6.1.1 函数的平均变化率-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 f(k)=k(k-1) 变式训练5B【解析】5+1-2+=5.5-2.2=5(5-2)+5× 2 2-2×2=5(5-2)+3x2:故选B. 由于1与这飞条直线均相交且任意三条不过同一点， 数学文化 .直线1与l,2,1,…,1的交点共有k个， 例解：(1)由题意，得a=1,a=3,a=7,a4=15. :.f(k+1)=f(k)+hk=k(k-D+k=k=k(k+1)_ 2 2 2 (2)猜想：a,=2-1,neN.证明如下： (k+1)[(k+1)-1] ①当n=1时，a=1成立. 2 ②假设当n=k(k≥1，k∈N)时猜想成立，即au= 当n=k+1时，命题成立. 2-1. 由①②可知，命题对一切n∈N且n≥2时成立 即将飞个直径不同的盘子从A杆移动到C杆最少 变式训练4A【解析】三棱柱有0个对角面，四棱柱 需要2-1次」 有2个对角面：0+2=0+(3-1)；五棱柱有5个对角面： 则当n=k+1时，分三步进行： 2+3=2+(4-1)；六棱柱有9个对角面：5+4=5+(5-1)；…. 第一步，将上面k个盘子从A杆移动到B杆； 猜想：若k棱柱有fk)个对角面，则(+1)棱柱有f(k) 第二步，将第(k+1)个盘子从A杆移动到C杆； +k-1个对角面.故选A 第三步，将上面飞个盘子从B杆移动到C杆 例5(k45k)+3k(k+1)+6【解析】(k+1)3+5(k+1)=k3+ 则最少需要(2a4+1)次，即a41=2a4+1=2(2-1)+1= 1+3k2+3+5k+5=(k+5k)+32+3k+6=(K3+5k)+3k(k+1)+6. 21-1, 由于假设+5k能被6整除，而k(k+1)为偶数， 即=k+1时，猜想也成立. 能被2整除，3(k+1)能被6整除，故(k+1)+5(k+1) 综上，a=2-1. 应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6. 第六章 导数及其应用 2(△x)2+8△x.故选C m6.1导数 例2C【解析】作出函数f(x) 6.1.1函数的平均变化率 ln(x+1)的图象，如图所示 要点精析 由图可知曲线上各点与坐 例1解：(1)fx)=32+5, 标原点的连线的斜率随着x的 增大而减小 例2答图 “从0.1到0.2的平均变化率为3x0.2+5-3x0.1P-5 0.2-0.1 由1<2<3，得1)0>f2)-0,f3)-0 1-0 2-0 3-01 0.9 (2)fxo+△x)-fxo) 即>2>f3).故选c 1 2 3 =3(x+△x)2+5-(3+5) 变式训练2B【解析】在6处，虽然有W(to)=Wz(), =36+6.x△x+3(△x)2+5-36-5 但W甲(to-△)<Wz(t-△)，.在相同时间△内，甲厂比 =6Ax+3(△x)2, 乙厂的平均治污率小，.乙厂治污效果较好.故选B。 函数f(x)在区间[o,+△x]上的平均变化率为 4x+3(△r2-6t3Ax. 例3解：)所术平约速度为瓷5品5m (2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线，则由 变式训练1C【解析】y=2,4y=2×(2+△)-2x2(1),可知直线的斜率为5，且直线通过点(0.1,0.25)， 34 参考答案。 因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 变式训练3B【解析】f3)-f代2)=f3)2).由图，可 3-2 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 知f"(3)<3）2)f(2),即f'(3)<f3)-f2)"(2. 3 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，fx) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 123 例解：从A处到B处高度的平均变化率为Ay=10-0 △x150-0 号，从B处到C处高度的平均变化率为&50 变式训练3答图 △x270-50 子，由子行，知山路从B处到C处比从A处到B处 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 几何意义，可知切线的斜率为k=-lim 1+△x)-f1)三 △r+0 处会感觉比较吃力. lim (1+)1)-lim (x)2A=lim (x+2)=2. A+0 △x A◆0 6.1.2导数及其几何意义 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x 要点精析 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 例1D【解析】lim fxct3m)-fo) m+0 0,451,切线方程为号4.即)名+号 0-4 =3lim f(xot3m)-f(xo) 3m0 3m 2由1).知2)=-号×2*号号f2)g, =3f'() 2f2)-g =9. 数学文化 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(xo-h)=2h. 例ABD【解析】由fx)=x-x+1,得f-1)>0,f(-2)<0, ..limh)-f(xa-h)-2lim)Kxh=(x). h 2h 即f(-1f(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 选B r∈(-2，-1)，故A正确；又由f'(x)=3x2-1,设切点 (2)解：4yf(1+△x)-f(1)=3(1+△x)2-3=6Ax+ P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=∫'(x)=3x1,.切 3(Ax)只，Ay=6+34x 线方程为y-x+x+1=(3x-1)(x-x),令y=0,可得x= △x -+x+1+x,= f1-m-m(643ax-6 3x-1 ,位D正确：当1时，可得 例2B【解析】k=-lim+△c）=fwl=lim(6o+3Ar+ =,则小2引冬f)孕，出的方程为 6-6+6,46=0.得=-1.-1)=3x+冬-学+引.原2a-4+31-0,放B正确：由 A+0 △x (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 之，可得号器科得此时 选B 变式训练2A【解析】：函数f(x)的图象在点P处的 k水令，故C错误，枚选ABD, 切线方程是)=子+6，f5)号，f'(5)-子5)+ 6.1.3基本初等函数的导数 f'(5)=4.故选A. 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35N 高中数学选择性必修第三册人教B版 第六章 导数及其应用 6.1导数 6.1.1函数的平均变化率 例1已知函数f(x)=3x2+5. 学习目标 (1)求fx)从0.1到0.2的平均变化率. 1.理解函数平均变化率的概念. (2)求f代x)在区间[o,x+△x]上的平均 2.会求函数的平均变化率， 变化率. 3.会利用平均变化率解决或说明生活中 的一些实际问题. 要点精析 川要点1函数的平均变化率 一般地，若函数yf(x)的定义域为D, 且1，为∈D,1≠x2,y1=f(x1),y2f（), 则： (1)自变量的改变量： △=x2-X1: (2)因变量的改变量： △y=y2-y(或△f(x2)-fx1))· (3)平均变化率： Ay=2-Y或Af=fx)fx） △xx2-x1 △x X2一1 变式训练① fx+△x)-fx) △x 函数y=2x2,则自变量从2变到2+△x 思考函数的平均变化率随着区间不 时函数值的增量△y为() 同是否变化？ A.8 B.8+2△x C.2(△x)2+8△x D.4△x+2(△x)2 40)学 第六章导数及其应用 川要点2函数平均变化率的几何意义 川要点3平均变化率与实际问题 如图所示，函数f(x)在区间[x,x2] 从物理学中我们知道，平均速度可以描 上的平均变化率，就 述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体 是直线AB的斜率， f(x v=f(x) 运动的位移xm与时间ts的关系为x= 其中A(x1,∫(x)), f(x h(t),则物体在[t,t2](t<2时)这段时间 B(2,f(2))·事实 内的平均速度为b)-h()(ms).这就是 t2-t1 上，kB=fx-f=△y X2-X1 △x 图6-1-1 说，物体在某段时间内的平均速度等于x= 思考函数的平均变化率的几何意义 h(t)在该段时间内的平均变化率 体现了什么数学思想？ 思考一次函数y=kx+b(k≠0)在区 例2已知函数f(x)=n(x+1),则f1), 间[m,n]上的平均变化率有什么特点？ 2),3)的大小关系为( 例3已知某物体运动的位移xm是时 2 3 间ts的函数，而且t=0.1时，x=0.25;t=0.5 A2< 时，x=2.25. 3 (1)求这个物体在时间段[0.1,0.5] B.) 内的平均速度。 c.f3)<f2)1) (2)估计出t=0.2时物体的位移 3 分析平均速度即为函数的平均变化 D. 率，利用定义即可求解.求出位移与时间的 函数关系，代入t可计算位移. B变式训练2 甲、乙两厂污水的排放量W与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是 W↑ W() W() 1。-△1 图6-1-2 A.甲 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 学(41 高中数学选择性必修第三册人教B版 反思感悟 数学文化 函数平均变化率的几何意义和物理 意义： 例巍巍泰山为我国的五岳之首，有 (1)几何意义：平均变化率表示函 “天下第一山”之美誉.在当地有用“紧十 数yf(x)图象上割线PP,的斜率，若P(x1, 八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形 fx),P(x,f),则=f)fx 容爬十八盘的感受.如图是一段登山路线图 七2-X1 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比 fx+△x)-fx 较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力. △x 试用数学语言给出解释， (2)物理意义：把位移s看成时间t的 函数，平均变化率表示s=s(t)在时间段 ↑/m 3 [h,t]上的平均速度，即=s(2)-su) 15 t2-t1 10 5070 100x/m 变式训练3 图6-1-4 人的心率会因运动而变化，已知运动员 甲(y=f(x)、乙(y=g(x))在某次运动前 后，心率随时间的变化情况如图所示(a, b,c为定义域的四等分点)，并且用 △y △x 的 大小评价心率变化的快慢， y/次 130 8 y=g(x) =(x) 0 a x/min 图6-1-3 在[a,b]这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化.（填“大于”“小 于”或“等于”) 42)学