.即x+号xr3)20,解得%=2或=3. 当2时，切线方程为g4+9=0,当x3时， 切线方程为9x-y-18=0.综上，过点P(3,9)的切线方 程为9x-4y+9=0或9x-y-18=0. 36 变式训练3解：(1)f(2)=2+2-16=-6, .点(2，-6)在曲线上。 f'(x)=3x2+1, .在点(2,6)处的切线的斜率为 k=f'(2)=3x22+1=13. .直线1的方程为y=13(x-2)+(-6). 即y=13x-32 (2)设切点为(，y),则切线的斜率为 f'(x)=36+1, .切线方程为y=(3后+1)(-xo)+d+xr16. 又切线过点(0,0)， .0=(3+1)(-o)+xd+w-16,整理，得x=-8, .∴x=-2,y0=(-2)34(-2)-16=-26: k=3x(-2)2+1=13, ∴.过原点且与曲线yf(x)相切的切线方程为y=13x, 切点坐标为(-2，-26). 数学文化 例A【解析】由题意，可知f(x)=V无，f'(x)=,1 2Vx >0,∴y=fx)在(0，+∞)上单调递增.选择3.998附近 的点0=4>3.998，∴.f(4)+f'(4)(3.998-4)=1.9995> m.故选A. 6.1.4求导法则及其应用 第1课时导数的四则运算法则 要点精析 例1解：f(x)=x2+3x-8,则f'(x)=3x2+3,当x=2时， f'(2)=15. 变式训练1解：（①）x)分-} 则f'(x)=x-1+1=x-+1 x2 (2).f(x)=e'+Inx+sinx,f(x)=e+L+cosx. 例2解：f(x)=w sinx, f'(x)=(x)'sinx+x (sinx)'=3x2sinx+x'cosx. 变式训练2解：(1)h'(x)=(sinx)'=x'sinx+x(sinx)'= sinx+xcosx. (2)f'(x)=(x2e)'=(x2)'e+x2(e)'=2xe+xe高中数学选择性必修第三册人教B版 6.1.3基本初等函数的导数 例1利用定义求下列函数的导数， 学习目标 (1)y=3.(2)y=x.(3)y=x2. L.能根据导数的定义求函数y=c,y=x, ,=是，=V的导数 2.能利用给出的基本初等函数的导数公 式和导数的四则运算法则，求简单函数的导 数；能求简单的复合函数[限于形如f代a+b)] 的导数 3.会使用导数公式表. 要点精析 川要点1导函数的概念 一般地，如果函数yf(x)在其定义域内 每一个点x都可导，则称f(x)可导.此时， 修变式训练① 对定义域内每一个值x,都对应一个确定的 利用定义求fx)=x3的导数. 导数f'(x).于是，在fx)的定义域内，f'(x) 是一个函数，这个函数通常称为y(x)的导 函数，记作f'(x)(或y',y:),即 f'(x)=y'=y'=-lim f(+△x)-fx） 4x0 △x 导函数通常也简称为导数， 反思感悟 f'(x)是函数yf(x)的导函数，是一个 函数；f'(xo)是f'(x)在x=xo处的导数值， 是一个实数，所以∫'(x)与∫'(x)不相同， (46)学 第六章导数及其应用 川要点2导数公式表 变式训圳练2 函数 导数 判断正误： fx)=C(C为常数) f'(x)=0 (1)函数在点(xo,f(xo))处的导数 '()为一个常数. () f(x)=xa(a∈Q) f'(x)=ax f(x)=(a>0且a≠1) f'(x)=a'lna (2)若=V2,则y=×2=1.() f(x)=e f(x)=e (3)若f'(x)=sinx,则fx)=cosx.() 1 fx)=logx(a>0且a≠1) f'(x)= xlna ④)若)=，则f”)归中 f代x)=lnx f"(x)=1 川要点3求切线方程“过”与“在”的区别？ f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f'(x)=-sinx 例3 已知函数fx)=号，则曲线) 思考证明(sinx)'=cosx. f(x)过点P(3,9)的切线方程为 例2利用公式求下列函数的导数 (1)fx)=x6.(2)y=6. 分析利用导数求切线方程时，常规 操作为先判断点是否在曲线上，如果在曲 (3)y=log.(4)y=sin 线上，就利用导数求切线的斜率，进而运 (5)y=0sx+7(6)=VF. 用直线方程的点斜式求切线方程；如果点 不在曲线上，则考虑先设出切点，“过一 分析注意y=d(a>0且a≠1)与y=x 点”中的“点”可以在曲线上，也可以不 (a∈Q)的导数的区别. 在曲线上 反思感悟 求切线方程的一般步骤： (1)寻找切点：判断点是否在曲线上， 如果此点在曲线上，则切点即为这个点； 如果此点不在曲线上，先设出切点坐标. (2)求导：由于切，点的导数值为切线 的斜率，因此利用求导解得切线斜率。 (3)利用点斜式写出切线方程并进行 求解. 思考请总结“过”某点切线与“在” 某点切线上的区别」 学 47 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3 数学文化 已知函数f(x)=x3+x-16. 例函数y=kx+b(k≠0)，其中飞，b是 (1)直线1为曲线y=f(x)在点(2，-6)： 常数，其图象是一条直线，称这个函数为线 处的切线，求直线1的方程 性函数，对于非线性可导函数(x)在点附 (2)求过原点且与曲线y=(x)相切的切 近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求 线方程及切点坐标 其近似代替值：fx)≈fxo)+f'(xo)(x-).利 用这一方法，求得m=V3.998的近似代替 值() A.大于m B.小于m C.等于m D.与m的大小关系无法确定 分析由题意，可知m的近似代替值是 曲线y=f(x)在x=3.998附近的切线上3.998 对应的纵坐标，而实际值是曲线上3.998对 应的纵坐标，画出函数f(x)=Vx的图象 及相关切线（图略），结合图象可知近似代 替值与m之间的关系.或者研究函数的单 调性，再在3.998附近选择合理的值进行求 解近似代替值，利用函数的单调性进行比较。 48)学