6.1.2 导数及其几何意义-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6.1.2导数 学习目标 1.理解瞬时变化率、导数的概念。 2.理解导数的几何意义， 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在 某点处的切线方程. 要点精析 川要点1瞬时变化率与导数 一般地，设函数y=f(x)在xo附近有定 义，自变量在x=处的改变量为△x,当△x 无限接近于0时，若平均变化率上= △x fx+△x)fxo无限接近于一个常数k,那么 △x 称常数k为函数f(x)在x=xo处的瞬时变化 率.此时，也称f(x)在处可导，并称k 为f(x)在x=xo处的导数，记作f'(xo)=k.为了 简单起见，“当△x无限接近于0时， fo+△x)=fo)无限接近于常数k”也常用 △x 符号“→”（读作“趋向于”）表示为当 △x0时，fxt△x)fx→k,或者写成 △x lim f(Ax)-fxo）=k, △x0 △x f(xo)=lim f(xo+Ax)-f(xo) 4x→0 Ax 思考瞬时变化率与平均变化率的区 别是什么？瞬时变化率是否一定存在？ 第六章导数及其应用。 及其几何意义 例1已知f'(o3,则咖im3m)-fxo) m→0 m =( A B.1 C.3 D.9 分析利用瞬时变化率的定义，配凑 出形式即可得到答案. B变式训练① (1)若函数y=f(x)在x=x处可导，则 lim (h)fxwh）=（) h0 A.f'(xo) B.2f(xo) C.-2f'() D.0 (2)求函数y=3x在=1处的导数. 学(43 高中数学选择性必修第三册人教B版 反思感悟 求函数yf(x)在点xo处的导数的步骤： 求因变量的改变量 Af=f(xo1+△x)-fxo) 求函数的平均 △f_fxo+△x)-fxo) 变化率 △x △x 取极限，得导数 f'(xo)=lim Af A0△x =-lim△x)fxo】 Ar △x 川要点2导数的几何意义 函数y=f(x)在点o处的导数的几何意 义：f'(xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,fo) 处（也称在x=o处）的切线的斜率， 思考导数的几何意义体现了什么数 学思想？ 例2已知点P(xo,yo)是抛物线f(x)= 3x2+6x+1上一点，且在点P处的切线斜率为 0,则点P的坐标为() A.(1,10)》 B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(-1,10) 分析根据导数的几何意义，求f(x) 的导数，令其为0，解方程得到P点的坐标. B变式训练2 如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切 线方程是)=-号46，则5)时"(5)=（） x+6 图6-1-5 44)学 A.4 B.3 c D. B变式训练3 已知函数f(x)的图象如 以 图所示，下列数值的排序正 确的是( 0123 A.f'(2)<f'(3)<f3)-f2) B.f'(3)<f3)-f2)<f'(2) 图6-1-6 C.f'(3)<f'(2)<f3)-f2) D.f3)-f2)<f'(2)<f(3) 反思感悟 根据导数的几何意义可知，f'(x0)能反 映曲线f(x)在x=处的升降及变化快慢情 况.若f'(xo)>0,则曲线在该点处上升；若 f”(x)<0,则曲线在该点处下降， 川要点3求函数在某点的切线斜率及方程： 曲线的切线斜率： (1)设P(xo,f(xo),P(x,f(x)是曲 线y=f(x)上任意不同两点，则平均变化率 fx)-fo)=fx+△x)-f)为割线P,P的 x-xo △x 斜率 (2)当P点逐渐靠近P。点，即△x 逐渐变小，当△x→0时，瞬时变化率 1 im△x)-fx)就是y=x)在x,处的切线 △x+0 △x 的斜率，即k=-lim fxo+△x)-fxo) 4x0 △x 思考曲线在A点处的切线与过A点 处的切线是一样的吗？ 例3求曲线f(x)=x+1在点P(1,2)》 处的切线的斜率，并求出切线方程 分析对f代x)求导，利用导数的几何意 义求出切线的斜率，由，点斜式得到直线方程. 变式训练④ 下图为函数y=f(x)及其在点P处切线的 图象 (1)求切线方程。 (2)求f(2)+f'(2). 图6-1-7 第六章导数及其应用。 反思感悟 解决曲线y=f(x)上点P(xo,yo)处的切 线方程的基本步骤： (1)若切点为P(xo,yo),则yof(xo), 切线斜率k=∫'(xo). (2)由kmk,得方程f(o)=Mfo） X1-X0 (3)化简上述方程，得切线方程y-yo= h(x-xo). 数学文化 例 (多选题)牛顿在《流数法》一书 中，给出了高次代数方程根的一种解法.具 体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零 点，任意选取作为r的初始近似值，过点 (xo,f(xo)作曲线y=fx)的切线l1,设l与x 轴交点的横坐标为x1,并称为r的1次近 似值；过点(x1,f(x)作曲线y=f(x)的切 线12，设12与x轴交点的横坐标为2，称2 为r的2次近似值.一般地，过点（x, f(xn)(n∈N)作曲线y=f(x)的切线ln, 记ln1与x轴交点的横坐标为xn+l,并称xm+l 为r的n+1次近似值.对于方程x3-x+1=0, 记方程的根为r,取初始近似值为x=-1,下 列说法正确的有() A.r∈(-2，-1) B.切线2：23x-4y+31=0 C.krb 2x2-1 D.xn3x-1 学(45因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，fx) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 例解：从A处到B处高度的平均变化率为Ay=10-0 △x150-0 了，从B处到C处高度的平均变化率为：0 Ax270-50 子由宁兮，知山路从8处到C处比从1处到B处 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 处会感觉比较吃力. 6.1.2导数及其几何意义 要点精析 例1D【解析】lim fx+3m)-f m+0 m =3lim f(xo+3m)-f(xo) 3m0 3m =3f'(x) =9. 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(xo-h)=2h. ..lim (xth)-f(x-h)-2limh)xh)=(x). h 2h 选B (2)解：.△y=f(1+Ax)-f(1)=3(1+△x)2-3=6△x+ 3(Ax)月，A=6+3A, △x ÷f'm-m(6+3-6 例2B【解析】k=-lim+A）-fw）=lim(6o+3Ar+ A+0 △x A+0 6)=6x+6,∴.6x0+6=0,得x=-1,∴y0=f()=f(-1)=3× (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 选B. 变式训练2A【解析】：函数f(x)的图象在点P处的 切线方程是)=子+6,5)=号，f'(5)-子5)+ f'(5)=4.故选A. 参考答案。 变式训练3B【解析】f3)-f2)=f3)2).由图，可 3-2 知f'(3)<3）2)f(2),即f'(3)<3)-f2)f"(2. 3-2 123 变式训练3答图 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 几何意义，可知切线的斜率为k=-lim 1+△x)-f1)= △+0 △x 1im1+Ax)2t1-(1+1)=lim(Ax+2A比=im(Ax+2)=2. △+0 Ax 4x-0△x A+0 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 0,45.切线方程为)料4.即)名号 ②由.知2)=号2号f②号， 2f2)g 数学文化 例ABD【解析】由fx)=x2-x+1,得f-1)>0,f-2)<0, 即f(-1f(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 r∈(-2，-1)，故A正确；又由f'(x)=3x2-1,设切点 P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=f'(x)=3x-1,切 线方程为y-x+x+1=(3x-1)(x-x),令y=0,可得x= 装+怀改D正确：当6=1时，可得 3x-1 =3,则小引名，”孕出的方程为 y+号-孕+2》、即2-4+31-0，放B正确：由 子，可得引对留，此时 k日，故C错误，故选ABD, 6.1.3基本初等函数的导数 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35