11.16 祖暅原理与几何体的体积-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第1课时与柱、锥、台相关的体积问题 A.14斛 B.22斛 基础练习 C.36斛 D.66斛 一、选择题 4.若圆台的上底面面积与下底面面积分 1.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为 别为5π，20m,且圆台的体积为70 ，则该 2π的正方形，则这个圆柱的体积是() 圆台的母线长为() A.2T2 B.T2 C. D. A.6 B.V42 2.一个正三棱锥（底面是等边三角形， C.3 D.V21 且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱 5.若正四棱台的上、下底面边长分别为 锥)的底面边长为2，侧棱长为4Y3,则 1,2,高为2，则该正四棱台的体积为 3 () 此正三棱锥的体积为() A.2V3 B.V15 AI 3 C.4 3 D.14 C.2V3 D.4V3 3 3 6.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的 3.《九章算术》是我国古代内容极为丰 棱长为4，动点E,F在棱AB上，且EF=2, 富的数学名著，书中有如下问题：“今有委 动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'-EFQ的体 米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及 积() 为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）， 米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺， 问：米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约 第6题图 为3，估算出堆放的米有() A.与点E,F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E,F,Q的位置均有关 D.与点E,F,Q的位置均无关，是 第3题图 定值 44)练 第十一章立体几何初步 7.(多选题)已知△ABC的三边长分别：它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转 是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是： 轴旋转120°得到的，AB=3,AD=2. ( (1)求这个几何体的体积。 A.以BC所在直线为旋转轴，将此三角 (2)求这个几何体的表面积. 形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为旋转轴，将此三角 形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为旋转轴，将此三角 B 形旋转一周，所得旋转体的体积为16m 第12题图 D.以AB所在直线为旋转轴，将此三角 形旋转一周，所得旋转体的体积为48m 5 二、填空题 8.若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母 线长为2，则这个圆锥的体积为 9.如图，已知正方体ABCD-ABCD1的 13.如图，已知圆台的高为3，在轴截 棱长为1，则四棱锥A1-BBDD的体积为 面中，母线AA,与底面圆直径AB的夹角为 60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求 圆台的体积. A 第9题图 第10题图 第13题图 10.如图，一个底面半径为2的圆柱被 一平面所截，截得的几何体的最短和最长 母线长分别为2和3，则该几何体的体积 为 11.已知四面体ABCD中，AB=CD=V13, BC=AD=2V5,BD=AC=5,则四面体ABCD 的体积为 三、解答题 12.如图所示的几何体是圆柱的一部分，： 练 45 N 高中数学必修第四册人教B版 提升练习 15.如图所示，四棱 锥P-ABCD的底面ABCD 14.一个封闭的正三棱柱容器，高为8， 为平行四边形，CE=2EP, 内装水若干（如图1，底面处于水平状态）· 若三棱锥PEBD的体积为 B 将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状 V1,三棱锥PABD的体积 第15题图 态)，这时水面所在的平面与各棱交点E, F,G,H分别为所在棱的中点，则图1中水 为V2,则的值为() V 面的高度为() AB c D.1 6 图1 图2 第14题图 A.2B.3 C.4 D.6 46)练 N 第十一章立体几何初步 第2课时 与球相关的体积问题 6.(多选题)已知正方体的外接球与内 基础练习 切球表面上各有一动点M,N,若线段MN 一、选择题 的最小值为V3-1.则下列说法正确的是 1.已知球的体积为4π 则该球的表面 () 3 A.正方体的棱长为2 积为() B.正方体外接球的体积为4V3π A.6m C.正方体内切球的表面积为4 3 C.4m D.32 3 m D.线段MN的最大值为2V3 2.若球的表面积扩大到原来的4倍，那 7.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O 么该球的体积扩大到原来的( 的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2 A.64倍 B.32倍 的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点， C.16倍 D.8倍 ∠CEF=90°，则球O的体积为() 3.将8个半径为1的实心铁球熔成一个 A.8V6 T B.4V6 T 大球，则这个大球的半径是() C.2V6π D.V6π A.8 B.2V2 二、填空题 C.2 D.V2 8.在一个底面直径为12cm、高为18cm 4 的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为 4.用平面a截一个球，所得到的截面面 12cm,加入一个球形小钢珠后水面上升到了 积为π，若球心到这个截面的距离为V3, 13cm,则球形小钢珠的半径为 cm. 则该球的表面积为( 9.已知A,B,C是球面上三点，且AB= A.4m B.8T AC=4,∠BAC=90°，若球心O到平面ABC的 C.16m D.28m 距离为2√2，则该球的表面积为 5.如图所示，半径为6的 10.设A,B,C,D是同一个半径为4 球的两个内接圆锥有公共的底 的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且 面，若两个圆锥的体积之和为 球的体积的令 其面积为9V3，则三棱锥D-ABC体积的 则这两个圆锥 第5题图 最大值为 高之差的绝对值为() 11.一个正六棱柱的底面是正六边形， A.2 B.4 其侧棱均垂直于底面.已知该六棱柱的顶点 C.6 D.8 都在同一个球面上，六棱柱的体积为？，底 练 47 N 高中数学必修第四册人教B版 面周长为3，那么这个球的体积为 13.已知四面体ABCD中，AB=CD=2V5, 三、解答题 BC=AD=V13,AC=BD=5.求： 12.如图，一个圆锥形的空杯子上放着 (1)四面体ABCD的体积. 一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了， (2)四面体ABCD外接球的表面积. 会溢出来吗？ 第12题图 提升练习 14.在侧棱长为a的正三棱锥O-ABC 中，侧棱OA,OB,OC两两垂直，现有一 球P在该几何体内，则球P的半径最大为 () A.3+V3a B.3-V3a 6 6 C.2-V3a D.2+V3 a 6 6 15.已知直三棱柱ABC-ABC1的底面 ABC为等边三角形，若该三棱柱存在外接球 与内切球，则其外接球与内切球的表面积之 此为() A.25:1 B.1:25 C.1:5 D.5:1 48)练14,故选AD. B 图1 图2 第7题答图 8.4π【解析】球体表面积为4πr2-4π×1-4π.故答案为4π. 9。?【解析】设圆维底面圆半径为r,圆锥高为h,依 题意，，2，解得h=分，该圆锥的高为分 10.3m【解析】弧长为受、半径为1的扇形，其圆心 角为牙，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体 是半径为1的半球体，.该扇形绕OB所在直线旋转一周 得到的儿何体的表面积S=mx14】×4π×1=3m。 2 11.12【解析】AB=10,AC=-6,BC=8,∴.△ABC为直 角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.r=5.轴截 面图如图所示，.d=R2-7=132-52=122,.球心0到△ABC 所在小圆的距离为12. A 0 B 第11题答图 第12题答图 12.解：(1)由题意，可得圆台上、下底面的半径分 别为t=3cm和r=8cm,两底面圆心的连线长为高h= 12cm,如图所示，作A'B⊥OA=B,则有AB=r-r'=5cm, A'B=h=12cm,在Rt△AA'B中，AA'=VAB+A'B=13cm, 故圆台的母线长为13cm. (2)圆台的表面积S=S上底+S下底+S侧=9T+64T+13×(3+ 8)m=216m(cm2). 13.解：(1)圆锥的母线长为 V62+2=2V10(cm),故圆锥的侧 面积S,=T×2×2V10=4V10π(cm2). A' 0 (2)画出该几何体的轴截面图形 如图所示，设圆柱的底面半径为OA= M A O B N rm,由题意，知所0，即子 OM 第13题答图 参考答案。 =6后，6号圆柱的测面积s-2m=罗(-+6)归 -否(x-3)46（(em,当x=3时，圆柱的侧面积取得 最大值，且最大值为6mcm2 14.5π【解析】题图中阴影部分绕AB所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，球的 表面积的号为号×4mx1=2m.圆柱的底面半径为1，高为1， .圆柱的底面积为×12=π，圆柱的侧面积为2π×1×1=2π， .该旋转体的表面积为2π+π+2m=5π. 15.牙V了【解析】扇形侧面展开图的弧长等于圆 维底面圆的同长、即为2×号=智，又扇形的半径为2， 4π :扇形的圆心角为？=2红.设侧面展开图为扇形ASA', 23 连接MA',则展开图中MA'的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理，可得MM'=V1+4-2x1x2x-7)=V7. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第1课时与柱、锥、台相关的体积问题 1.A【解析】若圆柱底面半径为r,则2r=2π，可得 =1,且圆柱的高为2π，∴.圆柱的体积为2π×T×1P=2m2故 选A. 2.C【解析】如图，A-BCD y 为正三棱锥，BC=CD=BD=2, AB=AC=AD=4Y3,设底面 3 △BCD的中心为G,连接BG并 延长，交CD于点E,可得BE= B4=----6-- 、 V3,则BG=2Y3.在Rt△AGB 第2题答图 3 中，求得A6=VA-C=V4y2=2 3 此正三棱维的体积为兮××2xV了x2=2y5,故 3 选C. 3.B【解析】米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底 部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的周长为32尺，结合圆 的周长公式，可得圆锥底面半径为16尺.又米堆的高为5 尺，再结合圆锥的体积公式，可得米堆的体积为20立方 3π 尺.再根据题设条件，1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周 率约为3，可估算出米堆有22斛，故选B. 77 N 高中数学必修第四册人教B版 4.C【解析】易知圆台的上底面与下底面的半径分别 为V5,2V5,设圆台的高为A,又圆台的体积为四， 故号(5m+20m+V5m20)Xh=9m,即h-2,故圆台的母 线长为V(2V5-V5)+22=3.故选C. 5.C【解析】V6=号(S+s'+VS网h=号(1+4V4)x 2=号故选C 6D【解折】Vm=Vso弓×宁×EX4'X A'D'=6,三棱锥A'EFQ的体积为定值，与点E,F,Q 3 的位置均无关。 7.ACD【解析】以BC所在直线为轴旋转时，所得旋 转体是底面半径为3、母线长为5、高为4的圆锥，其侧面 积为m35=5m,体积为兮XT3x4=12m,故A正确，B 错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半 径为4、高为3的圆锥，体积为号×m4x3=16m,故C正 确；以AB所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径 为号，高分别为“和号的两个圆维的组合体，体积为号× 5 x号×5+号)-，故D正确故选ACD 8.π【解析】如图，由于圆锥的轴截面顶角为120°， 故LAP0=60°，又PA=2,.0P=1,OA=V3,故圆锥的体 积为号01.0P号mx(V3)x1=m,故答案为m 0 第8题答图 9.弓【解析】四棱锥的底面BBDD为矩形，其面积 为1×V2=V2,又点A1到底面BBDD的距离，即四棱 维ABDD的商为号A,C=Y孚.四楼维ABBD,D的 体积为号xV2xY要号 10.10π【解析】用一个完全相同的几何 体将题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆 柱的体积为T×22×(2+3)=20π，故所求几何 体的体积为10m. 第10题答图 78 11.8【解析】以四面体的各棱为长 方体的面对角线，作出该长方体，如图D 所示.设长方体的长、宽、高分别为x, x2+y2=(V13)2, x=3, y,z,则y2+2=(2V5)乃，=2，易 A、 E x x2+z2=52 z=4. 第11题答图 知V三长维DA= E1DE·S△B= V长方称，同理，V三长维6= 6 V=V长名长方，V体=V长者-4X 名长号y长V长=234-24，m8 12.解：(1)由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的 体积为V=ABxS,其中S1为底面积，且S1=πxAD2,故V= 3×4T=12π，.几何体是矩形旋转120°得到，故几何体体积 为器皆4m (2)由题设，FD-EC号2ADxm=智，则几何体外侧曲 3 面的面积为3×钙4m,上、下底面的面积和为2×号-8。 3 矩形ABCD,ABEF的面积和为12，综上，几何体的表面 积为12+20m 3 13.解：如图所示，作轴截面 AABB,设圆台的上、下底面半径 和母线长分别为r,R,l,高为h. 作AD⊥AB于点D,则AD=3.又A日 A0,4上物即R 第13题答图 3xY5,R-r=V3.又∠BA4=90,六∠BAD=60 3 ∴BD=A Dtan60°，即R+r=3×V3,R+r=3V3,∴R= 2V3,eV3,而h=3,Vg6=号(R24Rr)=号mx3X [(2V3)2+2V/3×V3+(V3)2]=21π..圆台的体积为 21T. 14.D【解析】题图2中水面以下为四棱柱BCEF BCEF,高BB1与原三棱柱相同，底面四边形BCEF面积 Sa=子Sac,水的体积为三棱柱体积的子，在图1中 水面高度为子×86，故选D, 15.B【解析】设四棱锥P-ABCD的高为h,底面ABCD 的面积为S,则V=V=分×2h=石h.GE=2EP, 6 :PE=号PC,=V兰长am=V三长量=号V三长能C 号Vm兮×g%4 18 6 第2课时与球相关的体积问题 1.C【解析】根据题意，V-红，l,则该球 3 的表面积为S=4π×1-4π.故选C. 2.D【解析】设扩大前后球半径分别为1,2，由表面 积之比为4m严=三=上)=4，得4=2，则体积之比为 4nr rr2 ra 4 所-=2=8.故选D. 等所月后 3.C【解析】8个半径为1的实心铁球的总体积为8× 号x号，设大球半径为R,则号mR号，解得R 2.故选C. 4.C【解析】由于截面面积为π，故截面圆的半径为 r=1,又球心到这个截面的距离为h=V3,故球半径为R= V+h2=2,故球的表面积为4mR=16π.故选C. 5.C【解析】如图所示，设两圆锥 的顶点分别为A,B,连接AB,设底面 -0t 圆的圆心为O,球心为O,连接OC, 08 OC,则圆锥底面圆的半径r=OC,球的 半径R=0C=6.·.两个圆锥的体积之和为 B 球的体积的号号r10+兮mrB0,=第5题答图 号4060)写r2R)=受×号R,化简，得户 4 27,即r=3V3.在Rt△001C中，001=V0C2-01C2= V36-27=3,则两个圆锥的高分别为AO1=R-001=3,B01= R+00=9,.两个圆锥高之差的绝对值为6，故选C 6.AB【解析】设正方体的棱长为a,则其外接球半径 R=Y。,内切球半径=0，~两球球心相同，以，N在 两球面上，六线段MN的最小值为R-=Y号。a=V了 2 -1,解得a2:外接球的体积为V=号m号xa 4V3m;内切球的表面积为S=4产4m×20P=4m;线段 MN的最大值为R+=Ya+号=V3+1,枚选AB 7.D【解析】.PA=PB=PC,且△ABC为正三角形，∴. 参考答案⊙ 三棱锥PABC为正三棱锥，易知 PB⊥AC.E,F分别为PA,AB的中 点，.EF∥PB.又∠CEF=90°， PB⊥EC,而EC∩AC=C,PB⊥平 面PAC.又三棱锥PABC为正三棱 D 锥，PA,PB,PC两两垂直且相等， 第7题答图 P,A,B,C可看成边长为V2的正方体的4个顶点，如 图所示，此正方体的外接球即为三棱锥PABC的外接 球，正方体的体对角线即为外接球的直径，又 V(V2)2+(V2)2+(V2)2=V6,球0的体积为 专xV5-v6m 8.3【解析】设球型小钢珠的半径为R,上升水柱的体 积V=nrh36m,y=号mR=36m,R27,R=3. 9.64r【解析】：AB=AC=4, ∠BAC=90°，：BC为平面ABC截 球所得小圆的直径，如图，设小圆 0 的半径为r,得2r=VAB2+AC2= -=B 4V2,解得r=2V2,又球心0 A 到平面ABC的距离d=2V2,根 第9题答图 据球的截面圆性质，得球的半径R=+严=4，：.球的表面 积为S=4πR2=64T 10.18V3【解析】设等边三角形ABC的边长为a, 则有Sa=aa:sin60P=9V3,解得a=6.设△ABC外接 圆的半径为，则280，解得=2V了，则球心到平 面ABC的距离为V4?-(2V3)2=2,.点D到平面ABC的 最大距离为2+4=6，·三棱锥D-ABC体积的最大值为}× 9V3x6=18V3. 1山，号π【解析】由已知，得该正六棱柱的底面边长为 之，设该六棱柱的高为h,~该六棱柱的体积为謦，？ =hx6x学×号户，解得h=V3,则球的半径r √分+1，则这个球的体积为号 12.解：不会。半球形的冰撒凌的体积为2×号m4 12S0,圆维形空杯子的体积为号412=64，而2S< 3 64π，如果冰激凌融化了，不会溢出来. 79 N 高中数学必修第四册人教B版 13.解：(1).四面体的对 棱相等，·.可以放入一个长方体 A 中，各组对棱为长方体相对面的 对角线，如图所示，四面体体积 为长方体体积减去4个小三棱锥 第13题答图 的体积.设长方体的长、宽、高分 a2+b2-25, 04, 别为a,b,c,则有b2+c=13,解得b=3, a2+c2-20, c=2 :四面体ABCD的体积为V=bc-x6obc=8 (2)由(1)得，长方体的外接球就是四面体的外接 球，半径R=号V6+2=V29,故四面体ABCD外接球 2 的表面积S=4πR2=29m 14.B【解析】依题意，知球P的半径最大时，球P为 正三棱锥O-ABC的内切球，设此时它的半径为r,球心为 P,连接PO,PA,PB,P℃（图略），则正三棱锥O-ABC的 体积V等于四个小三棱锥POAB,POBC,POAC,PABC 的体积之和.球P是正三棱锥的内切球，∴.四个小三棱锥 可以分别看作以正三棱锥O-ABC的四个面为底，以球P的 半径r为高的三棱锥.·正三棱锥O-ABC的侧面为等腰直 角三角形，且直角边为a,∴.正三棱锥的底面边长为V2a, ,V三枚维A=V三锥PHs+V三族锥PBC+V三枝锥PAC+V三枚PABc, 4 解得=3-V了a.故选B. 6 15.D【解析】如图所示，设点0A 是三棱柱的外接球和内切球的球心， B 点M是底面等边△ABC的中心，点 10 N是棱AB的中点，连接OM,MW AM,OA.设AB=2a,则MN=V3。 A 3, -M MA=2Y了a:三棱柱的内切球与各 第15题答图 3 面都相切，∴.三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形的 内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径，.OM=MW= Y了a,即三棱柱的内切球的半径r=Y了a,OA= 3 3 VOM+Mn=Y压a,即三棱柱的外接球的半径R=Y压a, 3 3 :内切球的表面积为4r号心，外接球的表面积为 4R=9心，三棱桂外接球和内切球的表面积之比为 80 9㎡：专n51.放选D. 一“阶段性练习卷（六） 1.A【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长 为1，由题意，可知h=2,则x(V2r乃1，=l, 2 =V2,∴.侧面积为Trl=V2T,故选A. 2.C【解析】设三棱锥的外接球半径为r,如图，将三 棱锥补成长方体，则有(2r)2=32+4452=50,即4=50，故它 的外接球的表面积S=4πr2=50π. 第2题答图 第3题答图 3.C【解析】如图，设Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=1, 则AB=2,AC=V3,求得斜边上的高CD=3,旋转所 2 得儿何体的体积分别为V=号π(V3)x1=m,V号mxI× V3=,=号Ya=2m故，：，y= 3 V3:1=6:2V3:3. 32 4.C【解析】用一个完全相同的 五面体HW-LMN(顶点与五面体 ABC-DEF一一对应)与该五面体相 嵌，使得D,NE,M;F,L重合， 因为AD∥BE∥CF,且两两之间距离 B 为1.AD=1,BE=2,CF=3,则形成的 第4题答图 新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的 直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形， 侧棱长为1+3=2+2=341=4，Vw=号听号×分X1X1× V3x4=V3.故选C 2 5.B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长 为VT2+3,而它们的侧面积相等，.2r×V3=Tr×V3+r 即2V了=V3+r,故3，故圆锥的体积为号πx9xV了= 3V3π.故选B. 6.A【解析】如图，连接BD,过点P作PO⊥底面